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卷积码：规范生成矩阵与自由距离解析

卷积码概述

卷积码在 1967 年维特比算法被发现后得到了更广泛的应用。对于一个 $(n, k)$ 卷积码，维特比算法的复杂度在很大程度上取决于记忆长度 $M$ 和 $k$。因此，该算法通常仅适用于 $M$ 和 $k$ 相对较小的情况。此外，卷积码还有其他解码算法，如顺序解码，但每种算法都有其自身的缺点。

规范生成矩阵

卷积码可以有许多不同的生成矩阵，包括那些元素为 $D$ 的有理函数而非多项式的矩阵。这里主要关注多项式生成矩阵，其中首选的是规范生成矩阵。

相关术语定义

• 行度：设 $G = [g_{i, j}(D)]$ 是一个 $k × n$ 多项式矩阵，$G$ 的第 $i$ 行的度定义为该行元素的最大度。
• 外部度：$G$ 的外部度，记为 $\text{extdeg} G$，定义为 $G$ 的 $k$ 行的度之和。

示例：对于 $(2, 1)$ 卷积码 $C_1$ 的生成矩阵 $G_1$ 和 $G_1’$，它们的外部度分别为 2 和 3。同样示例中的码 $C_2$ 的生成矩阵 $G_2$ 的外部度为 $2 + 1 = 3$。

规范生成矩阵的定义

卷积码 $C$ 的规范生成矩阵是指在所有多项式生成矩阵中，外部度最小的多项式生成矩阵。根据定义，每个卷积码都有一个规范生成矩阵，这个最小的外部度被称为码 $C$ 的度。

示例