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代数几何中的编码理论与代数曲线研究

1. 戈帕码的另一种表述

戈帕码可以有另一种表述方式。设 $R$ 是所有系数在 $F_{q^t}$ 中的有理函数 $f(x) = \frac{a(x)}{b(x)}$ 构成的向量空间，其中 $a(x)$ 和 $b(x)$ 互质，并且满足两个条件：
- 条件一：$a(x)$ 的零点包含 $G(x)$ 的零点，且重数至少与 $G(x)$ 中相同。
- 条件二：$b(x)$ 的可能零点（即 $f(x)$ 的极点）只能来自 $\gamma_0, \cdots, \gamma_{n - 1}$，且每个极点的重数至多为 1。

任何有理函数 $f(x)$ 在 $\gamma_i$ 处都有洛朗级数展开式。$R$ 中的有理函数 $f(x)$ 在 $\gamma_i$ 处的洛朗级数展开式为：
[
\sum_{j = -1}^{\infty} f_j (x - \gamma_i)^j
]
若 $f(x)$ 在 $\gamma_i$ 处有极点，则 $f_{-1} \neq 0$；否则，$f_{-1} = 0$。$f(x)$ 在 $\gamma_i$ 处的留数，记为 $Res_{\gamma_i} f$，就是系数 $f_{-1}$。定义码 $C$ 为：
[
C = { (Res_{\gamma_0} f, Res_{\gamma_1} f, \cdots, Res_{\gamma_{n - 1}} f) | f(x) \in R }
]
有习题表明 $\mathcal{L}(L, G)$ 是子域子码 $C|_{F_q}$。

2. 广义里德 - 穆勒码