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一、傅里叶变换总结

连续信号——频谱连续

周期连续信号——频谱离散

离散信号——频谱连续且周期延拓

周期离散信号——频谱离散且周期延拓

1.傅里叶级数展开

时域信号周期连续时，进行傅里叶级数展开（时域周期对应频域离散）

此时为周期信号的双边功率谱

2.傅里叶变换

时域信号非周期连续时，进行傅里叶变换

此时被称为频谱密度，则称为能量谱密度

（是实际幅度的2倍）

3.周期信号的傅里叶变换

因此，周期连续信号的傅里叶变换所得频谱是发生在其各次谐波频率（）上的一串冲击

周期展开后

也就是（对取离散点并乘以）

即：傅里叶变换后频谱是实际信号幅度的2倍，因此傅里叶级数与周期信号傅里叶变换的结果也差2倍，

4.离散时间傅里叶变换（DTFT）

其中为数字角频率，以2为周期

5.周期序列的离散时间傅里叶变换/离散时间傅里叶级数（DFS）

时域周期性造成频谱离散化 由原序列的离散时间傅里叶变换以取间隔，频率分辨率为

6.离散傅里叶变化（DFT）

只有离散时间傅里叶级数能用计算机处理，但时域频域均是周期性离散序列，可以只取其中一个周期，即为DFT

7.FFT实现

FFT:

IFFT:

常见傅里叶变换

矩形窗函数：

其中，频谱第一个过零点为1/T

三角脉冲函数：

二、FFT画图

一个模拟信号，经过 ADC 采样之后就变成了数字信号。采样定理要求采样频率要大于信号频率的两倍。采样得到的数字信号，就可以做 FFT 变换了。N 个采样点经过 FFT 之后，可以得到 N 个点的 FFT结果。（为了方便进行 FFT 运算，通常 N 取 2 的整数次方。）

假设采样频率为 Fs，信号频率 F，采样点数为 N。那么 FFT 之后结果就是一个为 N 点的复数。每个点对应一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。

跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为 A，那么 FFT 的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是 A的 N/2 倍。 而第一个点是直流分量，它的模值是直流分量的 N 倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。

第一个点表示直流分量（即 0Hz），而最后一个点 N 的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第 N+1 个点，可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率 Fs， 这中间被 N-1 个点平均分成 N 等份， 每个点的频率依次增加。 例如某点 n 所表示的频率为：

因此频率轴坐标应设置为

xlabel=(0:fft_length-1)*fs/fft_length; （观察0——fs）

xlabel=(0:fft_length-1)*fs/fft_length-fs/2; （观察-fs/2——fs/2）