企业官网建设流程全解析

最近又把自动控制原理翻出来复习，看到“零度根轨迹”这节的时候，我愣了一下。根轨迹不是一向都跟 180° 较劲吗？开环传函乘到 -1，相角条件永远差着一个 180°，怎么突然冒出个“零度”？后来把推导一步步抠完才明白，零度根轨迹其实就是根轨迹法里另一条被教材一笔带过的支线：当系统不是常规负反馈，而是正反馈、开环传函里某个环节带负号、或者参数根轨迹整理出来的等效增益为负时，闭环特征方程会从 $1+GH=0$ 变成 $1-GH=0$，相角条件从“奇数个 180°”翻成“整数个 360°”，也就是零度。

这篇文章就干一件事：把零度根轨迹的推导从头到尾走一遍，搞明白它到底从哪来、相角条件和幅值条件怎么变、绘制规则里哪些地方跟着变，最后用一个正反馈系统的手算例题把整套流程串起来。适合正在学自控原理的本科生、准备考研的人，以及工作中需要用根轨迹快速判断反馈系统稳定性、又对零度场景不太熟的工程师。保证你看完能自己动笔算，而不是只会背“零度就是偶数段”这种口诀。

1. 先搞清楚：根轨迹为什么原本是“180°”

1.1 根轨迹到底在画什么东西

根轨迹回答的是一个很朴素的问题：我手里有个反馈系统，开环传函是 $G(s)H(s)$，里面有个可以调的增益 $K$。旋钮拧大拧小，闭环极点会在复平面上怎么移动？整个回路稳不稳，就看这些极点最终落在左半平面还是右半平面。

负反馈系统的闭环特征方程是：

$$ 1+G(s)H(s)=0 $$

闭环极点就是上面这个方程的根。当我们把增益 $K$ 从 0 往无穷大调的时候，这些根会在 s 平面上画出一条条轨迹，这些轨迹就是根轨迹。K=0 时，特征方程退化成开环传函的分母等于零，所以根轨迹的起点一定是开环极点；K→+∞ 时，要想方程成立，分子必须趋向零，所以根轨迹的终点一般是开环零点，或者沿渐近线跑向无穷远。这条主线大家应该都熟。

1.2 负反馈的“-1”条件怎么变成 180°

从 $1+GH=0$ 移个项：

$$ G(s)H(s)=-1 $$

关键就在这个“-1”上。一个复数等式可以拆成两个条件：模的条件和相角的条件。

模的条件很好理解：

$$ |G(s)H(s)|=1 $$

意思是：能出现在根轨迹上的点，必须让开环传函的幅值等于 1。至于那个点对应多大的 $K$，单独算就行。

相角条件则来自 -1 的幅角。在复平面上，-1 这个数落在负实轴上，它的幅角可以是 $180^\circ$、$540^\circ$、$900^\circ$……也就是 $(2k+1)\times180^\circ$（k 为任意整数）。所以：

$$ \angle G(s)H(s)=(2k+1)\pi $$

无论哪个值，本质上都是“奇数个 180°”。根轨迹的名字就是这么来的：$180^\circ$ 根轨迹。

1.3 相角条件的作用是“筛轨迹”，不是“算轨迹”

初学的人容易把幅值条件和相角条件混着用。幅值条件很像一个“强度校准器”：它决定某个已经判定在轨迹上的点，对应的是多大的增益 K，但它没法告诉你轨迹往哪儿拐。

真正决定轨迹形状的是相角条件。你随便在 s 平面上取一个点，代进 $G(s)H(s)$ 算相位，如果相位是奇数个 180°，这个点才有资格成为根轨迹上的一员；如果相位差了一点，哪怕幅值条件刚刚好，它也不在轨迹上。所以说相角条件是“筛子”，大量点被它筛掉以后，剩下的骨架就是根轨迹。

这个认知很重要，因为理解零度根轨迹的本质，就是看相角条件的筛子发生了什么变化。

2. 零度根轨迹出现的三种典型场景

2.1 正反馈系统：特征方程变成了 1 - GH = 0

零度根轨迹最常见的来源就是正反馈。运放构成的自激振荡电路、某些功率变换器里的正反馈内环，虽然实际产品里大家避之不及，但分析时经常要面对。

正反馈系统的闭环传函分母不再是 $1+GH$，而是 $1-GH$。特征方程写出来是：

$$ 1-G(s)H(s)=0 $$

移项得到：

$$ G(s)H(s)=+1 $$

注意这个 $+1$。+1 的幅角是 $0^\circ$、$360^\circ$、$720^\circ$……也就是 $2k\pi$，全是“偶数个 180°”。因为最低的那个主值角度是 0°，所以这种根轨迹叫零度根轨迹。

2.2 开环传函内部带负号

有些系统看起来是负反馈，但开环传函本身不干净。比如非最小相位环节 $(-s+1)$、某些传感器标定方向装反、或者调节器里有个反相系数，都会让开环传函写出来带一个全局负号：

$$ G(s)H(s)=-K_0 \cdot G_0(s) $$

这时再代回负反馈特征方程：

$$ 1+G(s)H(s)=1-K_0G_0(s)=0 $$

和正反馈的特征方程长得一模一样。所以不管你是正反馈，还是负反馈但开环传函带负号，本质都是要画“等效开环传函换号后的根轨迹”。

2.3 参数根轨迹里的负参数

第三种场景稍微隐蔽一点。很多时候我们想画的不是增益 K，而是某个物理参数，比如极点位置、时间常数、阻尼比。把特征方程整理成标准形式以后，那个参数会以“等效增益”的身份出现：

$$ 1+aP(s)=0 $$

如果参数 $a$ 的取值范围是 $[0,+\infty)$，那就是常规 180° 轨迹；如果实际参数 $a$ 只能取负数或者变化包含负数，那也得用零度根轨迹。

用一个表格把这三种场景收拢一下：

3. 零度根轨迹的数学推导：从“-1”换成“+1”

3.1 由特征方程直接推导幅值条件

假设开环传函写成：

$$ G(s)H(s)=K\frac{N(s)}{D(s)} $$

其中 $N(s)$、$D(s)$ 都是 s 的多项式，$K$ 是实际物理增益，默认大于等于 0。

正反馈系统的特征方程：

$$ 1-G(s)H(s)=0 $$

移项：

$$ G(s)H(s)=1 $$

把开环传函代进去：

$$ K\frac{N(s)}{D(s)}=1 $$

取模：

$$ |K|\frac{|N(s)|}{|D(s)|}=1 $$

这就是零度根轨迹的幅值条件。和 180° 根轨迹对比一下，形式完全一样，都是“开环传函的幅值等于 1”。这也解释了为什么求某个根轨迹点对应的增益时，算法和常规情况一样：先算出 $|N(s)|/|D(s)|$，再取倒数就是 K。

3.2 幅角条件的核心推导

再回到复数方程 $G(s)H(s)=1$。右边是 +1，幅角是 $0+2k\pi$。左边的幅角由每个零点和极点的向量角相加得到：

$$ \angle G(s)H(s)=\sum_{i=1}^{m}\angle(s-z_i)-\sum_{j=1}^{n}\angle(s-p_j) $$

所以零度根轨迹的相角条件是：

$$ \sum_{i=1}^{m}\angle(s-z_i)-\sum_{j=1}^{n}\angle(s-p_j)=2k\pi $$

注意右边的 $2k\pi$ 和常规情况的 $(2k+1)\pi$ 就差了一个 $\pi$。这个 $\pi$ 的差别，导致后续所有涉及“方向”的绘制规则都要重新改一遍。

3.3 统一视角：把零度轨迹看成“换号后的常规轨迹”

这一小节是整个推导里最有用的结论。

假设我们想画的系统特征方程是：

$$ 1-KG_0(s)=0 $$

这对应正反馈或开环带负号。现在做一个变量代换，令：

$$ K'=-K $$

代入上式：

$$ 1+K'G_0(s)=0 $$

这不就是个标准的负反馈特征方程吗？只不过等效增益 $K'$ 是负的。如果我们把 $K'$ 当作一个非负变量反过来画，也就是令 $K_1=-K'\ge 0$，那方程变成：

$$ 1+K_1(-G_0(s))=0 $$

也就是说，对“换号后的开环传函 $-G_0(s)$”画一条常规 180° 根轨迹，就等价于对原系统画零度根轨迹。

这个结论不是纯理论自嗨，它直接给了一种工程验证手段：

% 用 MATLAB 画零度根轨迹，等价于对 -G 画常规根轨迹 s = tf('s'); G = (s+2)/((s+1)*(s+3)); rlocus(-G); % 对比：rlocus(G) 画的是 180° 根轨迹

Python 的 control 库也是同样思路，control.root_locus(-sys)画的就是零度版本。后面例题我还会再用到它做验证。

3.4 为什么叫“零度”而不是“360°”

有人会纠结：$2k\pi$ 主值也不一定是 0°，$k=1$ 的时候明明是 360°，跟零度有什么关系。

这个命名其实是沿用了相角条件的“最小非负主值”。$(2k+1)\pi$ 的最小正主值是 $\pi$，也就是 180°，所以叫 180° 根轨迹；$2k\pi$ 的最小非负主值是 0，所以叫零度根轨迹。名字就是个约定，本质上说的是同一个东西：相角条件是偶数倍 $\pi$ 还是奇数倍 $\pi$。

4. 相角条件变了以后，绘制规则跟着改

4.1 实轴区段的奇偶性互换

根轨迹里有一个很实用的实轴判据：实轴上的某一段，到底属不属于根轨迹，只要数一数这一段右侧有多少个开环实数零点和极点。

为什么可以只看右侧？因为实轴上某一点 $\sigma$，把它代进 $G(s)H(s)$ 时，每个在 $\sigma$ 右侧的实数零极点都会贡献一个负号，在 $\sigma$ 左侧的则贡献正号。这样整个开环传函在实轴上的符号就是 $(-1)^{\text{右侧零极点总数}}$。

常规负反馈要求开环传函在这个点等于负实数（$-1$），所以右侧总数必须是奇数，这就是大家熟知的“奇数段”。

零度根轨迹要求开环传函等于正实数（$+1$），符号必须为正，所以右侧总数必须是偶数。

一句话总结：180° 轨迹找奇数段，零度轨迹找偶数段。

复数零极点对实轴判据没有贡献，因为共轭复数零极点成对出现，符号相乘总是正的，所以判断时只数实轴上的开环零极点就行。

4.2 渐近线角度公式的修改

当 $|s|$ 很大时，开环传函的幅角主要由 $s^{n-m}$ 的幅角决定：

$$ \angle G(s)H(s)\approx -(n-m)\theta_\infty $$

其中 $\theta_\infty$ 就是渐近线的方向角。

对常规 180° 根轨迹：

$$ -(n-m)\theta_\infty=(2k+1)\pi $$

得到：

$$ \theta_\infty=\frac{(2k+1)\pi}{n-m} $$

对零度根轨迹：

$$ -(n-m)\theta_\infty=2k\pi $$

得到：

$$ \theta_\infty=\frac{2k\pi}{n-m} $$

举个例子。$n-m=2$ 时：

• 常规根轨迹渐近线夹角是 $90^\circ$ 和 $270^\circ$；
• 零度根轨迹渐近线夹角是 $0^\circ$ 和 $180^\circ$。

差距非常大。你不能拿着常规那套 90°、180° 的习惯直接套零度题，画出来一定错。

渐近线交点坐标的计算公式不用改，还是：

$$ \sigma_a=\frac{\sum p_i-\sum z_j}{n-m} $$

因为交点是幅值条件里的“重心”，跟相角条件无关。

4.3 出射角与入射角公式只动一个常数

如果开环传函里有复数极点和复数零点，根轨迹离开复数极点时有个出射角，进入复数零点时有个入射角。这个角度的推导也是从相角条件来的。

把相角条件统写成：

$$ \sum\angle(s-z_i)-\sum\angle(s-p_j)=\varphi+2k\pi $$

其中常规情况 $\varphi=\pi$，零度情况 $\varphi=0$。

设根轨迹从某个极点 $p_j$ 出发，出射角为 $\theta$，让 $s$ 无限逼近 $p_j$，可以得到：

$$ \theta=\sum_{i}\angle(p_j-z_i)-\sum_{i\neq j}\angle(p_j-p_i)-\varphi-2k\pi $$

所以常规和零度只差一个 $\varphi$：常规减去 $\pi$，零度减去 0。入射角公式类似，把极点换成零点、零点换成极点即可。

不少教材把“出射角等于 180° 加一堆角度”和“出射角等于 0° 加一堆角度”分开列成两个公式，看着很繁琐。其实你只要记住这个 $\varphi$ 的区别，遇到具体题代入一次就能推出来。

4.4 不变的东西：分离点、与虚轴交点、幅值条件

很多初学者一听到零度根轨迹，以为所有规则都变了，连分离点都不会求了。其实有一部分计算完全不变。

分离点的本质是特征方程出现重根。重根条件下：

$$ F(s)=0,\quad F'(s)=0 $$

这个思想不变。如果你习惯用求极值的方法，也就是把等效增益写成 $K=f(s)$，再令 $f'(s)=0$，做法也不变。唯一要小心的是，算出来的候选分离点必须落在零度根轨迹的实轴区段上，否则是伪解。比如你的分离点候选是 $s=-1.2$，但零度实轴区段是 $[-3,-2]$ 和 $[-1,+\infty)$，那 $s=-1.2$ 就该被扔掉。

与虚轴交点的处理也类似。直接把 $s=j\omega$ 代入特征方程，令实部和虚部分别为零，解出 $\omega$ 和对应的 K。这里注意解出来的 K 有正有负，要看它是否符合实际物理增益范围。如果算出来是负 K，说明这个交点对应的是“往反方向调增益”，没有物理意义。

幅值条件前面说过了，形式不变。所以在画好轨迹形状以后，标注各点对应的 K 值，做法跟常规根轨迹一模一样。

把常规和零度的规则差异整理成对照表：

5. 完整例题：正反馈系统 GH=K(s+2)/[(s+1)(s+3)]

5.1 建模与特征方程

直接看一个能从头到尾手算的题目。设某正反馈系统的开环传函为：

$$ G(s)H(s)=K\frac{s+2}{(s+1)(s+3)} $$

其中 $K\ge 0$。

因为是正反馈，闭环特征方程是：

$$ 1-K\frac{s+2}{(s+1)(s+3)}=0 $$

也就是：

$$ K\frac{s+2}{(s+1)(s+3)}=1 $$

开环零点：$z_1=-2$；开环极点：$p_1=-1$，$p_2=-3$。系统阶数 $n=2$，零点数 $m=1$，所以 $n-m=1$。

5.2 相角条件与幅值条件

由前面的推导，零度根轨迹要求：

$$ \angle(s+2)-\angle(s+1)-\angle(s+3)=2k\pi $$

幅值条件：

$$ K=\frac{|s+1||s+3|}{|s+2|} $$

这两个式子后面每一步都要用。尤其注意幅值条件和常规情况的唯一区别在于：常规是 $K=\frac{|D|}{|N|}$ 乘个负号？不对，取模以后没区别，因为模恒正。所以求增益这一步完全可以直接复用常规经验。

5.3 实轴区段与渐近线

先用零度实轴判据看实轴区段。

开环实数零点和极点一共三个：$-3$、$-2$、$-1$。从左往右一段一段数：

• 区间 $(-\infty,-3)$：任取 $\sigma=-5$，右侧有 $-3$、$-2$、$-1$ 三个点，3 是奇数，不属于零度轨迹。
• 区间 $(-3,-2)$：任取 $\sigma=-2.5$，右侧有 $-2$、$-1$ 两个点，2 是偶数，属于零度轨迹。
• 区间 $(-2,-1)$：任取 $\sigma=-1.5$，右侧只有 $-1$ 一个点，1 是奇数，不属于零度轨迹。
• 区间 $(-1,+\infty)$：任取 $\sigma=0$，右侧没有实零极点，0 是偶数，属于零度轨迹。

所以实轴上的根轨迹区段是 $[-3,-2]$ 和 $[-1,+\infty)$。

这个结果很能说明问题：一条从极点 $-3$ 出发向右走向零点 $-2$，另一条从极点 $-1$ 出发向右一路奔向正实轴无穷远。第二段在常规负反馈里根本不可能出现，因为常规情况下 $(-1,+\infty)$ 右侧零极点数是偶数，标准判据早把它排除掉了。

渐近线方向角：

$$ n-m=1 $$

零度渐近线角度：

$$ \theta_\infty=\frac{2k\pi}{1}=0^\circ $$

也就是说，那个沿正实轴无穷延伸的分支，最终方向是沿着正实轴角度。渐近线交点：

$$ \sigma_a=\frac{(-1)+(-3)-(-2)}{2-1}=-2 $$

交点位置跟实轴区段倒是能对上：从极点 $-1$ 出发的分支越过原点，最终在正实轴方向趋近无穷远，渐近线就像是它的渐近延长线。

5.4 分离点与特殊增益计算

检查一下有没有分离点。把特征方程写成：

$$ K=\frac{(s+1)(s+3)}{s+2} $$

求导：

$$ K'(s)=\frac{(2s+4)(s+2)-(s^2+4s+3)}{(s+2)^2} =\frac{s^2+4s+5}{(s+2)^2} $$

分子 $s^2+4s+5$ 的判别式 $16-20=-4<0$，恒为正，所以 $K'(s)$ 没有实数零点，整个系统没有分离点和汇合点。也就是说，两条实轴分支各走各的，不会碰到一起。

算几个特殊 K 值来验证轨迹走向。特征方程展开一下：

$$ s^2+(4-K)s+(3-2K)=0 $$

取 $K=1$，闭环极点：

$$ s^2+3s+1=0 \Rightarrow s=-0.382,,-2.618 $$

两个极点都在左半平面，而且分别落在 $(-1,+\infty)$ 和 $[-3,-2]$ 这两段上，跟实轴区段完全一致。

取 $K=1.5$，闭环特征：

$$ s^2+2.5s=0 \Rightarrow s=0,,-2.5 $$

正好有一个极点在原点，这是系统由稳定走向不稳定的临界状态。

取 $K=2$，闭环特征：

$$ s^2+2s-1=0 \Rightarrow s=-2.414,,0.414 $$

可以看到，原本沿正实轴往右移动的那个极点已经越过虚轴进入右半平面，系统不稳定了。

把三个 K 对应的极点位置整理一下：

这个表非常直观地展示出零度根轨迹的行为：正反馈系统小增益也能稳定，但增益一大，某个极点就沿着正实轴方向往右半平面跑，临界点正好是 $K=1.5$。

5.5 用劳斯判据交叉验证稳定性

根轨迹画完以后，有必要用别的方法核对临界增益。特征方程：

$$ s^2+(4-K)s+(3-2K)=0 $$

二阶系统稳定的条件是一阶系数和常数项都大于零：

$$ 4-K>0 \quad\Rightarrow\quad K<4 $$

$$ 3-2K>0 \quad\Rightarrow\quad K<1.5 $$

综合下来，稳定范围是：

$$ 0\le K<1.5 $$

临界增益 $K=1.5$，和根轨迹分析得到的结果完全一致。

这个例子还顺带纠正了一个常见的直觉误区：很多初学者觉得“正反馈一定不稳定”，其实在增益很小的范围内，正反馈系统完全可以稳定。只是它的稳定裕度通常比等效负反馈系统小很多，一旦增益超过临界值，本质上是把极点往右半平面推，而不是像常规负反馈那样往左半平面拉。

6. 常见误区与实用技巧

6.1 实轴判据记反

最常见的错误就是把 180° 和零度的实轴判据搞混。有人记住了口诀“右边奇数”，然后一路套到底，画零度根轨迹时必定出错。

我的习惯是做题前先问自己：特征方程到底是不是 $1-GH=0$ 这种形式。是的话，我就在草稿纸最上面写一行：“零度 → 右侧偶”。每次判断实轴区段都回到这一行，能少犯一半错。

判断实轴区段还有一个土办法，可以交叉验证：在实轴上任取一个测试点，直接估计这个点上 $G(s)H(s)$ 的符号，如果符号为正，就属于零度轨迹；如果符号为负，就属于 180° 轨迹。比如本题测试点 $\sigma=-2.5$：

$$ GH = K\frac{-0.5}{(-1.5)(0.5)}=K\cdot\frac{-0.5}{-0.75}>0 $$

符号为正，所以 $(-3,-2)$ 确实属于零度轨迹。这个方法不依赖记忆，出错时拿它兜底非常管用。

6.2 分离点算出来不在根轨迹段上

分离点的候选解通常来自 $K'(s)=0$，或者直接解 $F(s)=F'(s)=0$。很多学生算完以后直接画在图上，结果发现位置很离谱。

正确流程是：先确定实轴区段，再算分离点候选值，最后一步必须做筛选——候选值若不在任何一段实轴根轨迹上，直接扔掉。

本题就是一个反向例子：$K'(s)$ 无实根，根本不存在分离点，你不能硬画一个。如果你用软件仿真却发现根轨迹实轴段有拐点，那通常是你软件里画的不是正反馈模型，而是负反馈模型，检查一下是不是忘了给开环传函换号。

6.3 与虚轴交点算出的 K 可能是负值

用 $s=j\omega$ 代入特征方程时，实部虚部联立解出来的 K 不一定都是正数。

零度根轨迹对应的是“等效增益为负”的那一半轨迹，所以如果你代 $s=j\omega$ 解出来一个负 K，它表示的其实是把物理增益倒过来调才会经过虚轴。这时候要去检查原始物理模型整理标准形式的时候，到底哪个环节把符号带反了。

遇到这种情况，我建议回到统一视角：把开环传函整体取负号，重新画一条常规根轨迹，看虚轴交点对应的 K 是不是正数。如果是，就说明你最初整理的等效传函方向反了。

6.4 用软件验证，但别盲目信软件

MATLAB 里rlocus(-G)画出来的是零度根轨迹，这个前面推导过。原因是：

$$ 1-KG(s)=0 \Longleftrightarrow 1+K(-G(s))=0 $$

Python control 库同理。验证的时候记得把正反馈特征方程也代进去算几个特殊点，比如算 $K=1.5$ 时极点是不是正好出现在原点，能对上了，说明轨迹没画错。

还有个细节：很多绘图软件默认会把超出视野范围的渐近线裁掉，你看到的曲线可能没有延伸到无穷远，容易让人误判。最好手动叠加渐近线的方向箭头，再对照实轴区段。

最后补两个个人的操作习惯

零度根轨迹用多了以后，我的体会是：它根本不是另一套理论，而是同一套根轨迹方程在“等效增益取负”时的那一半。你只要记住统一视角——把开环传函换号，再画常规轨迹，就永远不会迷失方向。至于那些实轴奇偶、渐近线公式的差异，都是从这个统一视角推导出来的表面规则。

我平时拿到一个系统的特征方程，第一件事就是整理成 $1+K_{\text{eq}}P(s)=0$ 的标准形式，然后看一眼 $K_{\text{eq}}$ 在物理允许的取值范围内是正是负。$K_{\text{eq}}\ge0$ 就画 180°，$K_{\text{eq}}\le0$ 就画零度。这样面对任何题目都能快速决定该用哪套规则，不用临场翻公式。

最后分享一个小技巧：手算零度根轨迹时，因为相角条件变了，你可以不用硬背出射角公式，直接用“向量角度求和等于 0°”这个原始条件去反推。遇到一个复杂的带复数零极点的系统，画图前先用软件验证一两个关键点，确认相角条件方向没搞反，再继续画。零度根轨迹本身不复杂，复杂的是推导时跳过关键步骤，最后把符号搞反了却不自知。