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8.3 用递归函数实现康托尔集

接下来，我们要用递归函数实现康托尔集的可视化。从哪里开始？

1、绘制线段的函数

• 我们知道康托尔集在开始时是一个线段。因此，我们可以先实现一个用于绘制线段的函数。

void cantor(float x, float y, float len) { line(x,y,x+len,y); }

• 上面的cantor()函数在坐标(x,y)处开始画一个线段，线段长度是len。
• （假设线段是水平的）因此，如果我们按以下方式调用cantor()函数：
  cantor(10, 20, width-20);
  就会得到这条线段

2、继续绘制下面两条线段

• 从康托尔规则中可以看出，我们需要去掉线段中间的1/3，剩下两条线段：一条线段从起点到1/3处，另一个条线段从2/3处到终点。

• 我们要分别绘制这两条线段。我们沿y轴方向将这两条线段下移几个像素，让它们显示在原线段的下方。

void cantor(float x, float y, float len) { line(x,y,x+len,y); y += 20; line(x,y,x+len/3,y); 从起点到1/3处 line(x+len*2/3,y,x+len,y); 从2/3处到终点 }

• 尽管这是一个很好的开始，但重复地为每个线段调用line()函数并不是我们想要的实现方式。
  线段的数量会很快地增长，接下来我们要调用4次line()函数，再接着是8次，然后是16次……for循环曾经是我们解决此类问题的常用方法，但尝试之后你会发现，用循环的方法解决这个问题是非常复杂的。
• 在这时候，递归就派上用场了，能拯救我们于水火之中。

3、递归实现

• 回顾一下我们如何绘制第一个条线段，也就是从起点到1/3处的线段：
  line(x,y,x+len/3,y);
  我们可以把这里的line()替换成cantor()函数。因为cantor()函数本来就会在(x,y)位置画一条指定长度的线段！因此：
  line(x,y,x+len/3,y); 替换成 -------> cantor(x,y,len/3);
• 对于下面的line()函数调用，也有：
  line(x+len2/3,y,x+len,y); 替换成 -------> cantor(x+len2/3,y,len/3);
• 于是，我们就有了以下代码：

void cantor(float x, float y, float len) { line(x,y,x+len,y); y += 20; cantor(x,y,len/3); cantor(x+len*2/3,y,len/3); }

4、退出条件

• 由于cantor()函数是递归调用的，在调用过程中，同样的规则会作用于下一条线段，再作用于下下条线段……别急着运行代码，我们还少了一个关键元素：退出条件。我们必须保证递归在某个点上能停下来——比如线段的长度小于1个像素。

5、示例

示例代码8-4 康托尔集

void setup() { size(800, 200); background(255); // Call the recursive function cantor(35, 0, 730); } void draw() { // No need to loop noLoop(); } void cantor(float x, float y, float len) { float h = 30; // recursive exit condition if (len >= 1) { // Draw line (as rectangle to make it easier to see) noStroke(); fill(0); rect(x, y, len, h/3); // Go down to next y position y += h; // Draw 2 more lines 1/3rd the length (without the middle section) cantor(x, y, len/3); cantor(x+len*2/3, y, len/3); } }

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