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AVL的概念

• AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的左右⼦树都是AVL树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树，通过控制⾼度差去控制平衡。
• AVL树得名于它的发明者G.M.Adelson-Velsky和E.M.Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962年的论⽂《An algorithm for the organization of information》中发表了它。
• AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balancefactor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡，就像⼀个⻛向标⼀样。
• 思考⼀下为什么AVL树是⾼度平衡搜索⼆叉树，要求⾼度差不超过1，⽽不是⾼度差是0呢？0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到⾼度差是0的。⽐如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，⾼度差最好就是1，⽆法做到⾼度差是0
• AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在 ，那么增删查改的效率也可以控制在 ，相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升。
  

AVL树的实现

AVL树的结构

template<class K, class V> struct AVLTreeNode { // 需要parent指针，后续更新平衡因⼦可以看到 pair<K, V> _kv; AVLTreeNode<K, V>* _left; AVLTreeNode<K, V>* _right; AVLTreeNode<K, V>* _parent; int _bf; // balance factor AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv) :_kv(kv) , _left(nullptr) , _right(nullptr) , _parent(nullptr) ,_bf(0) {} }; template<class K, class V> class AVLTree { typedef AVLTreeNode<K, V> Node; public: //... private: Node* _root = nullptr; };

AVL树的插⼊

AVL树插⼊⼀个值的⼤概过程

1. 插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊。
2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停⽌了，具体情况我们下⾯再详细分析。
3. 更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插⼊结束
4. 更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了⼦树的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。
   平衡因⼦更新
   更新原则：

• 平衡因⼦=右⼦树⾼度-左⼦树⾼度
• 只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦。
• 插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在parent的左⼦树，parent平衡因⼦–
• parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新
  更新停⽌条件：
• 更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0或者1->0，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。
• 更新后parent的平衡因⼦等于1或-1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1或者0->-1，说明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上更新。
• 更新后parent的平衡因⼦等于2或-2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2或者-1->-2，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插⼊结束。
• 不断更新，更新到根，跟的平衡因⼦是1或-1也停⽌了。

更新到10结点，平衡因⼦为2，10所在的⼦树已经不平衡，需要旋转处理

更新到中间结点，3为根的⼦树⾼度不变，不会影响上⼀层，更新结束

最坏更新到根停⽌

插⼊结点及更新平衡因⼦的代码实现

bool Insert(const pair<K, V>& kv) { if (_root == nullptr) { _root = new Node(kv); return true; } Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return false; } } cur = new Node(kv); if (parent->_kv.first < kv.first) { parent->_right = cur; } else { parent->_left = cur; } cur->_parent = parent; // 更新平衡因⼦ while (parent) { // 更新平衡因⼦ if (cur == parent->_left) parent->_bf--; else parent->_bf++; if (parent->_bf == 0) { // 更新结束 break; } else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) { // 继续往上更新 cur = parent; parent = parent->_parent; } else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) { // 不平衡了，旋转处理 if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) { RotateL(parent); } else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) { RotateR(parent); } else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) { RotateLR(parent); } else { RotateRL(parent); } break; } else { assert(false); } } return true; }

旋转

旋转的原则

1. 保持搜索树的规则
2. 让旋转的树从不满⾜变平衡，其次降低旋转树的⾼度
   旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。
   说明：下⾯的图中，有些结点我们给的是具体值，如10和5等结点，这⾥是为了⽅便讲解，实际中是什么值都可以，只要⼤⼩关系符合搜索树的性质即可。

右单旋

• 本图1展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2/图3/图4/图5进⾏了详细描述。
• 在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从-1变成-2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太⾼了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。
• 旋转核⼼步骤，因为5<b⼦树的值<10，将b变成10的左⼦树，10变成5的右⼦树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。
  图1
  

图2

图3

图4

图5

右单旋代码实现

void RotateR(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; // 需要注意除了要修改孩⼦指针指向，还是修改⽗亲 parent->_left = subLR; if (subLR) subLR->_parent = parent; Node* parentParent = parent->_parent; subL->_right = parent; parent->_parent = subL; // parent有可能是整棵树的根，也可能是局部的⼦树 // 如果是整棵树的根，要修改_root // 如果是局部的指针要跟上⼀层链接 if (parentParent == nullptr) { _root = subL; subL->_parent = nullptr; } else { if (parent == parentParent->_left) { parentParent->_left = subL; } else { parentParent->_right = subL; } subL->_parent = parentParent; } parent->_bf = subL->_bf = 0; }

左单旋

• 本图6展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上⾯左旋类似。
• 在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从1变成2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太⾼了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。
• 旋转核⼼步骤，因为10<b⼦树的值<15，将b变成10的右⼦树，10变成15的左⼦树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。
  图6
  

左单旋代码实现

void RotateL(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; parent->_right = subRL; if(subRL) subRL->_parent = parent; Node* parentParent = parent->_parent; subR->_left = parent; parent->_parent = subR; if (parentParent == nullptr) { _root = subR; subR->_parent = nullptr; } else { if (parent == parentParent->_left) { parentParent->_left = subR; } else { parentParent->_right = subR; } subR->_parent = parentParent; } parent->_bf = subR->_bf = 0; }

左右双旋

通过图7和图8可以看到，左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边⾼，但是插⼊在b⼦树中，10为跟的⼦树不再是单纯的左边⾼，对于10是左边⾼，但是对于5是右边⾼，需要⽤两次旋转才能解决，以5为旋转点进⾏⼀个左单旋，以10为旋转点进⾏⼀个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。
图7

图8

• 图7和图8分别为左右双旋中h0和h1具体场景分析，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为8和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲5为旋转点进⾏左单旋，左单旋需要动b树中的左⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察8的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。
• 场景1：h>=1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1，旋转后8和5平衡因⼦为0，10平衡因⼦为1。
• 场景2：h>=1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为1，旋转后8和10平衡因⼦为0，5平衡因⼦为-1。
• 场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0。
  图9
  

左右双旋代码实现

void RotateLR(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; int bf = subLR->_bf; RotateL(parent->_left); RotateR(parent); if (bf == 0) { subL->_bf = 0; subLR->_bf = 0; parent->_bf = 0; } else if (bf == -1) { subL->_bf = 0; subLR->_bf = 0; parent->_bf = 1; } else if(bf == 1) { subL->_bf = -1; subLR->_bf = 0; parent->_bf = 0; } else { assert(false); } }

右左双旋

• 跟左右双旋类似，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为12和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲15为旋转点进⾏右单旋，右单旋需要动b树中的右⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察12的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。
• 场景1：h>=1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为-1，旋转后10和12平衡因⼦为0，15平衡因⼦为1。
• 场景2：h>=1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为1，旋转后15和12平衡因⼦为0，10平衡因⼦为-1。
• 场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为0，旋转后10和12和15平衡因⼦均为0。
  

右左双旋代码实现

void RotateRL(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; int bf = subRL->_bf; RotateR(parent->_right); RotateL(parent); if (bf == 0) { subR->_bf = 0; subRL->_bf = 0; parent->_bf = 0; } else if (bf == 1) { subR->_bf = 0; subRL->_bf = 0; parent->_bf = -1; } else if (bf == -1) { subR->_bf = 1; subRL->_bf = 0; parent->_bf = 0; } else { assert(false); } }

AVL树的查找

那⼆叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为O(logN)

Node* Find(const K& key) { Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_kv.first < key) { cur = cur->_right; } else if (cur->_kv.first > key) { cur = cur->_left; } else { return cur; } } return nullptr; }

AVL树平衡检测

实现的AVL树是否合格，通过检查左右⼦树⾼度差的的程序进⾏反向验证，同时检查⼀下结点的平衡因⼦更新是否出现了问题。

int _Height(Node* root) { if (root == nullptr) return 0; int leftHeight = _Height(root->_left); int rightHeight = _Height(root->_right); return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1; } bool _IsBalanceTree(Node* root) { // 空树也是AVL树 if (nullptr == root) return true; // 计算pRoot结点的平衡因⼦：即pRoot左右⼦树的⾼度差 int leftHeight = _Height(root->_left); int rightHeight = _Height(root->_right); int diff = rightHeight - leftHeight; // 如果计算出的平衡因⼦与pRoot的平衡因⼦不相等，或者 // pRoot平衡因⼦的绝对值超过1，则⼀定不是AVL树 if (abs(diff) >= 2) { cout << root->_kv.first << "⾼度差异常" << endl; return false; } if (root->_bf != diff) { cout << root->_kv.first << "平衡因⼦异常" << endl; return false; } // pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树⼀定是AVL树 return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right); } // 测试代码 void TestAVLTree1() { AVLTree<int, int> t; // 常规的测试⽤例 //int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 }; // 特殊的带有双旋场景的测试⽤例 int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 }; for (auto e : a) { t.Insert({ e, e }); } t.InOrder(); cout << t.IsBalanceTree() << endl; } // 插⼊⼀堆随机值，测试平衡，顺便测试⼀下⾼度和性能等 void TestAVLTree2() { const int N = 100000; vector<int> v; v.reserve(N); srand(time(0)); for (size_t i = 0; i < N; i++) { v.push_back(rand()+i); } size_t begin2 = clock(); AVLTree<int, int> t; for (auto e : v) { t.Insert(make_pair(e, e)); } size_t end2 = clock(); cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl; cout << t.IsBalanceTree() << endl; cout << "Height:" << t.Height() << endl; cout << "Size:" << t.Size() << endl; size_t begin1 = clock(); // 确定在的值 /*for (auto e : v) { t.Find(e); }*/ // 随机值 for (size_t i = 0; i < N; i++) { t.Find((rand() + i)); } size_t end1 = clock(); cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl; }

平衡检测优化版

bool IsBalance() { int height = 0; return _IsBalance(_root, height); } size_t Size() { return _Size(_root); } size_t _Size(Node* root) { if (root == NULL) return 0; return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1; } Node* Find(const K& key) { Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_kv.first < key) { cur = cur->_right; } else if (cur->_kv.first > key) { cur = cur->_left; } else { return cur; } } return nullptr; } bool _IsBalance(Node* root, int& height) { if (root == nullptr) { height = 0; return true; } int leftHeight = 0, rightHeight = 0; if (!_IsBalance(root->_left, leftHeight) || !_IsBalance(root->_right, rightHeight)) { return false; } if (abs(rightHeight - leftHeight) >= 2) { cout <<root->_kv.first<<"不平衡" << endl; return false; } if (rightHeight - leftHeight != root->_bf) { cout << root->_kv.first <<"平衡因子异常" << endl; return false; } height = leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1; return true; }