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几何非线性控制中的非完整运动规划方法

在几何非线性控制领域，非完整运动规划是一个重要的研究方向。本文将详细介绍使用正弦波控制模型系统以及更一般的非完整系统运动规划的方法。

1. 模型控制系统的正弦波控制

在这部分，我们主要研究如何使用正弦波来控制某些“模型”控制系统，这些系统在某种意义上具有规范性。

1.1 一阶可控系统：Brockett 系统

一阶可控系统的形式为：
(\dot{q} = g_1(q)u_1 + \cdots + g_m(q)u_m)
其中向量场 (g_i(q)) 及其一阶李括号 ([g_j, g_k]) 线性独立，且 (T_q\mathbb{R}^n = \text{span}{g_i, [g_i, g_k] : i, j, k = 1, \cdots, m})，这意味着 (n = m + m(m - 1)/2 = m(m + 1)/2)。

Brockett 提出了一类满足此条件的重要模型控制系统，起源于经典的海森堡系统。以 (m = 2) 和 (n = m(m + 1) /2 = 3) 为例：
(\dot{q}_1 = u_1)
(\dot{q}_2 = u_2)
(\dot{q}_3 = q_1u_2 - q_2u_1)
对于该系统：
(g_1 = \begin{bmatrix}1 \ 0 \ -q_2\end{bmatrix})，(g_2 = \begin{bmatrix}0 \ 1 \ q_1\end{bmatrix})，([g_1, g_2] = \begin{bmatrix}0 \ 0 \ 2\end{bmatrix})
此系