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题目描述

本题要求计算在一个由单向街道组成的城市中，从每个交叉路口到另一个交叉路口的不同路径数量。交叉路口用非负整数标识，单向街道由一对整数j jjk kk表示，代表从j jj到k kk的单向街道。若两个交叉路口之间存在无穷多条路径（即存在环路），则输出− 1 -1−1。输入包含多个城市的数据，每个城市以街道数量开始，随后是若干对整数表示街道。每个城市的交叉路口编号从0 00到最大编号。要求输出一个矩阵，其中M [ j ] [ k ] M[j][k]M[j][k]表示从j jj到k kk的路径数，若无穷多则输出− 1 -1−1。

题目分析

本题本质上是求有向图中任意两点间的路径数量，并处理存在环路导致路径数无穷的情况。由于交叉路口数量不超过30 3030，可以使用Floyd-Warshall \texttt{Floyd-Warshall}Floyd-Warshall算法的变种来解决。

关键点在于：

1. 初始化矩阵m a t r i x [ i ] [ j ] = 1 matrix[i][j] = 1matrix[i][j]=1若存在从i ii到j jj的直接边。
2. 使用Floyd-Warshall \texttt{Floyd-Warshall}Floyd-Warshall算法累积路径数：m a t r i x [ i ] [ j ] + = m a t r i x [ i ] [ k ] × m a t r i x [ k ] [ j ] matrix[i][j] += matrix[i][k] \times matrix[k][j]matrix[i][j]+=matrix[i][k]×matrix[k][j]。
3. 若存在环路（即m a t r i x [ k ] [ k ] > 0 matrix[k][k] > 0matrix[k][k]>0），则所有经过k kk的路径数都会变成无穷大，即设置为− 1 -1−1。

解题思路

1. 读入数据：对于每个城市，读入街道数量，然后读入每一条街道，更新邻接矩阵，并记录最大的交叉路口编号。
2. Floyd-Warshall \texttt{Floyd-Warshall}Floyd-Warshall算法计算路径数：
   • 第一遍三重循环：对于每个中间节点k kk，更新m a t r i x [ i ] [ j ] + = m a t r i x [ i ] [ k ] × m a t r i x [ k ] [ j ] matrix[i][j] += matrix[i][k] \times matrix[k][j]matrix[i][j]+=matrix[i][k]×matrix[k][j]。这利用了动态规划的思想，计算从i ii到j jj经过k kk的路径数。
   • 第二遍三重循环：检查每个节点k kk是否在环上（m a t r i x [ k ] [ k ] > 0 matrix[k][k] > 0matrix[k][k]>0）。如果是，则对于所有i ii和j jj，若m a t r i x [ i ] [ k ] matrix[i][k]matrix[i][k]和m a t r i x [ k ] [ j ] matrix[k][j]matrix[k][j]都非零，说明从i ii到j jj的路径可以经过该环无限次，因此m a t r i x [ i ] [ j ] = − 1 matrix[i][j] = -1matrix[i][j]=−1。
3. 输出结果：按照格式输出矩阵。

时间复杂度

Floyd-Warshall \texttt{Floyd-Warshall}Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O ( n 3 ) O(n^3)O(n3)，其中n ≤ 30 n \leq 30n≤30，因此完全可以在规定时间内完成。

代码实现

// Numbering Paths// UVa ID: 125// Verdict: Accepted// Submission Date: 2015-11-27// UVa Run Time: 0.000s//// 版权所有（C）2015，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;#defineMAXV31intmatrix[MAXV][MAXV];intlargest;voidfloyd(){for(intk=0;k<=largest;k++)for(inti=0;i<=largest;i++)for(intj=0;j<=largest;j++)matrix[i][j]+=matrix[i][k]*matrix[k][j];for(intk=0;k<=largest;k++)if(matrix[k][k])for(inti=0;i<=largest;i++)for(intj=0;j<=largest;j++)if(matrix[i][k]&&matrix[k][j])matrix[i][j]=-1;}intmain(intac,char*av[]){intintersections;intcases=0;intstart,end;while(cin>>intersections){largest=0;memset(matrix,0,sizeof(matrix));for(inti=1;i<=intersections;i++){cin>>start>>end;matrix[start][end]=1;largest=max(largest,max(start,end));}floyd();cout<<"matrix for city "<<cases++<<endl;for(inti=0;i<=largest;i++){cout<<matrix[i][0];for(intj=1;j<=largest;j++)cout<<" "<<matrix[i][j];cout<<endl;}}return0;}

总结

本题通过Floyd-Warshall \texttt{Floyd-Warshall}Floyd-Warshall算法的变种，巧妙地解决了有向图中路径计数的问题，并处理了环路导致的无穷路径情况。代码简洁高效，适合作为图论中路径计数问题的经典例题。