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编码理论：从吉尔伯特 - 瓦尔沙莫夫界到卷积码

1. 吉尔伯特 - 瓦尔沙莫夫界的再探讨

在编码理论中，吉尔伯特 - 瓦尔沙莫夫界是一个重要的概念。通过一系列数学推导，当 $\delta = d/n$ 时，对相关式子取以 $q$ 为底的对数并除以 $n$，我们得到：
$n^{-1}[\log_q(\delta n) + \log_q V_q(n, \delta n)] < \frac{t_e}{n} + n^{-1}, \log_q [1 - q^{-\frac{t_e}{2}+1}]$

当 $n$ 趋近于无穷大时，根据引理可得 $H_q(\delta) \leq \lim_{n \to \infty} \frac{t_e}{n}$ 或 $1 - H_q(\delta) \geq 1 - \lim_{n \to \infty} \frac{t_e}{n}$。由于 $t = \log_q n$，我们可以选择一个增长足够快的 $e$ 序列，使得不等式得以维持，保证存在一系列长度递增的戈帕码，其相对最小距离至少为 $\delta n$，并且 $1 - H_q(\delta) = 1 - \lim_{n \to \infty} \frac{t_e}{n}$。根据相关定理，这一系列码的速率至少为 $1 - \frac{t_e}{n}$，因此满足渐近吉尔伯特 - 瓦尔沙莫夫界。

2. 代数几何码超越吉尔伯特 - 瓦尔沙莫夫界

1982 年，Tsfasman、Vlădut 和 Zink 的研究首次表明，存在一系列码，当码长趋于无穷大时，其相对距离趋近于 $\delta$，且速率超过 $1 - H_q(\delta)$。

设 $X$ 是