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2026/6/14 3:53:59
向量间的线性关系（一）：线性组合与线性表示
向量间的线性关系是线性代数的核心内容，也是理解向量组秩、线性方程组解结构、AI 中特征维度约简（如 PCA）的关键。本部分先讲解线性组合和线性表示两个基础概念，后续再延伸到线性相关与线性无关。
一、线性组合
1. 定义
设 α1,α2,…,αs 是一组 n 维向量，k1,k2,…,ks 是一组实数，则称向量
为向量组 α1,α2,…,αs 的一个线性组合，其中 k1,k2,…,ks 称为该线性组合的系数。
2. 核心特征
- 系数 k1,k2,…,ks 可以全为 0：此时线性组合的结果是 0 向量，即 0⋅α1+0⋅α2+⋯+0⋅αs=0。
- 线性组合的结果仍为 n 维向量：因为 n 维向量的线性运算（加法、数乘）不会改变向量的维度。
3. 示例
二、线性表示的性质
自反性：向量组中的任意一个向量 αi 都可由该向量组线性表示，即
传递性：若 β 可由 α1,α2,…,αs 线性表示，且每个 αi 可由 γ1,γ2,…,γt 线性表示，则 β
由 γ1,γ2,…,γt 线性表示。
零向量的表示性：零向量可由任意同维向量组线性表示（取所有系数为 0 即可）。