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Z4 上的自对偶码及伽罗瓦环相关研究

1. Z4 上的自对偶码

1.1 自对偶码的类型与数量

自对偶码在编码理论中占据着重要的地位，在 Z4 上的自对偶码可分为 Type I 和 Type II 两种类型。以下是长度 (1 \leq n \leq 16) 的 Z4 上自对偶码的数量分布情况：
| (n) | Type I | Type II |
| — | — | — |
| 1 | 1 | 0 |
| 2 | 1 | 0 |
| 3 | 1 | 0 |
| 4 | 2 | 0 |
| 5 | 2 | 0 |
| 6 | 3 | 0 |
| 7 | 4 | 0 |
| 8 | 7 | 4 |
| 9 | 11 | 0 |
| 10 | 16 | 0 |
| 11 | 19 | 0 |
| 12 | 58 | 0 |
| 13 | 66 | 0 |
| 14 | 170 | 0 |
| 15 | 290 | 0 |
| 16 |? | 133 |

从这个表格中我们可以推测出，随着码长 (n) 的增加，Type I 自对偶码的数量总体上呈现出增长的趋势，而 Type II 自对偶码仅在部分长度下存在。这可能与码长的奇偶性、数论性质等因素有关。例如，在某些特定的码长下，满足 Type II 条件的码的构造可能受到更多的限制。

1.2 自对偶循环码

1.2.1 自对偶循环码的判定定理

对于 Z4 上长度为奇数 (n) 的循环码 (C = \