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线性参数时变与多维系统的综合与实现理论

1. NMD系统的重要定理

对于NMD（多维）系统，有一个重要定理。若对于所有(\Delta\in\Delta)，算子(I - \Delta A)和(C(I - \Delta A)^{-1}B + D)分别为非奇异和压缩的，当且仅当存在(X\in\chi)，使得
(\begin{bmatrix}A & B\C & D\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}X & 0\0 & I\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A & B\C & D\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}X & 0\0 & I\end{bmatrix}<0)
这个定理为NMD系统的适定性和压缩性提供了必要且充分的条件。当(\delta_1)固定为移位算子(Z)时，该条件仍然精确，它是离散时间下某定理的标量算子乘单位矩阵版本，与KYP引理也有相似之处，但这里的(X)是有结构的。此定理为NMD系统直接开发综合方法提供了机会。

2. LPV综合

LPV（线性参数时变）综合是与NMD系统相关的一个综合问题。由于使用了时变参数，这个问题常被称为LPV综合，它与增益调度以及同时具有时间和空间变量的系统综合有直接联系。

2.1 系统描述

• 被控对象：给定一个依赖于标量算子(\delta_1,\cdots,\delta_d)的NMD系统(G(\delta_1,\cdots,\delta_d))，其状态方程为
  (x_k = (\Delt