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量子力学中可观测量预测与符号传播研究

1. 时间无关势下的可观测量预测

当势与时间无关时，我们有 $U(\tau, t) = e^{-i(t - \tau)H}$，其中 $H$ 是与时间无关的。此时，$A_{\tau t} = e^{-i(t - \tau)H}Ae^{i(t - \tau)H} = A_{0, t - \tau}$，这表明 $P(\tau) = P$ 与 $t$ 无关。并且，代数同构 (5.2.7) 变为 $P$ 的自同构，我们可以说 $P$ 是狄拉克方程的不变代数，与演化算符的共轭使 $P$ 保持不变。

在时间无关的情况下，我们可以使用“正向海森堡变换”来定义代数 $P$，这实际上相当于时间反转。需要强调的是，在时间无关的情况下，总能量可观测量 $H$ 是可以精确预测的，它属于代数 $P$；但当势与时间有关时，情况并非如此，不过此时仍然存在定理 5.1.1 中关于时间 $\tau$ 处总能量 $H(\tau)$ 的低阶修正符号。

2. 经典力学与量子力学中可观测量预测的比较

2.1 经典力学

在经典力学中，在 $t = 0$ 时刻，我们已知粒子的空间 - 动量坐标，可能还包括磁矩。即已知空间和动量坐标 $x$ 和 $\xi$（可能还有第 4.6 节中的初始向量 $\vec{\kappa}{\pm}$）。然后我们有运动方程（在第 4.6 节中推导得出），这是一个一阶常微分方程组，用于确定 $x$、$\xi$、$\vec{\kappa}{\pm}$ 的传播，为我们提供了一个具有完全确定初始数据的常微分方程初值问题。从这些数据中，我们可以推导出粒子的唯一轨道，以无限精度预测 $x(t)$、$\