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日拱一卒之Wirtinger 导数

Wirtinger 导数（Wirtinger derivatives），也称为Wirtinger 微积分（Wirtinger calculus）或CR-微积分（Cauchy-Riemann calculus），是一套用于处理复变函数的偏导数工具。

简单来说，它允许将一个复数变量zzz和它的共轭zˉ\bar{z}zˉ视为两个相互独立的变量来进行求导。

这在复数域的优化问题（如信号处理、通信工程、深度学习中的复数神经网络）中非常重要，特别是当目标函数是实数值（例如损失函数）但变量是复数时。

1. 为什么我们需要它？（背景）

在工程应用中，经常遇到这样的函数：

f(z)=∣z∣2=z⋅zˉ f(z) = |z|^2 = z \cdot \bar{z}f(z)=∣z∣2=z⋅zˉ

这是一个实数值函数（通常作为代价函数或能量函数）。

这个函数在经典的复变函数意义下是不可导的（因为它不满足柯西-黎曼条件，除非z=0z=0z=0）。

如果把zzz分解成实部xxx和虚部yyy，即z=x+iyz = x + iyz=x+iy，可以分别对xxx和yyy求偏导。但这样做非常繁琐，公式也不优雅。

Wirtinger 的方法：直接定义针对zzz和zˉ\bar{z}zˉ的导数，使得可以像做多项式求导一样简单地处理∣z∣2|z|^2∣z∣2。

2. 数学定义

假设z=x+iyz = x + iyz=x+iy，且f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z) = u(x, y) + i v(x, y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)。
Wirtinger 导数定义如下：

对zzz的 Wirtinger 导数：

∂∂z=12(∂∂x−i∂∂y) \frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y} \right)∂z∂​=21​(∂x∂​−i∂y∂​)

对zˉ\bar{z}zˉ的 Wirtinger 导数（共轭导数）：

∂∂zˉ=12(∂∂x+i∂∂y) \frac{\partial}{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \right)∂zˉ∂​=21​(∂x∂​+i∂y∂​)

最核心的技巧是：可以假设zzz和zˉ\bar{z}zˉ是两个完全无关的变量。

当求∂f∂z\frac{\partial f}{\partial z}∂z∂f​时，把zˉ\bar{z}zˉ看作常数。当求∂f∂zˉ\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}∂zˉ∂f​时，把zzz看作常数。

3. 举个例子

假设有一个函数f(z)=∣z∣2=zzˉf(z) = |z|^2 = z \bar{z}f(z)=∣z∣2=zzˉ。

方法 A：用实数坐标（笨办法）

f(z)=x2+y2 f(z) = x^2 + y^2f(z)=x2+y2

∂f∂x=2x,∂f∂y=2y \frac{\partial f}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y∂x∂f​=2x,∂y∂f​=2y

这给出了实数域的梯度，但并没有直接告诉复数方向的变化。

方法 B：用 Wirtinger 导数（聪明办法）
把zzz和zˉ\bar{z}zˉ看作独立变量。

f(z,zˉ)=z⋅zˉ f(z, \bar{z}) = z \cdot \bar{z}f(z,zˉ)=z⋅zˉ

1. 对zzz求导（把zˉ\bar{z}zˉ当常数）：

   ∂f∂z=zˉ \frac{\partial f}{\partial z} = \bar{z}∂z∂f​=zˉ

2. 对zˉ\bar{z}zˉ求导（把zzz当常数）：

   ∂f∂zˉ=z \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = z∂zˉ∂f​=z

这个结果非常简洁，而且在推导复杂算法（如维纳滤波、复数反向传播）时极大地简化了代数运算。

特殊用法：

在求极值的时候，对zzz和zˉ\bar{z}zˉ​在数学上是等价的！

对于实数值函数JJJ（例如图中的误差平方和），有以下关系：

∂J∂α=(∂J∂α∗)‾ \frac{\partial J}{\partial \alpha} = \overline{\left( \frac{\partial J}{\partial \alpha^*} \right)}∂α∂J​=(∂α∗∂J​)​

这两个导数互为共轭。

这就导致了一个非常有用的性质：
如果一个数为 0，那么它的共轭也一定是 0。

∂J∂α∗=0 ⟺ ∂J∂α=0 \frac{\partial J}{\partial \alpha^*} = 0 \iff \frac{\partial J}{\partial \alpha} = 0∂α∗∂J​=0⟺∂α∂J​=0

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