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LeetCode 2033. 获取单值网格的最小操作数【详细技术解析】

一、题目描述

给你一个大小为m x n的二维整数网格grid和一个整数x。每一次操作，你可以对grid中的任一元素加 x或减 x。

单值网格：指网格中全部元素都相等的网格。

要求返回使网格化为单值网格所需的最小操作数。如果无法实现，返回\-1。

题目示例

示例 1：

输入：grid = [[2,4],[6,8]], x = 2

输出：4

解释：将所有元素统一为 4。2+2（1次）、6-2（1次）、8-2*2（2次），总操作数 4。

示例 2：

输入：grid = [[1,5],[2,3]], x = 1

输出：5

解释：将所有元素统一为 3，累计操作次数最少为5。

示例 3：

输入：grid = [[1,2],[3,4]], x = 2

输出：-1

解释：元素差值无法被x整除，无法统一为相同值。

题目约束

• m == grid\.length，n == grid\[i\]\.length

• 1 \<= m, n \<= 10^5

• 1 \<= m \* n \<= 10^5（总元素数不超过10万，时间复杂度可接受O(NlogN)）

• 1 \<= x, grid\[i\]\[j\] \<= 10^4

二、核心解题思路分析

1. 可行性判断（关键前提）

每次操作只能对元素加x/减x，因此任意两个元素的差值，必须是x的整数倍，否则永远无法通过操作使所有元素相等。

推导：假设基准值为target，任意元素num满足\(num \- target\) % x == 0。可等价推导为：所有元素对 x 的余数必须完全相同。

若存在任意元素的余数与首个元素余数不同，直接返回\-1。

2. 最小操作数的数学原理

当所有元素可统一时，问题转化为：寻找一个目标值，使所有元素转换到该值的操作次数总和最小。

操作次数公式：单个元素num转为target的操作次数 =abs\(num \- target\) // x。

根据绝对值距离最小值定理：一组有序数字中，所有数字到中位数的绝对值距离之和最小。因此最优目标值为数组的中位数。

3. 整体解题步骤

1. 将二维网格展平为一维数组，方便统一处理；

2. 遍历数组，校验所有元素对x的余数是否一致，不一致直接返回-1；

3. 对一维数组进行排序，找到中位数；

4. 遍历所有元素，累计转换到中位数的总操作次数，返回结果。

三、完整代码实现（带详细注释）

严格遵循题目要求的代码格式，适配LeetCode提交标准，包含完整注释、边界处理：

fromtypingimportListclassSolution:defminOperations(self,grid:List[List[int]],x:int)->int:# 1. 将二维网格展平为一维数组nums=[]forrowingrid:nums.extend(row)# 2. 获取首个元素的余数，作为校验基准remainder=nums[0]%x# 3. 遍历所有元素，校验余数是否统一fornuminnums:ifnum%x!=remainder:# 余数不统一，无法构成单值网格return-1# 4. 数组排序，寻找中位数nums.sort()mid=len(nums)//2target=nums[mid]# 5. 计算所有元素转换为中位数的最小操作次数res=0fornuminnums:# 差值整除x即为当前元素需要的操作次数res+=abs(num-target)//xreturnres

四、代码优化版本（精简高效）

在不改变时间复杂度的前提下，精简代码逻辑，减少冗余遍历，适配大数据量场景：

fromtypingimportListclassSolution:defminOperations(self,grid:List[List[int]],x:int)->int:# 一行代码展平二维数组nums=[numforrowingridfornuminrow]base_mod=nums[0]%x# 合法性校验ifany(num%x!=base_modfornuminnums):return-1# 排序取中位数，计算总操作数nums.sort()median=nums[len(nums)//2]returnsum(abs(n-median)//xforninnums)

五、逐案例代码解析

案例1：grid = [[2,4],[6,8]], x = 2

1. 展平数组：\[2,4,6,8\]，基准余数2%2=0，所有元素余数均为0，合法；

2. 排序后数组不变，长度为4，中位数下标为2，目标值6？修正：长度4，下标4//2=2，元素为6，也可选取4，两者总操作数一致；

3. 计算次数：|2-4|/2 + |4-4|/2 + |6-4|/2 + |8-4|/2 = 1+0+1+2 = 4，与输出结果一致。

案例3：grid = [[1,2],[3,4]], x = 2

1. 展平数组：\[1,2,3,4\]，基准余数1%2=1；

2. 元素2%2=0，余数不匹配，直接返回-1，符合题意。

六、复杂度分析

时间复杂度：O(N log N)

N 为网格总元素数（N = m\*n）。主要耗时为数组排序操作，时间复杂度为 O(N log N)；两次遍历数组为 O(N)，可忽略。根据题目约束 N ≤ 10^5，该复杂度完全AC。

空间复杂度：O(N)

需要额外一维数组存储所有网格元素，空间复杂度为元素总数 N。若允许修改原数组，可原地优化，但可读性会下降。

七、易错点总结

• 易错点1：直接使用平均值作为目标值。平均值适用于平方和最小，而本题是绝对值和最小，必须使用中位数，否则会导致结果错误。

• 易错点2：仅校验首尾元素差值，未校验所有元素余数。必须保证全部元素余数一致，否则存在无法统一的元素。

• 易错点3：使用浮点数计算操作次数。必须用整数整除//，避免浮点精度误差。

八、总结

本题是数学贪心+数组排序的经典题型，核心考点分为两点：一是通过余数校验判断问题可行性，二是利用中位数的数学性质求解最小操作次数。解题逻辑清晰，代码简洁，是算法面试中高频的简单贪心题型，熟练掌握中位数最值原理即可快速解题。