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[数字信号处理-入门] 采样定理

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注：本文仅对所述内容做了框架性引导，具体细节可查询其余相关资料or源码

参考文章：各方资料

时域采样

奈奎斯特抽样定理:
f s > 2 f h f_s>2f_hfs​>2fh​

输入

输入为带限信号
(信号的频率成分只分布在0~f h f_hfh​范围内，f h f_hfh​为最高截止频率)

奈奎斯特频率/折叠频率:f s / 2 f_s/2fs​/2

采样周期:T = 1 / f s T=1/f_sT=1/fs​
(x ( n T ) x(nT)x(nT)是x ( t ) x(t)x(t)在t = n T t=nTt=nT时刻的采样值)

采样角频率:w s = 2 π f s w_s=2\pi f_sws​=2πfs​

重建与混叠

若f s ≤ 2 f h f_s≤2f_hfs​≤2fh​，会发生混叠（高频分量会折叠到低频区域），无法无失真重建原始信号

重建信号: 用离散的采样点恢复的连续时间信号

频率f ff的信号被f s f_sfs​采样后, 若混叠:

• 重建信号的频率=∣ f − n f s ∣ \mathbf{|f-nf_s|}∣f−nfs​∣
• n取让结果最接近0的数

采样后的离散信号频谱，是原始连续信号频谱以采样角频率w s w_sws​为周期进行周期性延拓得到的

频域采样

理论基础是傅里叶变换的对偶性

T ≤ T 0 T \leq T_0T≤T0​

信号持续时间:T TT

延拓周期:T 0 = 1 / Δ f T_0=1/ΔfT0​=1/Δf

若对X ( j ω ) X(jω)X(jω)在频域以频率间隔Δ f ΔfΔf进行采样，采样点数为N NN，则对应的时域信号会被周期延拓，延拓周期T 0 = 1 / Δ f T_0=1/ΔfT0​=1/Δf

为了使时域延拓后的信号不发生重叠，原始时域信号x(t)必须是时限信号

设原始时域信号x ( t ) x(t)x(t)的持续时间为T TT，为避免时域延拓重叠，需选择频域采样间隔Δ f ≤ 1 / T Δf≤1/TΔf≤1/T，即延拓周期T 0 = 1 / Δ f ≥ T T₀=1/Δf≥TT0​=1/Δf≥T

频域采样点数N与采样间隔Δf的关系：N = f s / Δ f N=f_s/ΔfN=fs​/Δf

DFT的频率范围

DFT 的频谱范围由采样频率f s f_sfs​决定

• 实际覆盖0 ∼ f s / 2 0∼f_s/20∼fs​/2（正频率范围）
  ->所能分辨的最高频率:f s / 2 f_s/2fs​/2
• 但频率索引对应0 ∼ f s 0∼f_s0∼fs​（含负频率混叠）

时域与频域采样的对偶关系

1. 时域采样关注“避免频域混叠”，核心是采样频率大于2倍最高截止频率

2. 频域采样关注“避免时域重叠”，核心是延拓周期大于原始时域信号的持续时间

3. 两者通过傅里叶变换对偶性关联，共同构成离散信号处理的基础（如DFT、FFT的理论前提）

例题