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一年前，陶哲轩还在批评AI"满嘴跑火车"；一年后，他宣布AI已经成为他的"初级合作者"。从怀疑到拥抱，这位数学天才对AI的态度为何发生180度大转弯？本文从陶哲轩的AI探索之路切入，深度解析数学与AI的协作新模式——形式化验证。附5个AI数学工具推荐，数学爱好者必看。

一、一个数学天才的"打脸"时刻

2023年2月，陶哲轩在他的博客上写了一篇文章，题目叫《AI大模型在数学上还不够好》。

在那篇文章里，这位被誉为"当代最聪明数学家"的男人，毫不留情地批评了当时的AI大模型——他说ChatGPT在解答数学问题时"经常一本正经地胡说八道"，“看起来写了满满一页推导，仔细一看全是错的”。

他甚至举了一个例子：他让ChatGPT证明一个经典的数论定理，结果AI给出的证明"每三步就有一个错误"，逻辑链条完全断裂，但"语气却异常自信"。

那时候的陶哲轩，对AI的态度可以用一个词来形容：不屑。

这也难怪。陶哲轩是谁？

• 7岁自学微积分，9岁上大学数学课
• 13岁获得国际数学奥林匹克金牌（至今仍是该赛事最年轻金牌得主纪录保持者）
• 21岁拿到普林斯顿大学博士学位
• 24岁成为加州大学洛杉矶分校（UCLA）终身教授
• 31岁获得数学界最高奖"菲尔兹奖"

他这辈子见过的"聪明"太多了。在他眼里，一个只会"胡诌数学证明"的AI，大概和一个考试全靠蒙的学生没什么区别。

然而，仅仅一年之后，陶哲轩的态度就发生了180度大转弯。

2024年3月，陶哲轩在他的博客上发表了另一篇文章，标题是《AI已经成为我的初级研究合作者》。

在这篇文章里，他详细描述了自己如何用AI工具辅助数学研究——从证明思路的探索，到形式化验证的辅助，再到论文写作的润色。他甚至说，“如果没有AI的帮助，有些研究项目可能要多花好几倍的时间。”

从"满嘴跑火车"到"初级合作者"，中间只隔了一年。

这一年里，到底发生了什么？AI是如何征服这位数学天才的？今天我们就来聊聊这个话题——AI和数学，这两个看似最不搭界的领域，是怎么走到一起的。

二、陶哲轩的AI探索之路：从怀疑到拥抱的时间线

要理解陶哲轩的态度转变，我们得先看看他这一年多来的"AI探索时间线"。这不是一个突然的决定，而是一个逐步发现、逐步深入的过程。

第一阶段：怀疑期（2023年初）——“AI就是个数学骗子”

2023年初，ChatGPT横空出世，全网都在讨论"AI会不会取代人类"。

陶哲轩也凑了个热闹。他拿了几个自己熟悉的数学问题去测试ChatGPT，结果大失所望。

他发现了AI的几个典型问题：

• 编造事实：AI会"引述"根本不存在的定理和论文，而且编得有鼻子有眼
• 逻辑跳跃：证明过程中经常出现"显然可得"，但实际上那一步根本不显然，甚至是错的
• 不会检查：AI对自己的错误毫无察觉，哪怕你指出了它的问题，它有时候还会继续编新的错误来圆之前的谎

用陶哲轩自己的话说：“它就像一个非常自信但完全不学无术的学生，说话的语气永远是对的，但内容全是错的。”

这个阶段的陶哲轩，基本上把AI当成一个"高级玩具"——偶尔拿来玩玩，但绝不相信它能做真正的数学研究。

第二阶段：试探期（2023年中）——“哎？好像有点东西”

转变发生在2023年年中。

那时候，GPT-4出来了，性能比GPT-3.5提升了一大截。更重要的是，出现了一些专门针对数学优化的AI工具，比如Lean的AI辅助证明功能。

陶哲轩开始尝试用AI做一些"边角料"的工作——不是核心的证明，而是一些辅助性的事情：

• 翻译数学语言：把一个数学领域的概念，翻译成另一个领域的表述方式
• 文献检索：让AI帮忙查找某类问题的相关研究（虽然偶尔还是会编，但已经比之前好多了）
• 代码辅助：用AI写一些数值验证的小程序
• 教学解释：让AI用更通俗的语言解释一些复杂的数学概念

他发现，虽然AI在"原创数学证明"这件事上还是不行，但在这些辅助性工作上，已经相当好用了。用对了地方，确实能节省不少时间。

这就像你本来觉得一个实习生啥也不会，结果某天发现他虽然做不了核心项目，但整理文档、查找资料、跑腿打杂这些事儿干得还挺利索。

态度的松动，就是从这里开始的。

第三阶段：深入期（2023年下半年）——“形式化验证打开了新世界”

真正让陶哲轩对AI刮目相看的，是形式化验证这个领域。

什么是形式化验证？简单说就是用计算机程序来检验数学证明是否正确。你把一个数学定理和它的证明，用一种严格的形式化语言（比如Lean）写出来，然后让计算机去检查：每一步推导对不对？逻辑链条有没有断？有没有隐藏的假设？

以前，形式化验证是一件非常枯燥繁琐的事情——把一个人类数学家写的证明，翻译成机器能理解的形式化语言，可能要花几个月甚至几年时间。

但AI改变了这一切。

2023年下半年，陶哲轩开始用AI辅助进行形式化验证。他惊喜地发现：AI虽然不擅长"从零开始证明一个定理"，但非常擅长"把一个人类已经想到的证明思路，翻译成形式化语言"。

就好比一个建筑设计师画出了蓝图，AI虽然不会设计建筑，但它能照着蓝图一砖一瓦地把房子盖起来，而且盖得又快又准。

陶哲轩在博客里写道：“以前我可能要花好几天时间，才能把一个证明思路形式化。现在有了AI辅助，同样的工作可能只需要几个小时。这让我可以把更多精力用在真正需要创造力的部分——思考证明的方向。”

第四阶段：合作期（2024年至今）——“AI是我的初级合作者”

到了2024年，陶哲轩已经完全接受了AI作为他研究工作的一部分。

他在博客里详细描述了自己的"AI协作工作流"：

1. 头脑风暴阶段：用ChatGPT或Claude进行初步的思路探索，让AI提出各种可能的证明方向（虽然大部分是错的，但偶尔会有启发）
2. 形式化验证阶段：找到一个看起来可行的方向后，用AI辅助把证明思路翻译成Lean形式化语言，让计算机检查每一步是否正确
3. 论文写作阶段：证明完成后，用AI帮忙润色论文的语言表达，调整结构

他说，AI就像是一个"初级合作者"——它做不了最有创造性的工作，但能帮你处理大量繁琐的、机械性的劳动，让你把精力集中在真正需要思考的部分。

从"不屑"到"初级合作者"，陶哲轩的态度转变，其实也是整个数学界对AI态度的一个缩影。

1. 灵感阶段：有了一个新的数学想法，先跟AI聊一聊——“这个方向有没有人做过？”“类似的问题通常用什么方法？”
2. 探索阶段：尝试用不同的路径攻克问题，让AI帮忙计算一些特例、验证一些猜想
3. 证明阶段：找到证明思路后，让AI帮忙把证明形式化，检查有没有漏洞
4. 写作阶段：论文初稿写完后，让AI帮忙润色语言、调整结构

他特别强调：“AI不是来替我做数学的，而是来帮我做数学的。它就像一个初级合作者——有一些知识，能做一些工作，但还不够成熟，需要我来指导和把关。”

从"数学骗子"到"初级合作者"，陶哲轩用了一年时间走完了这段路。而这一年，恰恰也是AI技术进步最快的一年。

三、核心技术解析：AI到底是怎么做数学的？

说了这么多，你可能会好奇：AI做数学，到底是怎么做到的？它真的"理解"数学吗？

这是一个非常深刻的问题。在回答之前，我们先来看两种不同的"AI做数学"的路径。

路径一：大语言模型路线——“靠感觉做数学”

这是我们最熟悉的路线——ChatGPT、GPT-4、Claude这些大语言模型，都属于这一类。

它们怎么做数学呢？本质上和人类"刷题"有点像——

大语言模型在训练的时候，看了海量的数学教材、论文、习题解答。它"记住"了大量的数学模式：什么类型的问题通常用什么方法，什么定理经常和什么定理一起出现，标准的证明套路是什么样的。

当你问它一个数学问题时，它不是在"推理"，而是在"预测"——根据它学到的模式，预测下一句应该说什么。

这就解释了为什么大语言模型经常会"胡说八道"——因为它根本不知道自己说的对不对，它只是在生成"看起来像正确答案"的文本。

但你别说，这种"靠感觉做数学"的方式，在某些情况下还真挺管用的。尤其是在以下几个场景：

• 数学概念解释：用通俗的语言解释抽象的数学概念，AI做得比很多老师都好
• 证明思路启发：当你卡住的时候，跟AI聊聊，有时候它能给你一些意想不到的角度
• 多领域交叉：AI的"知识面"很广，有时候能发现不同数学领域之间的联系

当然，前提是你得有能力辨别它说的是对还是错。就像陶哲轩——他知道AI会犯错，但他也知道怎么从AI的一堆错误里，挖出有用的东西。

路径二：形式化证明路线——“靠逻辑做数学”

这是另一条完全不同的路线，也是让陶哲轩真正改观的路线。

形式化证明工具（比如Lean、Isabelle、Coq）本质上是一种证明助手。它不是来"替你证明"的，而是来"帮你检查证明对不对"的。

它的工作原理是这样的：

1. 你用一种非常严格的形式化语言，把数学定理和证明步骤"写"进系统里
2. 系统会一步一步地检查：这一步是不是符合逻辑规则？是不是从前面的步骤正确推导出来的？
3. 如果有任何一步不对，系统会立刻告诉你：“这里有问题，推导不成立。”

你可以把它想象成一个极度严谨的审稿人——它不会放过任何一个逻辑漏洞，不会接受任何"显然可得"，每一步都必须有严格的依据。

那AI在里面扮演什么角色呢？

AI扮演的是"翻译官"和"填缝工"的角色。

以前，你要把一个人类写的证明翻译成形式化语言，得自己一句一句地写，非常费时费力。现在有了AI，你可以用自然语言描述你的证明思路，AI会帮你翻译成形式化代码。

而且，对于证明中的一些"小缺口"——比如某个步骤你觉得"这一步很简单，应该能证出来"，但具体怎么证你懒得想——AI可以自动帮你补上。

陶哲轩是这么描述的：“就像我在前面探路，找到大方向，然后AI在后面铺路，把我踩出来的脚印变成一条平整的公路。”

为什么形式化验证这么重要？

说到这里，你可能会问：数学证明不是一直都是人来检查的吗？为什么一定要用计算机来验证？

问得好。我来给你讲一个故事。

1993年，数学家安德鲁·怀尔斯宣布证明了费马大定理——这个困扰了人类358年的难题。整个数学界都沸腾了。

然而，在随后的论文审稿过程中，审稿人发现了怀尔斯证明中的一个漏洞。这个漏洞非常隐蔽，藏在几百页证明的某一个角落里。怀尔斯花了整整一年时间，才把这个漏洞补上。

这就是问题所在：现代数学的证明越来越长、越来越复杂，有时候连最顶尖的数学家都难以完全掌握。

一个重要定理的证明，可能有几百页、涉及好几个不同的数学领域。审稿人要花好几个月甚至几年来检查，而且还不一定能找出所有问题。

历史上，有不少数学定理在被"证明"多年之后，才被发现证明是错的。

形式化验证就是来解决这个问题的。用计算机来检查证明，就不会有"漏看"的问题——只要系统说证明是对的，那它就是对的。

这也是为什么陶哲轩这么看重形式化验证——作为一个站在数学前沿的研究者，他太清楚"人会犯错"这件事了。

四、AI做数学，到底有多强？又有多弱？

现在我们来客观评估一下：AI在数学上的真实水平到底怎么样？它能做什么？不能做什么？

AI已经做得很好的事情

1. 计算和数值验证

这是AI（或者说计算机）的传统强项，不用多说。复杂的数值计算、大规模的模拟、暴力搜索反例……这些事情，AI比人类强一万倍。

2. 符号运算和公式推导

像Mathematica、Maple这些符号计算软件，已经发展了几十年了。现在加上AI之后，能力更强了——化简复杂表达式、求积分、解微分方程，这些机械性的推导工作，AI做得又快又准。

3. 形式化证明的翻译和检查

就像前面说的，把人类的证明思路翻译成形式化语言，以及检查形式化证明的正确性，这是AI目前最有价值的数学应用之一。

4. 数学知识检索和概念解释

想不起来某个定理叫什么名字？不确定某个定义是什么意思？AI可以快速帮你找到答案。而且它还能用通俗的语言解释抽象概念，对学生和研究者都很有帮助。

5. 跨领域联想

AI因为"见过"的东西多，有时候能发现一些人类注意不到的联系——比如数论里的某个方法，可能在组合数学里也能用。这种跨领域的联想，有时候能带来意外的突破。

AI还做不好的事情

1. 真正的数学创新

到目前为止，AI还没有独立证明出任何一个有重大意义的新数学定理。所有AI参与的数学突破，都是在人类数学家的指导下完成的。

为什么？因为数学研究的核心——提出正确的问题、找到正确的方向、产生真正的洞见——这些都需要深刻的数学直觉和创造力，而AI目前还没有这种能力。

2. 深度战略思考

证明一个大定理，就像打一场大仗。你需要制定战略、规划路线、预判哪里会有困难。这种宏观层面的战略思考，AI目前还做不了。它可以帮你打"局部战斗"，但"整场战争"还得人类来指挥。

3. 判断什么是"有趣"的数学

数学不只是"对不对"的问题，更是"好不好"、"有没有意思"的问题。什么样的问题值得研究？什么样的结果是重要的？这种审美层面的判断，AI还远远达不到人类的水平。

4. 发现新的数学对象和结构

数学史上的重大突破，很多是源于发现了全新的数学对象——比如虚数、非欧几何、群论、拓扑空间。这些全新概念的提出，需要人类特有的想象力和洞察力，AI目前还做不到。

一个中肯的评价

所以，如果让我给现在的AI数学能力打个分，大概是这样的：

• 本科生数学：优秀，大部分题都会做
• 研究生数学：及格，能看懂基本的证明和概念
• 前沿数学研究：辅助角色，能帮忙打下手，但当不了主力

就像陶哲轩说的，它是一个"初级合作者"——有一些能力，能帮上忙，但还远远独当一面不了。

五、5个值得一试的AI数学工具

说了这么多理论，你可能手痒痒想试试了。下面给大家推荐5个实用的AI数学工具，从学生党到研究者都能找到适合自己的。

1. Wolfram Alpha + GPT-4 —— 计算与推理的黄金组合

适用人群：所有人，从高中生到研究者

Wolfram Alpha是老牌的数学计算引擎，符号运算、数值计算、画图功能都非常强大。GPT-4则擅长理解自然语言和进行逻辑推理。

两者结合之后，你可以用自然语言描述你的数学问题，GPT-4负责"理解"问题并规划解题步骤，Wolfram Alpha负责具体的计算。

这个组合基本上能搞定本科及以下所有数学题，甚至很多研究生级别的问题也不在话下。

2. Lean —— 形式化证明的首选工具

适用人群：数学研究者、对形式化证明感兴趣的人

Lean是目前最火的形式化证明助手之一。它有一个非常活跃的社区，已经把大量的数学定理形式化了——从基础的代数分析，到前沿的代数几何，应有尽有。

Lean 4版本还集成了AI辅助功能，可以用自然语言来指导证明的生成。虽然还不是全自动的，但已经能大大提高形式化证明的效率了。

陶哲轩现在用的主要就是Lean。如果你想体验一下"人机协作做数学"的感觉，Lean是最好的入门选择。

3. Claude 3 Opus —— 长文档数学分析利器

适用人群：需要读大量数学论文的研究者

Claude 3 Opus最大的优势是它的上下文窗口非常大——可以一次塞进一整本数学书。

如果你想让AI帮你读一篇数学论文、梳理一本书的结构、或者比较不同证明之间的异同，Claude 3 Opus是目前最好的选择。

它在数学推理上的能力也很强，虽然偶尔还是会犯错，但比起前几年的模型，已经进步了一大截。

4. MathGPT —— 国内的数学AI助手

适用人群：国内用户、学生党

这是国内团队开发的数学专用AI，对中文数学题的理解能力比国外模型要好。它支持从小学到大学的各种数学题，不仅能给答案，还能给出详细的解题步骤。

如果你是学生，用它来辅助学习数学、检查作业、理解难题，是个不错的选择。

5. GitHub Copilot —— 数学编程的好帮手

适用人群：需要写代码的数学研究者

很多数学研究都需要写代码——做数值实验、验证猜想、跑模拟。这时候，GitHub Copilot就是你的好帮手。

它虽然不是专门的数学工具，但写起数学相关的代码（比如Python的NumPy、SciPy、SymPy）非常顺手。你只要描述一下你想做什么，它就能帮你写出完整的代码。

对于需要大量编程的计算数学、应用数学研究者来说，Copilot能节省很多时间。

六、未来展望：AI会取代数学家吗？

最后，我们来聊一个大家最关心的问题：AI最终会取代数学家吗？

我的答案是：不会。但会用AI的数学家，会取代不会用AI的数学家。

为什么这么说？我来给你讲两个历史故事。

第一个故事：计算器发明的时候，很多人说"算术家要失业了"。确实，纯靠手算吃饭的人少了很多。但数学并没有因此消亡——相反，因为数学家不用再花大量时间做计算了，他们可以研究更深、更难的问题，数学反而发展得更快了。

第二个故事：计算机代数系统（比如Mathematica）出现的时候，又有人说"数学家要失业了"。结果呢？数学家们把这些工具用得飞起，以前算不了的积分现在能算了，以前解不了的方程现在能解了。数学的边界反而扩大了。

AI也一样。它不是来取代数学家的，而是来解放数学家的。

想象一下，如果一个数学家不用再花时间做繁琐的计算、不用再花时间检查证明的细节、不用再花时间查文献找资料——他能把省下来的时间用在哪里？

用在真正需要人类智慧的地方：提出新的问题、发现新的方向、建立新的理论、做出新的洞见。

陶哲轩在他的博客里写了这么一段话，我觉得非常好：

“AI不会取代数学家。但AI会改变数学研究的方式。就像望远镜不会取代天文学家，但它会让天文学家看到以前看不到的东西。AI就是数学家的望远镜——它能帮我们看得更远、更深、更清楚。”

数学的本质，从来不是计算，也不是证明。数学的本质是洞见——对规律的洞察，对结构的理解，对美的追求。

这些东西，目前只有人类才有。

当然，我也不能说"AI永远不可能有真正的数学创造力"。谁知道呢？也许十年后，AI真的能独立提出新的数学理论，解决人类解决不了的问题。

但在那一天到来之前，我们最好的策略不是害怕AI，而是学会和AI合作。

就像陶哲轩做的那样——把AI当成一个合作者，一个工具，一个延伸自己能力的手段。

站在AI的肩膀上，人类数学家才能走得更远。

七、写在最后：保持好奇，拥抱变化

最后，我想聊聊陶哲轩这个人给我们的启示。

你想啊，陶哲轩是什么级别的人物？数学界的天花板，菲尔兹奖得主，智商据说有230。这样的人，按理说应该最"看不起"AI才对——毕竟他自己就是人类智慧的巅峰。

但恰恰是他，最快地接受了AI，最快地学会了用AI来辅助自己的研究。

为什么？因为他有两个非常宝贵的品质：

第一，保持开放的心态。

他没有因为第一次接触AI觉得"这东西不行"就一棒子打死。他持续关注、持续尝试，最终发现了AI的价值。

第二，准确评估工具的能力边界。

他清楚地知道AI能做什么、不能做什么。他没有神化AI，也没有贬低AI。他把AI放在了正确的位置上——一个有用的工具，一个初级合作者。

这其实是我们面对任何新技术时，都应该有的态度。

AI来了，它不是洪水猛兽，也不是万能神仙。它就是一个工具——一个很强大、但也有局限的工具。

真正重要的，不是AI有多强，而是我们有多会用AI。

陶哲轩已经走在了前面。他用实际行动告诉我们：哪怕是世界上最聪明的数学家，也能从AI那里获得帮助。

那我们呢？我们是不是也应该放下偏见，试着去了解这个新工具，试着去用它来提升自己？

数学的未来，是人机协作的未来。

而这个未来，已经开始了。

参考资料：

• 陶哲轩博客 “AI as a collaborator” 系列文章
• Lean Prover 官方文档与社区资源
• 《形式化数学导论》—— Jeremy Avigad