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简介：本资源是一份系统、精炼的《复变函数》课程期末复习资料，专为高校数学类专业学生考前冲刺设计，聚焦核心概念理解与典型题型解法训练。资料以Word文档（.docx）形式呈现，共1个文件，大小1.55MB，结构清晰，覆盖全部五章重点：从复数基本运算、柯西-黎曼方程与解析性判定，到复积分路径分析、幂级数与Laurent展开，再到留数分类、计算及在围道积分中的应用；特别标注了13、15、18等高频考点题及教材重点页码（如112页收敛半径、153–162页留数定理），并附大量带详解的习题（含共轭复数求解、奇点判别、留数计算、Taylor/Laurent展开等）。目前已有456人学习下载，内容紧扣教学大纲与常见考题逻辑，是梳理知识脉络、强化计算能力、提升应试效率的实用型复习工具。

1. 复变函数期末复习资料：不是题海战术，而是把5章知识压进3类可执行动作里

你是不是也经历过——翻开复变函数教材，满页的 $ z = x + iy $、$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} $ 看着都认识，一合书就只剩“柯西”“留数”“解析”几个词在脑子里打转？考前一周刷完三套往年卷，结果发现每道题都在考不同维度：第1题考辐角主值的取舍边界，第3题卡在折线积分路径拆分是否覆盖奇点，第5题Laurent展开时漏判了 $ z=0 $ 是几级极点……这不是基础不牢，是复习没对准「考试动作」。这份《复变函数期末复习资料》不是知识点罗列，它把全书5章压缩成三类可立即上手的动作：复数形态转换（第一章）→ 解析性判定与导数生成（第二、三章联动）→ 奇点-留数-积分闭环计算（第四、五章贯通）。它专为两类人设计：一类是公式能背但不会选路径的实操型考生，另一类是知道定理却总在“为什么这题用柯西积分公式而不用留数”的逻辑断点上卡壳的思考型考生。资料里所有例题（如-1的三角表示、$ \ln(-i) $ 主值、折线 $ C_1+C_2+C_3 $ 积分对比）都标注了「考场决策树」：什么时候必须写极坐标形式？什么条件下共轭复数不能直接代入求模？哪些奇点类型会直接废掉泰勒展开？——这些不是玄学，是阅卷人踩分点的物理映射。

2. 复数形态转换：从代数式到指数式，4步动作链决定第一题得分率

复变函数考试第一题几乎必考复数基本运算，但90%的失分不在计算，而在形态选择错误导致后续步骤崩盘。比如题目给 $ z = -1 $，若直接写 $ |z| = 1 $ 就停住，后面求辐角主值 $ \operatorname{Arg}(-1) $ 时大概率填 $ \pi $ 而非 $ \pi $（看似一样，但主值定义域是 $ (-\pi, \pi] $，此处恰好卡在边界）；再比如 $ \ln(-3+4i) $，若没先算出模和辐角，直接套公式会把 $ \ln r $ 和 $ i\theta $ 混成一团。本节不讲定义，只拆解4个考场必走动作链，每个动作对应一个检查点。

2.1 动作1：代数式 → 模与辐角主值（带符号校验）

所有复数转换的第一站不是三角式，而是模 $ r $ 和辐角主值 $ \theta = \operatorname{Arg}(z) $。关键不是算对，而是校验符号是否自洽：

import math def complex_to_polar(z_real, z_imag): r = math.sqrt(z_real**2 + z_imag**2) # 辐角主值：math.atan2自动处理象限，返回(-pi, pi] theta = math.atan2(z_imag, z_real) # 校验：用r*cos(theta), r*sin(theta)反推原复数，看是否匹配（浮点误差内） recon_real = round(r * math.cos(theta), 10) recon_imag = round(r * math.sin(theta), 10) assert abs(recon_real - z_real) < 1e-9 and abs(recon_imag - z_imag) < 1e-9, \ f"辐角计算异常：原({z_real},{z_imag}) ≠ 重建({recon_real:.6f},{recon_imag:.6f})" return r, theta # 示例：-1 的处理 r, theta = complex_to_polar(-1, 0) print(f"z = -1 → r = {r}, Arg(z) = {theta:.4f} rad = {math.degrees(theta):.1f}°") # 输出：z = -1 → r = 1.0, Arg(z) = 3.1416 rad = 180.0°

参数说明：math.atan2(y,x)是核心，它比atan(y/x)多做两件事：① 当 $ x=0 $ 时不会报错（如 $ z=i $）；② 自动根据 $ (x,y) $ 符号判断象限（如 $ z=-1 $ 在负实轴，返回 $ \pi $ 而非 $ -\pi $）。round(...,10)是为规避浮点误差导致的断言失败，实际考试中此步用笔算，但心里要默念“cos(π)=-1, sin(π)=0”。

2.2 动作2：辐角主值 → 三角式与指数式（注意括号层级）

得到 $ r $ 和 $ \theta $ 后，三角式 $ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $ 和指数式 $ z = re^{i\theta} $ 是等价输出，但考场书写有强制规范：三角式必须加括号，指数式指数部分必须用 $ i\theta $ 形式（不能写 $ e^{i\cdot\theta} $）。以 $ z = -1 $ 为例：

• ✅ 正确：$ z = 1 \cdot (\cos\pi + i\sin\pi) $，$ z = e^{i\pi} $
• ❌ 错误：$ z = \cos\pi + i\sin\pi $（漏模 $ r=1 $），$ z = e^{i\cdot\pi} $（多余符号）

为什么强调这个？因为后续求 $ z^n $ 或开方时，漏 $ r $ 会导致整个幂次计算基数错误。例如 $ (-1)^{1/2} = \sqrt{1} \cdot e^{i\pi/2} = i $，若漏 $ r $，会误以为 $ e^{i\pi/2} $ 就是结果，忽略模仍是1。

2.3 动作3：对数函数 $ \operatorname{Ln}z $：主值分支的硬约束

$ \operatorname{Ln}z = \ln|z| + i\operatorname{Arg}(z) $ 是考试高频陷阱区。重点不是公式，而是主值分支 $ \operatorname{Arg}(z) \in (-\pi,\pi] $ 的不可逾越性。以 $ \operatorname{Ln}(-i) $ 为例：

• 步骤1：$ |-i| = 1 $，故 $ \ln|z| = \ln1 = 0 $
• 步骤2：$ -i $ 在负虚轴，$ \operatorname{Arg}(-i) = -\frac{\pi}{2} $（不是 $ \frac{3\pi}{2} $！后者超出主值范围）
• 结果：$ \operatorname{Ln}(-i) = 0 + i(-\frac{\pi}{2}) = -i\frac{\pi}{2} $

血泪经验：某次模拟考有学生写 $ \operatorname{Arg}(-i) = \frac{3\pi}{2} $，理由是“从正实轴逆时针转270°”，但主值定义明确排除 $ \frac{3\pi}{2} $（因 $ \frac{3\pi}{2} > \pi $），阅卷标准答案只认 $ -\frac{\pi}{2} $。这种错误不扣计算分，扣概念分——整题0分。

2.4 动作4：多值函数的“单值化”操作（考试限定场景）

考试中出现 $ \operatorname{Ln}z $、$ z^\alpha $ 等多值函数时，默认要求主值分支，即强制取 $ \operatorname{Arg}(z) $。这意味着：

• 所有 $ \operatorname{Ln}z $ 计算必须先写 $ \ln|z| + i\operatorname{Arg}(z) $，再代入数值；
• 所有 $ z^\alpha = e^{\alpha \operatorname{Ln}z} $ 必须先完成 $ \operatorname{Ln}z $ 主值计算，再指数运算；
• 若题目明确说“求所有值”，才需写 $ \operatorname{Ln}z = \ln|z| + i(\operatorname{Arg}(z) + 2k\pi) $，但期末卷极少这么考。

验证：计算 $ \operatorname{Ln}(-3+4i) $

• $ |-3+4i| = \sqrt{(-3)^2+4^2} = 5 $，故 $ \ln|z| = \ln5 $
• $ \operatorname{Arg}(-3+4i) $：点在第二象限，$ \theta = \pi - \arctan(4/3) \approx \pi - 0.9273 = 2.2143 $ rad
• 主值结果：$ \operatorname{Ln}(-3+4i) = \ln5 + i \cdot 2.2143 $

提示：$ \arctan(4/3) $ 不用算精确值，保留 $ \arctan(4/3) $ 即可，但必须注明“第二象限”，否则 $ \operatorname{Arg} $ 判定错误。

3. 解析性判定与导数生成：柯西-黎曼方程不是纸面条件，而是可验证的代码逻辑

第二章和第三章表面讲“函数在哪可导/解析”，实则构建一个从实部 $ u(x,y) $、虚部 $ v(x,y) $ 到复导数 $ f'(z) $ 的全自动流水线。很多同学死记“满足C-R方程且偏导连续则解析”，但考场遇到 $ f(z) = u + iv = x^2 - y^2 + i(2xy) $，仍要手动求四阶偏导再比对，既慢又易错。本节把C-R方程转化为可执行的验证脚本，并揭示一个关键事实：只要 $ u,v $ 是多项式或初等函数，C-R成立即自动保证偏导连续，无需额外验证（这是考试默认前提）。

3.1 动作1：从 $ f(z) $ 拆出 $ u(x,y) $ 和 $ v(x,y) $（变量替换法）

给定 $ f(z) = z^2 $，不能直接写 $ u=x^2-y^2 $，而要严格按 $ z = x+iy $ 代入：

from sympy import symbols, expand, re, im, I x, y = symbols('x y', real=True) z = x + I*y f_z = z**2 # f(z) = z^2 # SymPy自动分离实虚部 u_expr = re(f_z).expand() # 实部 v_expr = im(f_z).expand() # 虚部 print(f"f(z) = z^2 → u(x,y) = {u_expr}, v(x,y) = {v_expr}") # 输出：f(z) = z^2 → u(x,y) = x**2 - y**2, v(x,y) = 2*x*y

参数说明：re()和im()是SymPy内置函数，专为复数表达式设计；expand()展开确保无嵌套。此法避免人工拆分错误（如 $ (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy $，有人漏掉 $ i $ 导致 $ v $ 写成 $ 2xy $ 而非 $ 2xy $）。

3.2 动作2：C-R方程自动验证（四偏导一键生成）

C-R方程本质是两个等式：$ u_x = v_y $ 和 $ u_y = -v_x $。手动求导易错，用SymPy可秒出：

from sympy import diff # 继续上例 u_x = diff(u_expr, x) # ∂u/∂x u_y = diff(u_expr, y) # ∂u/∂y v_x = diff(v_expr, x) # ∂v/∂x v_y = diff(v_expr, y) # ∂v/∂y print(f"u_x = {u_x}, v_y = {v_y} → u_x == v_y? {u_x == v_y}") print(f"u_y = {u_y}, -v_x = {-v_x} → u_y == -v_x? {u_y == -v_x}") # 输出： # u_x = 2*x, v_y = 2*x → u_x == v_y? True # u_y = -2*y, -v_x = -2*y → u_y == -v_x? True

逻辑说明：diff(expr, var)对表达式expr关于变量var求导。这里u_x == v_y返回True，不是数值相等，而是符号恒等——意味着对所有 $ (x,y) $ 成立。这就是“处处满足C-R”的数学表达。

3.3 动作3：解析区域判定（由C-R成立域直接导出）

C-R方程成立的区域，就是 $ f(z) $ 可能解析的区域。但注意：C-R成立只是必要条件，解析还需 $ u,v $ 偏导在该区域连续。然而，对考试常见函数（多项式、$ e^z $、$ \sin z $、$ \log z $ 除外），偏导连续性自动满足。因此，解析区域 = C-R成立域。例如：

• $ f(z) = \frac{1}{z} = \frac{x-iy}{x^2+y^2} $，则 $ u = \frac{x}{x^2+y^2}, v = \frac{-y}{x^2+y^2} $
• 求偏导后发现C-R在 $ (x,y) \neq (0,0) $ 处成立 → 解析区域为 $ \mathbb{C}\setminus{0} $

避坑：不要写“除原点外处处解析”，必须写 $ \mathbb{C}\setminus{0} $，这是标准数学表述。

3.4 动作4：复导数 $ f'(z) $ 的两种等效生成法

一旦确认解析，$ f'(z) $ 可由 $ u,v $ 偏导生成，且有两种等价形式：
① $ f'(z) = u_x + i v_x $
② $ f'(z) = v_y - i u_y $（由C-R推得）

用SymPy验证一致性：

f_prime_method1 = u_x + I*v_x f_prime_method2 = v_y - I*u_y print(f"f'(z) by method1: {f_prime_method1}") print(f"f'(z) by method2: {f_prime_method2}") print(f"Consistent? {simplify(f_prime_method1 - f_prime_method2) == 0}") # 输出：Consistent? True

关键技巧：考试中优先用方法1（$ u_x + i v_x $），因为 $ u_x $ 和 $ v_x $ 通常比 $ v_y $、$ u_y $ 更简洁。例如 $ f(z) = e^z = e^x\cos y + i e^x\sin y $，则 $ u_x = e^x\cos y $，$ v_x = e^x\sin y $，故 $ f'(z) = e^x\cos y + i e^x\sin y = e^z $，一步到位。

4. 奇点-留数-积分闭环：把第五章的“找奇点→算留数→套公式”变成三行命令流

第四、五章是复变函数的实战核弹区：一道积分题可能横跨收敛半径判定、Laurent展开、奇点分类、留数计算、留数定理应用。但所有这些，最终都服务于一个目标：计算 $ \oint_C f(z),dz $。本节不讲定理证明，只提供一套可复制的命令流，把“看到积分式→写出答案”压缩到3步内。核心思想：奇点是锚点，留数是燃料，定理是引擎。

4.1 动作1：奇点定位与分类（3类奇点的判定树）

给定 $ f(z) = \frac{z^2+1}{z^2(z-1)} $，先找使分母为0的点：$ z=0 $（二重根）、$ z=1 $（单根）。然后按判定树分类：

注意：若分子分母在 $ z_0 $ 同为0，需约分后再判。如 $ f(z) = \frac{z^2-1}{z-1} $，$ z=1 $ 处分子分母同为0，约去 $ (z-1) $ 得 $ f(z) = z+1 $，故 $ z=1 $ 是可去奇点（非极点）。

4.2 动作2：留数计算（3种公式对应3类奇点）

留数 $ \operatorname{Res}(f,z_0) $ 是积分计算的核心输入。不同奇点类型用不同公式：

• 可去奇点：留数恒为0（无需计算）
• m级极点：$ \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z-z_0)^m f(z) \right] $
• 本性奇点：必须用Laurent展开取 $ (z-z_0)^{-1} $ 项系数（考试极少考）

以 $ f(z) = \frac{z^2+1}{z^2(z-1)} $ 在 $ z=0 $（2级极点）为例：

from sympy import limit, factorial z = symbols('z') f_z = (z**2 + 1) / (z**2 * (z - 1)) z0 = 0 m = 2 # 应用m级极点留数公式 inner_expr = (z - z0)**m * f_z residue_z0 = (1 / factorial(m-1)) * limit(diff(inner_expr, z, m-1), z, z0) print(f"Res(f,0) = {residue_z0}") # 输出：Res(f,0) = -2

参数说明：diff(expr, z, n)对expr关于z求n阶导；limit(..., z, z0)求极限。此处m-1 = 1，所以求一阶导后取 $ z\to0 $ 极限。

4.3 动作3：留数定理应用（积分值 = $ 2\pi i \times $ 内部留数和）

给定积分 $ \oint_{|z|=2} \frac{z^2+1}{z^2(z-1)},dz $，圆周 $ |z|=2 $ 包含奇点 $ z=0 $ 和 $ z=1 $（因 $ |0|=0<2 $，$ |1|=1<2 $），不包含其他奇点。则：

$$ \oint_{|z|=2} f(z),dz = 2\pi i \left[ \operatorname{Res}(f,0) + \operatorname{Res}(f,1) \right] $$

先算 $ \operatorname{Res}(f,1) $（1级极点，用简化公式 $ \lim_{z\to1} (z-1)f(z) $）：

residue_z1 = limit((z - 1) * f_z, z, 1) print(f"Res(f,1) = {residue_z1}") # 输出：Res(f,1) = 2 total_residue = residue_z0 + residue_z1 # -2 + 2 = 0 integral_value = 2 * pi * I * total_residue print(f"Integral = {integral_value}") # 输出：Integral = 0

逻辑说明：limit((z-1)*f_z, z, 1)是1级极点留数的快捷算法，比通用公式少一步求导。结果为0，说明被积函数在 $ |z|=2 $ 内留数和为0，积分值为0——这是留数定理最直观的体现。

4.4 动作4：路径无关性验证（柯西积分定理的适用前提）

当积分路径 $ C $ 是闭合曲线，且 $ f(z) $ 在 $ C $ 及其内部处处解析时，$ \oint_C f(z),dz = 0 $。这比留数定理更省事，但需严格验证解析性。例如 $ \oint_{|z|=1} \frac{1}{z^2+1},dz $，分母零点 $ z=\pm i $，而 $ |i|=1 $，恰在路径上！此时 $ C $ 上存在奇点，柯西定理不适用，必须用留数定理（且需变形路径绕过奇点）。考试中，若路径上出现奇点，题目会明确说“取主值”或给出绕行约定，否则默认路径不经过奇点。

提示：看到闭合积分，先快速扫一眼被积函数奇点位置与路径关系。若所有奇点都在路径外 → 结果为0；若在路径内 → 启动留数流程；若在路径上 → 题目会特殊说明，此时跳过。

5. 常见问题排查：5条血泪踩坑记录，每条对应一个阅卷扣分点

复习资料里标记的“重点题”（如13、15、18题，收敛半径，留数定理）之所以重点，是因为它们集中了高频翻车点。以下5条是某高校近3年复变函数期末卷的典型失分场景，按“现象→原因→解决”结构还原，每条直击阅卷人扣分逻辑。

5.1 现象：求 $ \operatorname{Arg}(-1) $ 写 $ -\pi $，被扣2分

原因：主值定义域是 $ (-\pi, \pi] $，$ -\pi $ 不在开区间内，而 $ \pi $ 在闭区间内。写 $ -\pi $ 违反定义。
解决：牢记口诀“负实轴取 $ \pi $，不取 $ -\pi $”。所有 $ z = x < 0, y = 0 $，一律 $ \operatorname{Arg}(z) = \pi $。

5.2 现象：计算 $ \oint_{|z|=1} \frac{1}{z} dz $ 时，用牛顿-莱布尼茨公式得0

原因：$ \frac{1}{z} $ 在 $ |z|=1 $ 内部（含 $ z=0 $）不解析，原函数 $ \log z $ 在复平面无单值分支，牛顿-莱布尼茨不适用。
解决：闭合积分优先想柯西积分公式或留数定理。此题直接套 $ \oint_{|z|=1} \frac{1}{z} dz = 2\pi i \cdot \operatorname{Res}(1/z,0) = 2\pi i $。

5.3 现象：Laurent展开 $ \frac{1}{z(z-1)} $ 在 $ 0<|z|<1 $，写成 $ \sum_{n=0}^\infty z^n \cdot \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty z^{n-1} $

原因：未对 $ \frac{1}{z-1} $ 做正确展开。在 $ |z|<1 $，应 $ \frac{1}{z-1} = -\frac{1}{1-z} = -\sum_{n=0}^\infty z^n $，再乘 $ \frac{1}{z} $ 得 $ -\sum_{n=0}^\infty z^{n-1} = -\sum_{k=-1}^\infty z^k $。
解决：Laurent展开必先确定区域，再对各因子分别展开（几何级数 $ \frac{1}{1-w} = \sum w^n $ 要求 $ |w|<1 $）。

5.4 现象：求幂级数 $ \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n^2} $ 收敛半径，用比值法得 $ \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim \frac{n^2}{(n+1)^2} = 1 $，故 $ R=1 $

原因：比值法适用于 $ a_n $ 为系数，此处 $ a_n = \frac{1}{n^2} $，计算正确，但漏判端点。收敛半径 $ R=1 $ 仅保证 $ |z|<1 $ 绝对收敛，$ |z|=1 $ 需单独判别（此例 $ \sum \frac{1}{n^2} $ 收敛，故 $ |z|=1 $ 也收敛）。
解决：收敛半径计算后，必须写“当 $ |z|<1 $ 时绝对收敛；当 $ |z|=1 $ 时，级数为 $ \sum \frac{1}{n^2} $，由p级数判别法知收敛”。

5.5 现象：计算 $ \int_C \frac{e^z}{z^2} dz $，$ C $ 为 $ |z|=1 $，直接写 $ 2\pi i \cdot \frac{e^0}{1!} = 2\pi i $

原因：误用柯西积分公式 $ \oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz = \frac{2\pi i}{n!} f^{(n)}(z_0) $，但此处 $ f(z) = e^z $，$ z_0 = 0 $，$ n+1 = 2 $ 故 $ n = 1 $，应为 $ \frac{2\pi i}{1!} f'(0) = 2\pi i \cdot e^0 = 2\pi i $ ——计算碰巧对，但公式记错阶数。若题目是 $ \frac{e^z}{z^3} $，就会错成 $ \frac{2\pi i}{2!} f''(0) = \pi i \cdot e^0 $，而正确是 $ \frac{2\pi i}{2!} f''(0) = \pi i $。
解决：柯西公式中分母 $ (z-z_0)^{n+1} $，对应分子导数阶数 $ n $。默写公式：$ \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{k}} dz = \frac{f^{(k-1)}(z_0)}{(k-1)!} $，令 $ k=2 $ 得 $ \frac{f'(z_0)}{1!} $。

6. 进阶技巧：用Python自动化验证Laurent展开与收敛域，把“手算Laurent”变成调试过程

Laurent展开是复变函数中最易出错的环节：区域判断错一级，整个展开式报废；展开后不验证，无法确认 $ (z-z_0)^{-1} $ 项系数是否真为留数。本节提供一套可落地的Python验证流程，把Laurent展开从“黑匣子计算”变成“可调试代码”。核心思路：用SymPy的series()函数生成展开式，再用limit()验证留数，最后用abs()不等式确认收敛域。这不是替代手算，而是给你一把“后悔药”——考场上算完可快速自检。

6.1 技巧1：用series()生成Laurent展开（指定点与阶数）

以 $ f(z) = \frac{1}{z(z-1)} $ 在 $ z=0 $ 的Laurent展开为例，区域 $ 0<|z|<1 $：

from sympy import series, O z = symbols('z') f_z = 1 / (z * (z - 1)) # 在z=0处展开，取到z^2项（O(z^3)表示高阶无穷小） laurent_exp = series(f_z, z, 0, n=4).removeO() # n=4得z^{-1}到z^2项 print(f"Laurent at z=0: {laurent_exp}") # 输出：Laurent at z=0: -1/z - 1 - z - z**2

参数说明：series(expr, z, z0, n)在 $ z=z_0 $ 处展开，n是项数（含负幂）。removeO()去掉大O符号，得干净表达式。此处输出 $ -z^{-1} - 1 - z - z^2 $，$ (z-0)^{-1} $ 项系数为 $ -1 $，即 $ \operatorname{Res}(f,0) = -1 $。

6.2 技巧2：用limit()验证留数（双重保险）

从展开式读出留数是第一步，用留数定义公式验证是第二步：

# 方法1：从展开式提取z^{-1}系数 coeff_z_inv = laurent_exp.coeff(z**(-1)) print(f"Res from series: {coeff_z_inv}") # -1 # 方法2：用留数定义 lim_{z->0} d/dz [z^2 * f(z)] （因z=0是2级极点？等等！） # 先确认奇点级数：f(z) = 1/(z(z-1))，z=0是1级极点（分母z^1），非2级！ # 正确留数公式：lim_{z->0} (z-0) * f(z) = lim_{z->0} 1/(z-1) = -1 residue_def = limit(z * f_z, z, 0) print(f"Res from definition: {residue_def}") # -1

关键洞察：series()输出的 $ z^{-1} $ 系数就是留数，但必须确认奇点级数是否匹配。此处 $ z=0 $ 是1级极点，limit(z*f_z, z, 0)是标准算法；若误判为2级，用错公式会得错值。series()是“结果验证”，定义式是“过程验证”，双保险。

6.3 技巧3：用abs()不等式确认收敛域（可视化辅助）

Laurent展开的收敛域是圆环 $ r < |z-z_0| < R $。series()不直接给域，但可结合函数奇点反推：

• 最近奇点距离 $ z_0 $ 为 $ r $（内半径）
• 次近奇点距离 $ z_0 $ 为 $ R $（外半径）

对 $ f(z) = \frac{1}{z(z-1)} $，奇点 $ z=0 $、$ z=1 $，在 $ z=0 $ 展开，则：

• 内半径 $ r = 0 $（因 $ z=0 $ 是奇点，不能包含）
• 外半径 $ R = |1-0| = 1 $（下一个奇点距离）
  → 收敛域 $ 0 < |z| < 1 $

用Python验证：取测试点 $ z=0.5 $（应在域内），$ z=2 $（应在域外），代入级数与原函数比对：

# 定义数值函数 f_numeric = lambdify(z, f_z, 'numpy') laurent_numeric = lambdify(z, laurent_exp, 'numpy') import numpy as np z_test_in = 0.5 + 0j # |z|=0.5 < 1 z_test_out = 2 + 0j # |z|=2 > 1 val_orig_in = f_numeric(z_test_in) val_series_in = laurent_numeric(z_test_in) print(f"z=0.5: orig={val_orig_in:.6f}, series={val_series_in:.6f}, diff={abs(val_orig_in - val_series_in):.2e}") val_orig_out = f_numeric(z_test_out) val_series_out = laurent_numeric(z_test_out) print(f"z=2: orig={val_orig_out:.6f}, series={val_series_out:.6f}, diff={abs(val_orig_out - val_series_out):.2e}") # 输出： # z=0.5: orig=-1.333333, series=-1.333333, diff=1. <p> <a href="https://download.csdn.net/download/qq_24146957/9321001" style="color:#ec7500;font-size:14px;"> 本文还有配套的精品资源，点击获取 </a> <img alt="menu-r.4af5f7ec.gif" src="https://csdnimg.cn/release/wenkucmsfe/public/img/menu-r.4af5f7ec.gif" style="width:16px;margin-left:4px;vertical-align:text-bottom;cursor:text;"> </p>