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简介：《运筹学期末练习试卷(1).doc》面向运筹学期末复习与自测的本科生、考研备考生及需巩固建模方法的读者，围绕线性规划、整数规划、网络分析与计算题组织练习，帮助梳理考点并训练从实际问题抽象数学模型的能力。压缩包内共1个doc文件，大小约1.09MB，内容按建模题、名词解释、作图填空和计算题展开，涵盖生产计划利润最大化、经济规模整数约束、PERT/CPM关键路径、定性定量分析、对偶问题、决策树及运输问题表上作业等典型题型。已有571人学习，适合用于考前查漏补缺、课堂练习对照和解题思路复盘；题目附有部分建模与求解过程，可据此理解约束条件设置、关键路线判断及对偶解求法，提升独立完成同类题目的效率。

1. 先看清这张卷子的分值分布

运筹学期末这张练习卷，分值几乎是把考点写在脸上：建模30分、名词解释10分、网络图填空15分、计算题30分、对偶综合15分。真正拉开差距的不是单纯形表算得多快，而是建模题变量设得对不对、网络图总时差有没有算反。整张卷子就六类题——线性规划建模、整数规划0-1建模、对偶与互补松弛、网络计划关键路线、决策树、运输问题表上作业。复习时间紧的人，先把这六类的答题骨架背下来，再拿真题往里套，比从头推公式快得多。这张卷子适合期末前两周拿来卡时间练，也适合面试前快速过一遍建模思路。

2. 建模题：三类模型怎么落笔才不返工

建模题一共30分，三道小题各10分，只建模不求解。很多人觉得“不求解”就是送分，结果变量设错、约束漏写，10分直接掉到4分。建模题的评分逻辑很直接：变量定义清楚给2分，约束写全给5分，目标函数写对给2分，量纲和符号说明给1分。下面按卷子里的三道题，把每一类模型的落笔顺序拆开。

2.1 线性规划建模：副产品、销毁量与目标函数的合并

第一题是A、B两种产品经过两道工序，B生产一单位同时产出两单位副产品C，C最多卖10单位，卖不掉要销毁，销毁费1元/单位。这道题最容易翻车的地方不是约束，而是把“销毁量”和“销售量”混成一个变量。

设 (x_1) 为A的产量，(x_2) 为B的产量，(x_3) 为销毁的C的数量。C的产量是 (2x_2)，销售量是 (2x_2-x_3)，最多卖10单位，所以 (2x_2-x_3\le 10)。销毁量不能超过产量，补一条 (x_3\le 2x_2)。两道工序的工时约束照抄：A前道2小时、后道3小时，B前道3小时、后道4小时，前道200小时、后道240小时。

max z = 5x1 + 10x2 + 3(2x2 - x3) - 1*x3 s.t. 2x1 + 3x2 ≤ 200 3x1 + 4x2 ≤ 240 2x2 - x3 ≤ 10 x3 ≤ 2x2 x1, x2, x3 ≥ 0

目标函数可以合并成 (z=5x_1+16x_2-4x_3)。为什么是16：B本身利润10元，每单位B附带2单位C，每单位C卖3元，合起来 (10+2\times3=16)。为什么是-4：销毁一单位C，少赚3元还倒贴1元销毁费，合计损失4元。合并之后目标函数更干净，阅卷老师一眼能看出你懂副产品的经济含义。

这里有个细节：如果分开写目标函数，写成 (5x_1+10x_2+3(2x_2-x_3)-x_3)，同样是对的，但要在旁边注明“(2x_2-x_3) 为C的销售量，(x_3) 为销毁量”。不注明的话，阅卷老师可能认为你把销毁量当成了负销售量，扣分。变量定义写三行，比事后解释省事。

约束里的工时别搞反。A是前道2、后道3，B是前道3、后道4，卷子第一段就给了。有人看到“前道200、后道240”就把200配给后道，整道题白写。落笔前先用笔在题面上把“前道—A2/B3—200”“后道—A3/B4—240”圈出来，再抄进模型。

2.2 整数规划建模：经济规模背后的0-1变量与大M

第二题是三种轿车，钢材、人工、利润给了表，每种车有经济规模：微型1500辆、中级1200辆、高级1000辆，达到规模才能生产。这题考的是“要不要生产”的逻辑，不是简单的产量整数。

设 (x_1,x_2,x_3) 为三种车的产量，设 (y_1,y_2,y_3\in{0,1}) 表示是否生产该车型。约束分三层：资源约束、规模约束、逻辑约束。

max z = 2x1 + 3x2 + 4x3 s.t. 1.5x1 + 2x2 + 2.5x3 ≤ 6000 30x1 + 40x2 + 50x3 ≤ 55000 x1 ≥ 1500y1, x1 ≤ M1y1 x2 ≥ 1200y2, x2 ≤ M2y2 x3 ≥ 1000y3, x3 ≤ M3y3 x1, x2, x3 ≥ 0 且为整数 y1, y2, y3 ∈ {0,1}

(M_i) 是产量上界，由资源约束算出来。微型车钢材最多 (6000/1.5=4000) 辆，人工最多 (55000/30\approx1833) 辆，取小的1833；中级车取1375；高级车取1100。上界取紧一点没关系，只要不小于可行产量就行。有人问上界取大了会怎样：模型仍然对，但分支定界的搜索空间变大，如果要求解会慢；只建模的话，取资源上限是标准做法。

只写 (x_1\ge1500) 不写0-1变量，等于强制三种车都生产，模型就错了。只写 (y_i) 不写 (x_i\le M_iy_i)，模型允许“不生产但产量为正”，逻辑上矛盾。这两个约束必须成对出现，阅卷时少一条扣2分。

还有一点：题目说“产量必须达到一定数量时才可进行生产”，没说“达到规模后可以无限生产”，所以上界还是要写。整数约束别漏，(x_i) 是车辆数，不能是小数。

2.3 自制或购买：机器工时与需求平衡的写法

第三题是28台织布机，D型20台、R型8台，每月30天、每天24小时，算出来D型总工时 (20\times30\times24=14400) 小时，R型 (8\times30\times24=5760) 小时。四种纺织品，D型能生产1到4，R型只能生产3和4。需求必须满足，可以自制也可以购买。

设 (x_{D1},x_{D2},x_{D3},x_{D4}) 为D型机生产四种产品的小时数，(x_{R3},x_{R4}) 为R型机生产3、4的小时数，(y_1) 到 (y_4) 为购买量。每小时产量：D型生产1、2是4.63，生产3、4是5.23；R型生产3、4是5.23。

需求平衡写成等式：

4.63xD1 + y1 = 165000 4.63xD2 + y2 = 220000 5.23xD3 + 5.23xR3 + y3 = 62000 5.23xD4 + 5.23xR4 + y4 = 75000

工时约束：

xD1 + xD2 + xD3 + xD4 ≤ 14400 xR3 + xR4 ≤ 5760

目标函数要先算单位利润，不能拿售价当利润。自产单位利润 = 售价 - 可变成本，购买单位利润 = 售价 - 购买价。卷子已经给了：产品1自产0.33、购买0.19；产品2自产0.31、购买0.16；产品3自产0.61、购买0.50；产品4自产0.73、购买0.54。

max z = 0.33*4.63xD1 + 0.31*4.63xD2 + 0.61*5.23(xD3 + xR3) + 0.73*5.23(xD4 + xR4) + 0.19y1 + 0.16y2 + 0.50y3 + 0.54y4

这里容易错的地方是“自产利润按小时算还是按产量算”。目标函数里乘了每小时产量，因为 (x) 是小时数，产量 = 小时数 × 每小时产量，利润 = 产量 × 单位利润。不乘每小时产量，目标函数就少了一个量纲，数值全错。

R型机不生产1、2，所以 (x_{R1},x_{R2}) 根本不设，设了反而说明没看清表。需求平衡用等式，因为题目说“满足所有需求”，没有缺货选项。如果题目改成“允许缺货”，就要加缺货变量、改等式为不等式，那是另一种题型了。

3. 对偶与名词解释：10分和15分怎么稳拿

名词解释10分、对偶综合15分，加起来25分，比建模题少5分，但拿分难度低得多。这两块的核心是“规则记准、步骤写全”，不需要临场发挥。很多人在这块丢分，不是不会，是答得太随意，名词解释写成一句话，对偶题只写答案不写过程。

3.1 名词解释怎么答才不丢分：定性vs定量、对偶问题

名词解释两题各5分，答题量控制在4到5句话，结构是“定义+特点+适用场景+一句对比”。定性分析：决策者依据经验、直觉、判断做决策，主观性强，适合数据少、环境不确定的问题。定量分析：依据数据、模型、计算做决策，客观、可验证，适合结构化、可量化的问题。两者不是替代关系，实际决策常常先定性筛方向、再定量算方案。

线性规划的对偶问题：每一个线性规划问题都有一个对应的对偶问题，原问题求最大，对偶问题求最小；原问题的约束系数矩阵转置后成为对偶问题的约束矩阵，右端项和目标函数系数互换。对偶变量的经济含义是资源的影子价格，也就是资源每增加一个单位时目标函数的变化量。

答“对偶问题”时，不要只写“答案不唯一”就结束。卷子上的参考答案说“可以给出一个具体线性规划和其标准型进行阐述”，意思是让你举一个例子说明原问题和对偶问题的对应关系。标准答法是：先写一句定义，再写一个两变量两约束的例子，最后点一句影子价格。例子不用复杂，卷子里的计算题1就可以拿来用。

3.2 对偶问题的写出规则：max与min的符号对照

写出对偶问题的规则，用一张对照表记最稳。

举个具体例子。原问题：

max z = 3x1 + 2x2 s.t. x1 + 2x2 ≤ 4 2x1 + x2 ≤ 5 x1, x2 ≥ 0

对偶问题：

min w = 4y1 + 5y2 s.t. y1 + 2y2 ≥ 3 2y1 + y2 ≥ 2 y1, y2 ≥ 0

写的时候按三步走：第一步，目标函数从max换成min，右端项 (b) 变成对偶的目标系数；第二步，约束矩阵转置，原问题的第i行变成对偶的第i列；第三步，按对照表定符号。三步写完，回头检查系数矩阵是不是转置关系，右端项和目标系数是不是互换了，这两个检查点能拦住大部分符号错误。

卷子综合题的原问题没有完整印出来，但答题逻辑一样：先写对偶，再代入原问题最优解，用互补松弛性求对偶最优解。符号规则记不住，整道题从第一步就错。

3.3 互补松弛性：已知原问题最优解求对偶最优解

互补松弛性是综合题的核心工具。原问题最优解 (x^)、对偶最优解 (y^)，满足两组条件：如果原问题第i个约束严格不等（松约束），则 (y_i=0)；如果 (x_j>0)，则对偶问题第j个约束取等号。反过来也成立。

卷子里的综合题给的是原问题最优解，要求对偶最优解。答题步骤固定：

第一步，写出对偶问题，符号按3.2的对照表定。

第二步，把原问题最优解代入原问题的每个约束，看哪些是严格不等。严格不等的约束对应的对偶变量直接令0。卷子答案里“将 (x^*) 带入原线性规划，(y_3=0)”就是这个动作。

第三步，把 (y_i=0) 代回对偶约束，结合 (x_j>0) 对应的对偶约束取等号，解剩下的方程组。解完代回对偶目标函数验证。

第四步，写一句“由互补松弛性可知”，把用到的条件点出来。阅卷老师看的就是这句，不写的话过程分拿不全。

这里有个容易忽略的点：互补松弛性用的是“最优解”，不是“可行解”。题目给的原问题解必须是最优解，才能用这套推导。如果题目只给可行解，要先验证最优性，或者用单纯形表判断。

4. 网络计划与计算题：45分的操作细节

网络图填空15分、计算题30分，加起来45分，是整张卷子分值最高的板块。这部分的特点是“会就全对、错就全错”，关键路线找错，后面四五个空跟着错。下面按题型拆开，每个题型给一套可复现的步骤。

4.1 网络计划：关键路线、总工期与总时差

卷子给的活动表：A(5天，无紧前)、B(1天，无紧前)、C(2天，紧前B)、D(4天，紧前A、C)、E(6天，紧前A)、F(3天，紧前D、E)。先画网络图：起点引出A和B，B指向C，A和C共同指向D，A指向E，D和E共同指向F，F指向终点。

顺推最早时间：A的ES=0、EF=5；B的ES=0、EF=1；C的ES=1、EF=3；D的ES取A的EF=5和C的EF=3的较大者，ES=5、EF=9；E的ES=5、EF=11；F的ES取D的EF=9和E的EF=11的较大者，ES=11、EF=14。总工期14天。

逆推最迟时间：F的LF=14、LS=11；E的LF=11、LS=5；D的LF=11、LS=7；C的LF取D的LS=7，LS=5；A的LF取D的LS=7和E的LS=5的较小者，LF=5、LS=0；B的LF=C的LS=5，LS=4。

总时差 = LS - ES：A为0，B为4，C为4，D为2，E为0，F为0。关键路线是总时差为0的活动连成的从起点到终点的路径，即A-E-F，长度 (5+6+3=14)，和总工期一致。

填空答案：关键路线A-E-F，完工时间14天，B可推迟4天，E可推迟0天。

这里最容易错的是B的总时差。有人看到B不在关键路线上，就随手写0或者写1。总时差是4，因为B后面接C，C后面接D，D的最迟开始是7，C的最迟开始是5，B的最迟开始是4，B的最早开始是0，差4天。自由时差才是0，因为B的最早完成是1，C的最早开始也是1，中间没有松动。考试填空问的是“可以推迟多少天而不延误工期”，问的是总时差，不是自由时差。

4.2 决策树：先验、后验与试销费

计算题2是决策树。不试销直接大批量投产：销路好概率0.7、获利1200万；销路差概率0.3、亏损150万。期望收益 (0.7\times1200+0.3\times(-150)=840-45=795) 万。

试销方案：试销费5万。试销销路好的概率0.8，试销好时大批量投产销路好的概率0.85

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