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第二十一夜 数字黑洞与西西弗斯的惩罚

上一夜的习题Ⅱ，你写过一个程序，从 9376 往前接一位，把 0 到 9 各试了一遍，看哪个数字接得上。把所有的可能挨个试一遍，这是程序最笨、也最诚实的功夫。这一夜，这个功夫要升级一次。不是十个数字挨个试，是九千个号码一起试。因为这一夜要进数字王国的边疆，那里有两座洞。第一座洞不挑食，一串数字不管多长，掉进去几步就安家。第二座洞挑剔，可整个王国的九千个四位数，一个不少，全被它收了。第二座洞你其实见过。第二夜的那幅画里，它露过一面，只给了一幅画的功夫。这一夜回去，把没讲完的讲完。

先看第一座。数字王国的人讲一个老故事。有个人叫西西弗斯，得罪了天上的神，罚他把一块圆石推上山顶。石头太重，每一次快到顶，就滚下来，他就再推。神仙罚人，从不罚一次性的痛，罚的是重复。后世有个叫加缪的法国人把这个故事讲成了现代哲学，他说，那块石头是每个人手里的日子。数字王国的人听了这个故事，想起自己家里的一件事，就给一道算术起了这个名字。

规则很简单。任取一串数字，比如 1234567890。数一数里面有几个偶数，几个奇数，一共几位。偶数是 2、4、6、8、0，五个；奇数是 1、3、5、7、9，也是五个；一共十位。把这三个数并排写成新数，就是 5510。对 5510 再来一遍。5、5、1 三个奇数，0 一个偶数，共四位，新数 134。再来一遍。134 里，4 一个偶数，1、3 两个奇数，共三位，新数 123。再走一步试试。

$$1+2=3$$

123 里面，2 是偶数，一个；1 和 3 是奇数，两个；一共三位。偶数一个，奇数两个，总位数三位，拼起来还是 123。它到了家。再推多少遍，还是 123。石头再也滚不下去了。

名字里是惩罚，洞里是安家。这是这一夜的第一层反转。数字王国的人起这个名字的时候，大约只想着推石头的苦，没有想过最后一格棋盘上的结局。西西弗斯推了千万年，石头永远滚下来；123 只用了三步，就再也不用推了。神仙要是这么罚数，数们都抢着去。

这个洞还有一件更奇怪的事，它不在乎来路有多长。规则里说的不是四位数，不是十位数，是任取一串。我拿程序试过一串一万位的数字，随机生成的，一万个数字排成一条长队。你猜几步到家。四步。第一步，一万位塌成 13 位；第二步，13 位塌成 4 位；第三步到 123；第四步，验证它确实不再动了。一万个数字的队伍，走了四步。这个洞吞噬一切长度，靠的不是什么深渊巨口，是一把尺子。不管多长的串，数完偶数奇数位数，写出来的新数只有三段，而这三段天然满足一件事，偶数的个数加奇数的个数，恰好等于总位数。也就是说，第一步落地之后，天下所有的新数都守着同一个约束，三个组成部分，前两个加起来等于第三个。我让程序把这种受约束的数枚举了两百万个，全部走了一遍，最顽固的也只用了三步。这就是两百万次勘探换来的判决，这座洞的深，不在于它的口子开得多大，在于它的底是平的，谁都摔得到，摔到了就站得住。

有两个细节要交代，都是坑。第一个，0 算不算偶数。算。数学里 0 是偶数，这里照办，所以 134 里的 0 计入偶数那一栏。第二个，拼新数的时候如果奇数是零个，写不写那个 0。比如数字串 40，偶数两个，奇数零个，共两位。新数写成 202，还是写成 22。我两种都跑了。按前一种，40 走三步到家；按后一种，22 再变 202，也走四步到家。殊途同归，步数不同，家是同一个。较真的读者可以自己跑一遍，这个洞对细节的宽容大得出奇。

这座洞是谁发现的，查不到了。中文世界管它叫西西弗斯黑洞，趣味数学的读物里流传了几十年，始作俑者无据可查。本书的规则，这样的数登记为民间流传。跟它相对的第二座洞就完全两样了，发现者的姓名、年代、发表在哪儿，一笔一笔都查得清清楚楚。因为这座洞的发现者，不是数学家。

他叫卡普雷卡尔，印度人，1905 年生，一辈子在孟买东北一座叫德夫拉利的小镇上当学校教师。不是大学教授，不是研究院的研究员，是一个每天给学生上课、批作业的教书匠。他业余的全部爱好，是自己跟数字玩。1949 年，他四十四岁，玩出了第二座洞。1955 年，他把这个发现写成一篇几页的短文，发表在一份叫 Scripta Mathematica 的数学杂志上，题目老老实实，就叫「数 6174 的一个有趣性质」。又过了二十年，1975 年，美国科普作家马丁·加德纳在他那档举世闻名的「数学游戏」专栏里写了它，从此全世界的趣味数学爱好者都认识了这个数。一个人，一间小镇教室，一支笔，玩出了一个全世界传诵的数。顺带说一句，这位教师的发现不止这一个。他发现过一类自己平方之后劈成两半再相加还能还原自己的数，最典型的是 45，因为 45 的平方是 2025，20 加 25 等于 45。他还发现过一类怎么也写不成「一个数加上它的数位和」的数，干脆用家乡的名字给它们命名，叫德夫拉利数。小镇给了他饭碗，他给小镇留了名。

6174 这座洞的规则，你在第二夜已经见过，这里正名。任写一个四位数，要求四个数字不全相同。把数字从大到小排一遍，得到最大的数；从小到大排一遍，得到最小的数；大的减小的。对差数再做同样的事。这一套动作，天下人叫它重排求差。卡普雷卡尔发现，不管你从哪个四位数出发，反复重排求差，至多七步，必定落在 6174。到了 6174 之后呢，你在第二夜也见过，7641 减 1467，还是 6174。

先补一句三位数的。四位数的规则缩到三位数上，洞还在，只是门牌换了。任取一个三位数，三个数字不全相同，重排求差，反复做，最后必定落在 495。比如 207，720 减 027 得 693，963 减 369 得 594，954 减 459 得 495，到了。三位数的 495 和四位数的 6174，是同一座井的两层，不是两座洞。这一点我可以说得很有底气，因为这道题我亲手讲过。2025 年 11 月 12 日，机房，三个数字的重排求差，我在课堂上当堂手敲，半小时一遍过。拆位，排序，大减小，do-while 循环，每一步打印一行。那份代码的题面里有一句话，我当年抄题的时候没有多想，这一夜才看清它的分量。题面说，序号从 1 开始，直到 495 出现在等号右边为止。这句话意味着，如果输入的数就是 495，程序也要做一次重排求差，打印出 954 减 459 等于 495，然后才许停。我已经到家了，还得再走一步。这话是谁定的，题目的作者。为什么这么定，为了让循环的出口有个统一的判据。这一夜的最后我们要回到这句话，它比看上去深得多。

495 说完了，现在勘探。你也许以为，两位数有一个更小的洞，三位 495，四位 6174，五位数该有一个更大的。勘探的结果，数字王国的地下完全不是这么长的。两位数没有洞。全部两位数重排求差，没有一个是到家不动的，它们全都在一条环形跑道上转圈。跑道有五个位置，像这样。

$$90-09=81$$

$$81-18=63$$

$$63-36=27$$

$$72-27=45$$

$$54-45=09$$

09 再来一遍，90 减 09 还是 81，周而复始。两位数不是掉不进洞，是这条赛道上没有洞口，只有一条五格的环线。三位数有洞，495，最顽固的数要六步，最小的那个顽固分子是 100。四位数有洞，6174。五位数又没有了，而且比两位数更乱，五位数底下不是一个圈，是三个，两个圈各有四个位置，一个圈只有两个。这里我必须停一下，说一句题外话。五个数的圈结构，网上流传的资料有两种说法，两种都带着具体的数，看着都像真的。我两样都跑了一遍，再把五位数全部九万个挨个试了一遍，跑出来的答案是三个圈，两种说法都不全对，它们各自抄了三个圈里的一两个。跑出来的才算数，这一夜又添了一个例证。三个圈长这样。

$$95553-35559=59994$$

$$99954-45999=53955$$

这是一对，2 步一个来回。另外两个圈各有四步。六个位置的名字我不在正文里排开了，附注里有。到了六位数，家又回来了，而且一来是两个，549945 和 631764，九十万个数分两家投奔，另有一伙住进一个七格的圈。从两位到六位，洞的家底是这么一番景象，没有，有，有，没有，有两个。没有公式预言下一层是什么样，每一位数都是一次新的勘探，挖开才知道。这正是卡普雷卡那一代趣味数学家的日子，没有定理护身，只有一行一行地算。

现在该还第二夜欠的最后一笔了。为什么偏偏是 6174，为什么至多七步。我在前面说过，第一座洞的判决是两百万次勘探跑出来的。第二座洞也一样，这个为什么，不是推导出来的，是清点出来的。程序出场，把 1000 到 9999 的九千个号码全部押进洞口，挨个过堂。判决如下。九千个号码里，有九个是全同数，1111 到 9999，它们一步摔进 0，因为最大的排法减最小的排法等于零。0 也算一个家，自己减自己永远是 0，但那是个平平无奇的家，题目的规则把数字不全同设为门槛，就是为了绕开它。剩下的八千九百九十一个，全部落进 6174，无一漏网。步数的分布是这样的。

0 步的那一个，是 6174 自己。七步才到的，有一千九百八十个，我叫它七步军团。军团里号码最小的一个，是 1004。它的过堂记录，一行一行抄给你，这是本夜的画面。

$$4100-0014=4086$$

$$8640-0468=8172$$

$$8721-1278=7443$$

$$7443-3447=3996$$

$$9963-3699=6264$$

$$6642-2466=4176$$

$$7641-1467=6174$$

七步。从 1004 到 6174，一步没有多，一步没有少。第二夜的习题一让你数过一个四位数的步数，这道题的答案现在发下来，最顽固的数要七步，而这样的数有 1980 个，你可能随手写的一个就在军团里。至多七步这件事本身也经得起再问一句，为什么这么快。粗浅的一层是，重排求差的结果永远是 9 的倍数。大的排法减小的排法，首位和末位一换位置就差出 999 倍，中间两位换位置差出 90 倍，所以每走一步，差数都站在 9 的倍数这一小圈人里，候选的队伍一步比一步短。再往深一层，就要一个圈一个圈地数轨道了，那些留给附注和有兴趣的读者。清点判决不靠这些也站得住，九千个嫌疑人，全过了一遍堂，卷宗在这张表里。

两座洞都看完了，这一夜开头欠下的那笔，现在来结。第二夜我说过一句话，跑起来停不下的，不配叫算法。那句话判的是人写的程序。你的代码，你要负责让它停下来，递归要有出口，循环要有边界，这不是数学的要求，是工程的责任。可是 6174 不是程序。它没有写它自己，它是重排求差这条规则的产物，规则里没有停，它就在家门口永远转圈。数字没有立法权，它连自己的规则都定不了。但有立法权的，是人。你那份机房题的题面就是立法现场，直到 495 出现在等号右边为止。一句话，循环有了出口，连已经到家的 495 都要当着人面再走一步，把这一步走完，程序才许停。数字在洞里安家，是数学的事；什么时候算到了家，是人定的事。

加缪给西西弗斯下的结论，写在那本散文的最后一页。他说，攀登山顶的拼搏本身，就足以充实一颗人心。应当想象西西弗斯是幸福的。原文的说法是 il faut，应当，必须。这不是报告西西弗斯的感受，石头没有感受，这是教人怎么看。数字也一样。123 不知道自己安了家，6174 不知道自己在转圈，幸福和惩罚都是人往上看的。人能做的，比想象还多一点，想象之后，可以立法。给循环立一个停的规则，是每一个写程序的人都要亲手做的事。

洞是数字的家，停是人的立法。西西弗斯的石头还在山上滚，可是每一夜，总有人给新的循环写下出口。

这一夜的程序有三段。第一段走第一座洞，任一串数字，数偶数奇数位数，拼新数，反复，直到 123。

publicclassSisyphusHole{publicstaticvoidmain(String[] args){String[]tests={"1234567890","35962","40","7","0000"};for(String s : tests) {Stringcur=s;intsteps=0; System.out.print(cur);while(!cur.equals("123")) {inteven=0, odd =0;for(inti=0; i < cur.length(); i++) {intd=cur.charAt(i) -'0';if(d %2==0) { even++; }else{ odd++; } } cur =""+ even + odd + cur.length(); steps++; System.out.print(" -> "+ cur); } System.out.println(" (steps: "+ steps +")"); } } }

实跑输出，和正文演过的每一串核对。

1234567890 -> 5510 -> 134 -> 123 (steps: 3) 35962 -> 235 -> 123 (steps: 2) 40 -> 202 -> 303 -> 123 (steps: 3) 7 -> 011 -> 123 (steps: 2) 0000 -> 404 -> 303 -> 123 (steps: 3)

第二段走第二座洞，重排求差。排序不用库，四个数字两两比较换位，像冒泡那样先把最大的顶到头，再把最小的沉到底，中间两位比一次。三个数字的版本就是当年机房题的六分支，四个数字用五次比较，思路是一样的。

publicclassKaprekarHole{staticint[]digits4(longn){int[]d=newint[4];for(inti=3; i >=0; i--) { d[i] = (int) (n %10); n /=10; }returnd; }staticlongstep(longn){int[]d=digits4(n);for(inti=0; i <3; i++) {for(intj=0; j <3- i; j++) {if(d[j] < d[j +1]) {intt=d[j]; d[j] = d[j +1]; d[j +1] = t; } } }longbig=d[0] *1000+ d[1] *100+ d[2] *10+ d[3];longsmall=d[3] *1000+ d[2] *100+ d[1] *10+ d[0];returnbig - small; }publicstaticvoidmain(String[] args){longn=1004;intsteps=0;while(n !=6174) {longnext=step(n); steps++; System.out.println("step "+ steps +": "+ n +" -> "+ next); n = next; } } }

实跑输出，正文那七行等式的程序版。

step 1: 1004 -> 4086 step 2: 4086 -> 8172 step 3: 8172 -> 7443 step 4: 7443 -> 3996 step 5: 3996 -> 6264 step 6: 6264 -> 4176 step 7: 4176 -> 6174

第三段是全量押送，九千个号码挨个过堂，数出步数分布，验出七步军团。

publicclassNight21Census{publicstaticvoidmain(String[] args){int[]dist=newint[10];intstubborn=0;longsmallestStubborn=-1;for(longn=1000; n <=9999; n++) {int[]d=newint[4];longt=n;for(inti=3; i >=0; i--) { d[i] = (int) (t %10); t /=10; }if(d[0] == d[1] && d[1] == d[2] && d[2] == d[3]) {continue; }longcur=n;intsteps=0;while(cur !=6174&& steps <100) { cur = KaprekarHole.step(cur); steps++; } dist[steps]++;if(steps ==7) { stubborn++;if(smallestStubborn <0) { smallestStubborn = n; } } }for(ints=0; s <=7; s++) { System.out.println("steps "+ s +" : "+ dist[s]); } System.out.println("7-step legion: "+ stubborn +", smallest: "+ smallestStubborn); } }

实跑输出。

steps 0 : 1 steps 1 : 356 steps 2 : 519 steps 3 : 2124 steps 4 : 1124 steps 5 : 1379 steps 6 : 1508 steps 7 : 1980 7-step legion: 1980, smallest: 1004

① 附录与真伪核对

Ⅰ 卡普雷卡尔，Dattatreya Ramchandra Kaprekar，1905 年 1 月 17 日生于印度马哈拉施特拉邦达哈努，1986 年去世（一说 1988，资料有出入），长期在德夫拉利镇任学校教师，业余研究数论，除 6174 外还发现 Kaprekar 数（如 45，45²=2025，20+25=45）与 self number（以家乡德夫拉利命名）。1949 年发现 6174；1955 年论文「An Interesting Property of the Number 6174」发表于 Scripta Mathematica（各处引用的卷期页码不一致，本书只记年份与刊名）；1975 年 12 月马丁·加德纳在 Scientific American「数学游戏」专栏撰文推广。

Ⅱ 五位数的圈结构，本机实跑定谳为三个圈。两个四步圈 74943→62964→71973→83952→74943 与 63954→61974→82962→75933→63954，一个两步圈 53955→59994→53955。全部 89991 个数字不全同的五位数逐一勘探，无一落单。网络资料常见的两种说法（只有一个四步圈、圈为 62964 系与 75933 系之一）均与实跑不符，属传抄不全。

Ⅲ 六位数有两个不动点，549945 与 631764，另有七成员圈 420876→851742→750843→840852→860832→862632→642654→420876。六位数的叙述常见于西山豊（Yutaka Nishiyama）的验证文章，其论文同时给出七步上限的计算机复验。

Ⅳ 前导零的两种拼法。把「偶 2 奇 0 位 2」拼成 202（保留中间的 0）或拼成 22（数字式读法），123 洞都收敛。40 走 202 的路三步到家，22 走 22→202 的路四步到家。输入 7 的差别更明显，拼法一走 011 两步到家，拼法二走 11→22→202→303→123 五步到家。殊途同归的原因与正文说的尺子有关，两种拼法写出的新数都满足「偶加奇等于总位数」的约束，受约束的世界就那么大，洞口谁也躲不开。

Ⅴ 封顶论证的实跑口径。第一步落地后，新数三段满足偶数个数加奇数个数等于总位数。程序枚举总位数 1 到 2000 的全部三段组合，共 2003000 个状态，全部收敛于 123，最多三步。一万位的随机数字串，四步到家。

Ⅵ 重排求差必是 9 的倍数的分解。四位数 abcd 降序为最大、升序为最小，两数之差等于 999 乘以首位末位之差加上 90 乘以中间两位之差，两项都含因数 9。这是步步塌缩的粗层原因；完整的轨道分析见西山豊论文。

Ⅶ 45 不是自守数。第二十夜讲过自守数，平方之后尾巴还是自己，如 9376 的平方以 9376 结尾。45 的平方 2025 尾巴不是 45，45 的玩法是劈半相加，20 加 25，两回事。这一族数天下人叫它 Kaprekar 数，恰与 6174 的发现者同姓，一人给两族数留了名。

Ⅷ 加缪结论出处，《西西弗神话》（Le Mythe de Sisyphe，1942）末段，原文 Il faut imaginer Sisyphe heureux，通行中译「应当想象西西弗斯是幸福的」。il faut 表应当与必须，指向看待者的态度而非被看待者的状态。西西弗斯 123 黑洞的首倡者查无出处，中文世界通称流传，本书登记为民间流传，同白鼠题先例。

② 术语对照

Ⅰ 重排求差 把一个数的数字从大到小、从小到大各排一遍再相减的运算，卡普雷卡尔用以发现 6174 的那一套动作，英文称 Kaprekar's routine。

Ⅱ 不动点 对它做一次运算还回到它自己的数。6174 经重排求差仍是 6174，0 减 0 仍是 0，都是不动点。

Ⅲ 循环圈 一串数首尾相接转圈的状态，如两位数的 09→81→63→27→45→09，周期为圈上位置的个数。

③ 今夜习题三道加一句征对，评论区见。

Ⅰ 第二夜习题一的答案已在正文发下。写程序复现那张步数分布表，九千个号码，看你的八千九百九十一个和我的对不对得上。

Ⅱ 三位排序六分支，当年当堂手敲半小时一遍过。四位的呢。不用数组，不调排序库，手写四数排序，重排求差，随便挑个数跑进 6174，体一次当年的半小时。

Ⅲ 五位数底下是三个圈。写程序把 89991 个五位数全部勘探一遍，找出这三个圈，再去找一份网上的资料对一对，看看错的是它还是你。

Ⅳ 随手写一个十位数，先猜它几步掉进 123，再跑。猜错的，说说你为什么猜大（或者猜小）了。

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