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简介：这份资源是面向通信工程、电子信息工程等专业本科生与研究生的信号与系统综合实验报告，聚焦连续时间LTI系统的时域与频域分析及滤波器设计，适合具备一定理论基础、希望借助Matlab完成仿真验证的学习者。内容围绕稳定系统的零极点设计展开，涵盖直接、级联、并联三种实现结构的信号流图与特性对比，并延伸到阶跃响应、参数微变敏感性、周期信号频谱分析、LTI滤波器设计以及音频信号获取与频谱分析等环节，配有实验步骤、代码实现与结果分析。资源包共1个docx文件，约2.62MB，以实验报告文档形式完整呈现理论推导与Matlab仿真过程。目前已有1303人学习，可帮助读者理解系统函数零极点分布与频率特性、稳定性之间的关系，掌握不同结构对参数变化的敏感程度，并积累滤波器设计与音频频谱分析的实操思路。

1. 从一份“跑不通”的实验报告说起：连续时间LTI系统综合实验到底要交付什么

信号与系统这门课，理论推导能写满几页纸，一到 MATLAB 仿真就翻车，这是通信、电子信息类专业学生做综合实验时最常见的状态。这份基于 MATLAB 的连续时间 LTI 系统综合实验，要解决的不是“会不会调用 freqs”这种表层问题，而是把时域分析、频域分析、零极点分布、三种实现结构、滤波器设计、音频信号处理串成一条完整链路。它适合正在做信号与系统课设、综合实验报告，或者要交一份能答辩的完整方案的本科生和研究生。整套方案的核心交付物是：一个稳定可分析的 4~6 阶系统、三套实现结构的对比结论、一个能滤掉指定频率分量的滤波器，以及一段真实音频的频谱分析。

2. 需求拆解与总体设计：四个实验模块如何串成一条分析链

2.1 先把实验目的翻译成可验收的交付项

原始实验目的写了四条，听起来都很“教学语言”，但落到交付上，其实对应四类可以检查的产物。第一类是系统本身：一个 4~6 阶连续时间 LTI 系统，系统函数里至少含一对靠近虚轴的共轭复数极点，且系统稳定。第二类是分析结果：时域冲激响应、阶跃响应，频域幅频响应、相频响应，以及零极点图。第三类是对比结论：直接、级联、并联三种结构在参数微扰下的敏感性差异。第四类是应用验证：设计一个滤波器，对含两个频率分量的周期信号滤波，再用真实音频走一遍采集、频谱分析流程。

我一般会把这四类产物画成一条链：系统建模 → 时域频域仿真 → 结构敏感性对比 → 滤波器设计与音频验证。每一环的输出是下一环的输入，比如零极点位置决定了幅频响应形状，幅频响应又决定了滤波器能不能滤掉 2 rad/s 那个分量。这样写报告时逻辑是顺的，答辩时被问到“为什么这个极点要放这里”，你能直接指回需求。

2.2 系统函数与零极点的手工设计

实验要求设计一个稳定系统，至少一对共轭复数极点靠近虚轴。原始方案给出的系统函数是：

$$ H(s)=\frac{2.8s+1.99}{(s^2+0.2s+0.01)(s+1)(s+2)} $$

分母展开后是 4 阶，满足 4~6 阶要求。关键在于 $s^2+0.2s+0.01$ 这一对极点：解出来是 $s=-0.1\pm j0$，实部 -0.1，非常靠近虚轴，虚部为 0 说明它落在实轴上，严格说不是共轭复数对。这里其实是原始报告的一个小瑕疵，如果要做“靠近虚轴的共轭复数极点”，更稳妥的写法是把这一项改成 $s^2+0.2s+1.01$，极点变成 $-0.1\pm j1$，实部仍是 -0.1，虚部 ±1，既靠近虚轴又是共轭对，幅频响应会在 $\omega=1$ 附近出现明显峰值，后面分析零极点与频率特性的关系时现象更清楚。

我一般会先手算极点位置再写代码，因为答辩时老师很可能让你口述“极点在哪、为什么稳定”。所有极点实部为负（-0.1、-1、-2），系统稳定；靠近虚轴的那对极点贡献了低频段的主谐振。这一步想清楚，后面所有图都有了解释的锚点。

2.3 三种实现结构的职责划分

直接型、级联型、并联型不是三个随便选的选项，它们对应三种不同的系数组织方式，敏感性差异就藏在这里。直接型把分子分母系数整体存放，一个系数微调会同时影响所有极点；级联型把系统拆成多个二阶节相乘，每个二阶节只管一对零极点；并联型拆成多个二阶节相加，同样局部化。原始方案用tf2sos做直接到级联、用tf2zp加zp2tf做零极点往返，这个思路是对的，但代码里zp2tf(z,p,k)得到的其实是原系统，并没有真正构造并联结构，这是很多报告里容易糊弄过去的地方。

我的做法是：级联用tf2sos得到二阶节矩阵，并联则手动把每个二阶节写成部分分式再相加，或者至少用residue做部分分式展开来体现并联的数学含义。结构不同，后面做参数微扰时才能看出谁更“抗造”。

3. 时域与频域仿真：从冲激响应到阶跃响应的完整代码链

3.1 冲激响应与幅频相频的符号计算

原始方案用ilaplace求冲激响应、fourier求频谱，这是符号计算路线，优点是表达式干净，缺点是遇到高阶系统容易算不动。我一般会双轨走：符号算一遍拿解析式，数值再用impulse、freqs验证一遍。下面这段是可复现的数值版本，比纯符号更稳：

% 系统系数：分母按 s^4, s^3, s^2, s^1, s^0 排列 b = [0 0 0 2.8 1.99]; a = [1 2.2 3.41 0.62 0.035]; % 冲激响应与阶跃响应 t = 0:0.01:60; figure; subplot(2,1,1); impulse(b,a,t); title('冲激响应 h(t)'); subplot(2,1,2); step(b,a,t); title('阶跃响应 g(t)'); % 幅频与相频 w = -6:0.01:6; H = freqs(b,a,w); figure; subplot(2,1,1); plot(w,abs(H)); title('幅频响应 |H(jw)|'); subplot(2,1,2); plot(w,angle(H)); title('相频响应');

freqs的第三个参数是频率向量，范围取 -6 到 6 是因为系统的主要谐振在 $\omega=1$ 附近，扫太宽会把细节压扁。impulse和step的时间向量取到 60 秒，是因为靠近虚轴的极点实部只有 -0.1，时间常数约 10 秒，衰减慢，截太短看不到稳态。这里有个血泪经验：如果时间向量只取到 10，冲激响应看起来像发散的，其实是还没衰减完，答辩时被追问“系统稳不稳定”就尴尬了。

3.2 阶跃信号通过系统前后的频谱变化

实验要求分析阶跃信号通过系统前后的频谱，总结滤波特性。阶跃信号的频谱是 $1/(j\omega)+\pi\delta(\omega)$，经过系统后乘上 $H(j\omega)$。数值上可以直接用freqs算系统响应，再和输入频谱逐点相乘：

w = 0.01:0.01:6; % 避开 0 点的冲激 H = freqs(b,a,w); F_step = 1./(1j*w); % 阶跃信号频谱（忽略直流冲激项） Y = H .* F_step; % 输出频谱 figure; subplot(2,1,1); plot(w,abs(F_step)); title('输入阶跃频谱'); subplot(2,1,2); plot(w,abs(Y)); title('输出频谱');

这段代码的关键在w从 0.01 开始而不是 0，因为阶跃频谱在 0 点有冲激，数值上没法直接表示，避开零点只画连续部分，报告里说明一句“直流分量单独讨论”即可。从输出频谱能看出：低频段被保留，$\omega=1$ 附近因为那对靠近虚轴的极点出现抬升，高频段被 $(s+1)(s+2)$ 的极点压下去。这就是“滤波特性与零极点分布关系”的实证——极点靠近虚轴的地方幅频抬升，极点远离虚轴的地方幅频衰减。

3.3 参数微扰下的结构敏感性对比

这是整个基础部分最能拉开报告质量的一环。原始方案把分母常数项从 0.035 改成 0.01，变化量约 71%，远超实验建议的万分之一到 5%，而且只改了直接型系数，级联和并联的对比代码逻辑是断的。我的做法是统一微扰幅度，比如把所有结构里对应同一个极点的系数改动 1%，然后对比零极点漂移和阶跃响应差异：

% 原始系统 b = [0 0 0 2.8 1.99]; a = [1 2.2 3.41 0.62 0.035]; % 级联结构：分解为二阶节 [sos, g] = tf2sos(b, a); % 对直接型分母常数项做 1% 微扰 a1 = a; a1(end) = a1(end) * 1.01; % 对级联结构最后一个二阶节的常数项做 1% 微扰 sos1 = sos; sos1(end,end) = sos1(end,end) * 1.01; [b2, a2] = sos2tf(sos1, g); t = 0:0.01:80; figure; subplot(2,2,1); pzmap(b,a); title('原始零极点'); subplot(2,2,2); pzmap(b,a1); title('直接型微扰后'); subplot(2,2,3); pzmap(b2,a2); title('级联型微扰后'); subplot(2,2,4); step(b,a,t); hold on; step(b,a1,t); step(b2,a2,t); title('阶跃响应对比'); legend('原始','直接微扰','级联微扰');

sos2tf把微扰后的二阶节还原成整体传递函数，才能和直接型放在同一尺度下比较。跑完你会发现：直接型微扰后极点位置漂移更明显，阶跃响应稳态值也有可见偏差；级联型因为只动了一个二阶节，其他节的极点纹丝不动，整体响应变化小得多。这个结论就是报告里“不同实现结构对参数改变敏感性”的核心论据，比空泛地说“级联精度高”有说服力得多。

4. 滤波器设计与音频验证：从零极点配置到真实信号落地

4.1 用零极点配置设计一个带阻型滤波器

拓展部分要求设计一个 LTI 连续系统作为滤波器，对 $f(t)=\cos(t)+\cos(2t)$ 滤波，滤掉部分频率分量。原始方案给的滤波器是：

$$ H(s)=\frac{s^2-0.2s+1.97}{s^2+0.2s+1.01} $$

零点在 $0.1\pm j1.4$，极点在 $-0.1\pm j1.4$。零点在右半平面、极点在左半平面，且虚部相同，这种“零点极点关于虚轴对称”的配置会在 $\omega=1.4$ 附近形成陷波。但输入信号分量是 $\omega=1$ 和 $\omega=2$，陷波中心 1.4 卡在中间，两个分量都滤不干净。这是原始方案里比较隐蔽的问题——零极点图画出来很漂亮，但滤波效果对不上信号频率。

我一般会先看输入信号的频率分量，再反推零极点该放哪。要滤掉 $\omega=2$ 保留 $\omega=1$，就把零点放在虚轴上 $\pm j2$ 附近，极点放在左半平面同样虚部位置：

% 陷波中心 2 rad/s：零点在 ±j2，极点在 -0.1±j2 z = [2j; -2j]; p = [-0.1+2j; -0.1-2j]; k = 1; [b, a] = zp2tf(z, p, k); w = 0:0.01:5; H = freqs(b, a, w); figure; subplot(2,1,1); plot(w, abs(H)); title('幅频响应'); subplot(2,1,2); plot(w, angle(H)); title('相频响应');

zp2tf把零极点转回传递函数系数，k=1是增益，实际报告里可以根据通带增益归一化调整。零点在虚轴上意味着该频率处幅频严格为 0，极点实部 -0.1 决定陷波宽度，实部越靠近 0 陷波越窄。这样设计出来，$\omega=2$ 被压掉，$\omega=1$ 基本无损通过，滤波效果和设计意图能对上。

4.2 卷积求输出与稳态频谱验证

设计完滤波器，要用冲激响应和输入信号卷积得到输出。符号计算路线是拉氏变换相乘再反变换，数值路线是conv或者lsim。我倾向用lsim，因为它直接给数值解，不用处理符号反变换的收敛域问题：

t = 0:0.01:40; f = cos(t) + cos(2*t); [y, ~] = lsim(tf(b,a), f, t); % 取后段稳态数据做频谱 idx = t > 20; y_ss = y(idx); Fs = 1/0.01; N = 2^nextpow2(length(y_ss)); Y = fft(y_ss, N); f_axis = (0:N-1)*(Fs/N); figure; subplot(2,1,1); plot(t, y); title('滤波输出 y(t)'); subplot(2,1,2); plot(f_axis(1:N/2), abs(Y(1:N/2))); title('稳态输出频谱'); xlabel('Hz');

idx = t > 20是截取稳态的关键，前 20 秒包含瞬态，直接做 FFT 会把瞬态分量混进频谱，看起来像多了很多杂散频率。稳态频谱里应该只剩 $\omega=1$ 对应的谱线，$\omega=2$ 被压到很低，这就是“验证滤波器实现了预期效果”的直接证据。报告里把输入频谱和输出频谱并排放，对比一目了然。

4.3 音频信号的采集、频谱分析与常见参数

应用设计部分用audiorecorder录音、audiowrite存文件、audioread读回、fft做频谱。原始方案采样率设 8000 Hz，录音 3 秒。这里要注意采样定理：8000 Hz 采样率能无混叠分析的最高频率是 4000 Hz，人声主要能量在 300~3400 Hz，够用；但如果要分析音乐或高频成分，8000 就不够，得提到 44100。

rec = audiorecorder(8000, 16, 1); % 8kHz, 16bit, 单声道 recordblocking(rec, 3); y = getaudiodata(rec); audiowrite('audio_demo.wav', y, 8000); [y, fs] = audioread('audio_demo.wav'); N = 2^nextpow2(length(y)); Y = fft(y, N); f_axis = (0:N-1)*(fs/N); figure; subplot(2,1,1); plot(y); title('语音波形'); subplot(2,1,2); plot(f_axis(1:N/2), abs(Y(1:N/2))); title('语音频谱'); xlabel('Hz');

audiorecorder三个参数分别是采样率、位深、通道数，单声道足够做频谱分析。fft之前补零到 2 的幂次是为了加速，f_axis只画前半段是因为实信号频谱对称。报告里分析频谱特点时，可以指出语音能量集中在低频、高频衰减快，这和前面系统滤波的“低频保留高频衰减”现象能呼应上，整份报告的逻辑就闭环了。

5. 避坑与排查：这类实验最容易翻车的五个点

5.1 极点位置算错导致“稳定系统”其实不稳定

现象：零极点图画出来极点好像都在左半平面，但阶跃响应一直往上飘。原因：分母系数排列顺序和roots期望的顺序不一致，或者手工展开分母时符号写错。解决：用roots(a)单独打印极点实部，确认全部小于 0；展开分母时用conv逐级相乘而不是手算，减少符号错误。

5.2 频率向量范围选错把谐振峰压没了

现象：幅频响应看起来一条平线，看不出靠近虚轴极点该有的峰值。原因：freqs的频率范围取太大，比如 -100 到 100，谐振峰在 1 附近被压缩成一个点。解决：先roots看极点虚部，频率范围取虚部的 3~5 倍，比如虚部是 1，就取 -6 到 6。

5.3 参数微扰幅度失控导致对比失去意义

现象：改了一个系数后系统直接发散，三种结构全乱，没法比较敏感性。原因：微扰量取了 50% 以上，或者改的是主导极点对应的系数。解决：统一微扰幅度在 1% 左右，且只改一个系数，改完先isstable或看极点实部确认没跑出左半平面。

5.4 滤波器零极点与信号频率对不上

现象：设计完滤波器，输入两个频率分量，输出还是两个都在。原因：陷波中心频率和要滤掉的信号分量频率不一致，比如信号是 2 rad/s，陷波放在 1.4 rad/s。解决：先算输入信号各分量的角频率，零点虚部直接对准要滤掉的频率，极点虚部相同、实部取小负值控制带宽。

5.5 音频频谱分析混入瞬态或混叠

现象：语音频谱图上一堆看不懂的杂散峰。原因：录音开头有环境突变或按键声，或者采样率低于信号最高频率导致混叠。解决：分析前截掉前 0.1~0.2 秒，采样率按信号最高频率的 2 倍以上选取，语音场景 8000 Hz 起步，音乐场景 44100 Hz。

6. 验收与答辩：怎么把四类产物讲成一条完整证据链

验收这份实验，我一般不看代码有多长，看四件事能不能对上。第一，系统极点实部全负、至少一对靠近虚轴，零极点图和幅频响应的峰值位置能互相解释。第二，三种结构的参数微扰对比有统一幅度、有零极点漂移图、有阶跃响应叠图，结论能落到“级联局部化、直接型耦合强”上。第三，滤波器零点频率和输入信号要滤掉的分量频率一致，输出稳态频谱里该分量被压下去。第四，音频频谱的采样率、分析频段、能量分布说得清。

答辩时最容易被问的三个问题，提前准备好答案：为什么这个极点要靠近虚轴（答：制造谐振峰，验证零极点与幅频关系）；为什么级联型更抗参数变化（答：每个二阶节只管一对零极点，系数改动局部影响）；滤波器零点为什么放虚轴上（答：虚轴上零点使该频率幅频严格为零，实现陷波）。把这三问答顺，基本就稳了。

下面这张表可以贴在报告最后一页做自查：

从那以后我每次带这类综合实验，都强制先手算极点、再写仿真、最后拿稳态数据做频谱，三步缺一步报告就会在答辩时露馅。希望帮到你。

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