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🔥 内容介绍

连续时间分布式 ADMM（Alternating Direction Method of Multipliers，交替方向乘子法）是图网络上协同优化的主流连续动力学算法，在传感器网络协同估计、多智能体参数学习、分布式回归等场景广泛应用。相比于离散迭代 ADMM，连续时间版本依靠微分方程演化，便于利用 Lyapunov 稳定性理论开展收敛性证明；但算法收敛行为对松弛系数、步长、网络拓扑高度敏感。

本文这份 MATLAB 脚本配合 Simulink 模型test1.slx，搭建 4 智能体无向连通图上的协同最小二乘优化仿真框架，构造全局一致最优解，对比不同松弛参数 \(\alpha\) 下参数估计 \(\theta\) 的收敛轨迹，直观展示参数对收敛速度、超调、振荡行为的影响，为连续时间分布式 ADMM 的参数整定提供仿真支撑。

关键词：分布式优化；连续时间 ADMM；图拉普拉斯；多智能体协同；一致性；参数敏感性

二、模型与矩阵构造解读

2.1 通信拓扑与图拉普拉斯

Ad=[0 1 0 1; 1 0 1 0; 0 1 0 1; 1 0 1 0];d=sum(Ad);L=diag(d)-Ad;L_bar=kron(L,eye(5));

邻接矩阵 \(\boldsymbol{A}_d\) 对应 4 个智能体的拓扑：

• Agent1：连接 Agent2、Agent4

• Agent2：连接 Agent1、Agent3

• Agent3：连接 Agent2、Agent4

• Agent4：连接 Agent1、Agent3 该拓扑是二分图，连通、无向，拉普拉斯零空间为 \(\boldsymbol{1}\)，满足一致性的基本前提。

三、绘图逻辑与结果解读

脚本一共输出 4 张独立图，两两对比参数的影响：

1. 图 1：\(\theta_1\)，对比 \(\alpha=1.000\) vs \(\alpha=0.995\)

2. 图 2：\(\theta_2\)，对比 \(\alpha=1.000\) vs \(\alpha=0.995\)

3. 图 3：\(\theta_1\)，对比 \(\alpha=1.000\) vs \(\alpha=1.075\)

4. 图 4：\(\theta_2\)，对比 \(\alpha=1.000\) vs \(\alpha=1.075\)

每张图包含三条曲线：

• 红色实线：基准 \(\alpha=1.000\)

• 绿色虚线：带松弛参数的 ADMM 轨迹

• 黑色点线：解析最优解 \(\theta^*_k\)，作为收敛目标

绘图设置统一采用 Times New Roman 字体，是控制领域期刊标准格式，适合直接导出图片放进论文。

预期物理现象

1. \(\alpha=0.995\)（轻微欠松弛） 轨迹收敛会更平缓，超调更小，但是收敛速度略慢于标准 ADMM；适合对振荡敏感、不追求极速收敛的场景。

2. \(\alpha=1.075\)（轻微过松弛） 收敛速度更快，但是容易出现小幅超调、振荡；如果 \(\alpha\) 继续增大，振荡会持续放大，最终失去稳定。

3. 基准 \(\alpha=1\) 是经典连续 ADMM，介于二者之间，是最稳妥的默认参数。

连续时间 ADMM 和离散 ADMM 有一个共同结论：松弛系数存在稳定区间，超出区间算法动力学不稳定，状态发散。这也是本文仿真的核心目的：找到稳定区间内参数对收敛性能的 trade-off。

这份代码搭建了 4 智能体二分图网络上连续时间协同最小二乘的仿真平台，通过解析求出全局最优解作为真值，对比不同松弛系数下连续 ADMM 的收敛轨迹，直观展示松弛参数对收敛速度、超调振荡的权衡关系。

连续时间分布式 ADMM 依托微分方程演化，在理论证明上比离散迭代更方便使用 Lyapunov 方法；但工程上必须小心整定松弛参数，过小或者过大都会带来性能恶化甚至不稳定。本套仿真脚本可以直接作为课程作业、会议论文的数值算例，配合 Simulink 模型完成动力学验证。

⛳️ 运行结果

🔗 参考文献

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