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第五章 控制系统的频率特性分析法

5.1 频率特性的基本概念

一、定义与物理意义

- **频率特性**：线性定常系统在正弦信号作用下，**稳态输出与输入的复数比**，记为 \(G(j\omega)\) 或 \(\Phi(j\omega)\)。
- 设输入为 \(r(t)=A\sin\omega t\)，则稳态输出为 \(y_{ss}(t)=A|G(j\omega)|\sin(\omega t+\angle G(j\omega))\)。
- **幅频特性** \(A(\omega)=|G(j\omega)|\)：输出与输入的振幅比。
- **相频特性** \(\varphi(\omega)=\angle G(j\omega)\)：输出与输入的相位差。

二、数学表示形式

\[
G(j\omega) = A(\omega)e^{j\varphi(\omega)} = U(\omega) + jV(\omega)
\]
- \(U(\omega)\)：实频特性；\(V(\omega)\)：虚频特性。
- 关系：\(A(\omega)=\sqrt{U^2+V^2}\)，\(\varphi(\omega)=\arctan\frac{V}{U}\)。

三、与传递函数的关系

\[
G(j\omega) = G(s)\big|_{s=j\omega}
\]
**重要前提**：系统必须是**稳定的**（闭环极点在左半平面），否则正弦稳态响应不存在。

5.2 典型环节的频率特性

| 环节 | 传递函数 | 幅频特性 \(A(\omega)\) | 相频特性 \(\varphi(\omega)\) | 伯德图关键特征 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| **比例** | \(K\) | \(K\) | \(0^\circ\) | 幅值：\(20\lg K\) 水平线；相位：\(0^\circ\) 水平线 |
| **积分** | \(1/s\) | \(1/\omega\) | \(-90^\circ\) | 幅频斜率：\(-20\text{dB/dec}\)；相位恒为 \(-90^\circ\) |
| **惯性** | \(1/(Ts+1)\) | \(1/\sqrt{1+(\omega T)^2}\) | \(-\arctan(\omega T)\) | 转折频率 \(\omega=1/T\)；高频斜率 \(-20\text{dB/dec}\)；相位从 \(0^\circ\to-90^\circ\) |
| **振荡** | \(1/(T^2s^2+2\zeta Ts+1)\) | \(1/\sqrt{(1-T^2\omega^2)^2+(2\zeta T\omega)^2}\) | \(-\arctan\frac{2\zeta T\omega}{1-T^2\omega^2}\) | 转折频率 \(\omega_n=1/T\)；高频斜率 \(-40\text{dB/dec}\)；相位从 \(0^\circ\to-180^\circ\) |
| **一阶微分** | \(Ts+1\) | \(\sqrt{1+(\omega T)^2}\) | \(\arctan(\omega T)\) | 转折频率 \(\omega=1/T\)；高频斜率 \(+20\text{dB/dec}\)；相位从 \(0^\circ\to+90^\circ\) |
| **纯微分** | \(s\) | \(\omega\) | \(+90^\circ\) | 幅频斜率：\(+20\text{dB/dec}\)；相位恒为 \(+90^\circ\) |
| **延迟** | \(e^{-\tau s}\) | \(1\) | \(-\tau\omega\) (弧度) | 幅值恒为 \(0\text{dB}\)；相位随频率无限制滞后 |

**振荡环节重要性质**：
- 当 \(0<\zeta<0.707\) 时，幅频特性出现谐振峰值。
- 谐振频率 \(\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}\)；谐振峰值 \(M_r=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}\)。
- 当 \(\zeta\ge0.707\) 时，不产生谐振峰值，幅值随频率增大而单调减小。

5.3 开环频率特性的绘制

一、伯德图绘制步骤

1. 将开环传递函数化为**典型环节乘积**形式，求出各转折（交接）频率。
2. 计算 \(20\lg K\)。
3. 在 \(\omega=1\) 处，以斜率 \(-20v\text{ dB/dec}\) 画起始线（\(v\) 为积分环节个数），直到第一个转折频率。
4. 每遇到一个转折频率，按规则改变斜率：
- 惯性环节：斜率 \(-20\text{ dB/dec}\)。
- 一阶微分环节：斜率 \(+20\text{ dB/dec}\)。
- 振荡环节：斜率 \(-40\text{ dB/dec}\)。
- 二阶微分环节：斜率 \(+40\text{ dB/dec}\)。

二、极坐标图（奈氏图）关键点

- **起点**（\(\omega=0\)）：由系统型别 \(v\) 决定。0型在实轴 \(K\) 点；1型在负虚轴无穷远；2型在负实轴无穷远。
- **终点**（\(\omega=\infty\)）：趋于原点，趋近方向由 \(n-m\) 决定（\(n\) 为极点数，\(m\) 为零点数）。
- **与负实轴的交点**：令虚部为0求得。

5.4 奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（深化）

一、核心公式

\[
Z = P - 2N'
\]
- **\(Z\)**：闭环系统在右半 \(s\) 平面的极点数（系统稳定要求 \(Z=0\)）。
- **\(P\)**：开环系统在右半 \(s\) 平面的极点数。
- **\(N'\)**：开环幅相曲线（\(\omega: 0\to+\infty\)）在 \((-1,j0)\) 点左侧负实轴上的**净穿越次数**。

**稳定条件**：\(Z=0\)，即 \(N'=P/2\)。

二、正负穿越的严格定义

- **正穿越（\(N'_+\)）**：曲线随 \(\omega\) 增大**自上而下**穿过 \((-1,j0)\) 点左侧的负实轴。
- **负穿越（\(N'_-\)）**：曲线随 \(\omega\) 增大**自下而上**穿过 \((-1,j0)\) 点左侧的负实轴。
- **半次穿越**：曲线**起始于**或**终止于** \((-1,j0)\) 点左侧负实轴，分别算作半次穿越（\(1/2\) 次）。

\[
N' = N'_+ - N'_-
\]

三、含积分环节的增补

当开环传递函数含有 \(v\) 个积分环节（\(1/s^v\)）时，奈氏曲线在 \(\omega=0^+\) 处不闭合，需进行增补：
- 从 \(\omega=0^+\) 对应的点开始，**逆时针**补画一个半径为 \(\infty\)、圆心角为 \(v\times90^\circ\) 的大圆弧，至正实轴。
- 增补后再用 \(Z=P-2N'\) 判稳。

四、伯德图上的奈氏判据

在 \(L(\omega)>0\text{ dB}\) 的频段内，观察相频曲线 \(\varphi(\omega)\) 对 \(-180^\circ\) 线的穿越：
- **稳定条件**：正、负穿越次数之差 \(=P/2\)。
- **工程快速判断（最小相位系统，\(P=0\)）**：
- 若 \(\omega_c < \omega_g\)（截止频率小于相位穿越频率），闭环稳定。
- 若 \(\omega_c > \omega_g\)，闭环不稳定。

5.5 稳定裕度（相对稳定性）

一、相位裕度 \(\gamma\)

- **定义**：在截止频率 \(\omega_c\)（\(|G(j\omega_c)|=1\) 处）处，相频特性与 \(-180^\circ\) 的差值：
\[
\gamma = 180^\circ + \varphi(\omega_c)
\]
- **物理意义**：系统在 \(\omega_c\) 处再滞后 \(\gamma\) 度，系统达到临界稳定；再滞后则不稳定。
- **稳定判据（最小相位系统）**：\(\gamma>0\) 稳定；\(\gamma<0\) 不稳定。
- **工程期望值**：\(\gamma = 30^\circ\sim60^\circ\) 较为合适。

二、幅值裕度 \(K_g\)（或 \(L_g\)）

- **定义**：在相位穿越频率 \(\omega_g\)（\(\varphi(\omega_g)=-180^\circ\) 处），幅值的倒数：
\[
K_g = \frac{1}{|G(j\omega_g)|},\qquad L_g = -20\lg|G(j\omega_g)| = -L(\omega_g)
\]
- **物理意义**：系统增益再放大 \(K_g\) 倍（或增加 \(L_g\text{ dB}\)），系统达到临界稳定。
- **稳定判据（最小相位系统）**：\(L_g>0\text{ dB}\) 稳定；\(L_g<0\text{ dB}\) 不稳定。
- **工程期望值**：\(L_g>6\text{ dB}\)。

三、重要结论

- 对于**最小相位系统**，\(\gamma>0\) 与 \(L_g>0\) **同时发生或同时不发生**，工程上常只用相位裕度判别稳定性。
- 若 \(\omega_c = \omega_g\)，则 \(\gamma=0\) 且 \(L_g=0\text{ dB}\)，系统处于**临界稳定**。

5.6 三频段理论与系统性能（拓展）

开环伯德图按频率可分为三个频段，分别对应系统的不同性能：

| 频段 | 定义 | 反映的性能 | 设计原则 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| **低频段** | 第一个转折频率之前的区段 | **稳态精度**（由积分环节个数 \(v\) 和开环增益 \(K\) 决定） | 足够高，以保证稳态误差要求 |
| **中频段** | 截止频率 \(\omega_c\) 附近的区段 | **动态性能**（平稳性和快速性） | 斜率以 \(-20\text{dB/dec}\) 穿越 \(0\text{dB}\) 线，且有一定宽度 \(h\)；\(\omega_c\) 尽量大以加快响应 |
| **高频段** | 远离 \(\omega_c\) 的高频区 | **抗高频干扰能力** | 幅值尽可能低（衰减越快越好） |

**重要结论**：
- 中频段斜率若为 \(-40\text{dB/dec}\)，平稳性变差；若为 \(-60\text{dB/dec}\)，系统可能不稳定。
- 中频宽度 \(h=\omega_2/\omega_1\)（以 \(-20\text{dB/dec}\) 过 \(0\text{dB}\) 线段的宽度），\(h\) 越大，平稳性越好。

5.7 闭环频率特性与频域指标

一、闭环频域指标定义

对于单位反馈系统，闭环频率特性为：
\[
\Phi(j\omega) = \frac{G(j\omega)}{1+G(j\omega)} = M(\omega)e^{j\alpha(\omega)}
\]

| 指标 | 符号 | 定义 | 反映的性能 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| **零频幅值** | \(M(0)\) | \(\omega=0\) 时的闭环幅值 | 稳态精度。\(M(0)=1\) 表示系统对阶跃输入无静差 |
| **谐振峰值** | \(M_r\) | 闭环幅频特性的最大值 | **平稳性**。\(M_r\) 越小，超调量越小 |
| **谐振频率** | \(\omega_r\) | 出现 \(M_r\) 时的频率 | 快速性 |
| **带宽** | \(\omega_b\) | 闭环幅值降至 \(0.707M(0)\) 时的频率 | **快速性**。\(\omega_b\) 越大，响应越快 |

二、二阶系统闭环指标与开环指标的关系

对于典型二阶系统：
\[
M_r = \frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} \quad (0<\zeta<0.707)
\]
\[
\omega_r = \omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}
\]
\[
\omega_b = \omega_n\sqrt{(1-2\zeta^2)+\sqrt{(1-2\zeta^2)^2+1}}
\]

**重要关系**：\(M_r\) 与超调量 \(\sigma\%\) 正相关；\(\omega_b\) 与调节时间 \(t_s\) 负相关。

5.8 频域指标与时域指标的对应关系

| 时域指标 | 对应开环频域指标 | 对应闭环频域指标 | 变化趋势 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| **超调量 \(\sigma\%\)** | 相位裕度 \(\gamma\) | 谐振峰值 \(M_r\) | \(\gamma\uparrow \Rightarrow \sigma\%\downarrow\)；\(M_r\uparrow \Rightarrow \sigma\%\uparrow\) |
| **调节时间 \(t_s\)** | 截止频率 \(\omega_c\) | 带宽 \(\omega_b\) | \(\omega_c\uparrow \Rightarrow t_s\downarrow\)；\(\omega_b\uparrow \Rightarrow t_s\downarrow\) |
| **稳态误差 \(e_{ss}\)** | 低频段增益/型别 | 零频幅值 \(M(0)\) | 低频增益\(\uparrow \Rightarrow e_{ss}\downarrow\) |

**二阶系统精确关系**：
\[
\gamma = \arctan\frac{2\zeta}{\sqrt{-2\zeta^2+\sqrt{4\zeta^4+1}}}
\]
\[
\sigma\% = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%
\]
由 \(\gamma\) 可唯一确定 \(\zeta\)，进而确定 \(\sigma\%\)。

**高阶系统近似关系**：
\[
\sigma\% \approx 0.16 + 0.4\left(\frac{1}{\sin\gamma}-1\right)\times100\%
\]
\[
t_s \approx \frac{k\pi}{\omega_c}
\]
其中 \(k=2+1.5\left(\frac{1}{\sin\gamma}-1\right)+2.5\left(\frac{1}{\sin\gamma}-1\right)^2\)。

5.9 常见题型与易错点提醒

常见计算题型

1. **求取 \(\omega_c\)、\(\gamma\)、\(L_g\)**：给定开环传递函数，绘制伯德图或直接由幅值/相角条件求解。
2. **由稳定裕度反求参数**：如给定 \(\gamma\ge45^\circ\)，求 \(K\) 的范围。
3. **判断闭环稳定性**：利用奈氏判据（极坐标图或伯德图）。
4. **由伯德图求传递函数**：根据低频段斜率和转折频率反推 \(G(s)\)（最小相位系统）。

易错点辨析

- **截止频率 \(\omega_c\)** 是 \(|G(j\omega_c)|=1\)（\(0\text{dB}\)）处的频率；**相位穿越频率 \(\omega_g\)** 是 \(\varphi(\omega_g)=-180^\circ\) 处的频率，两者不要混淆。
- 幅值裕度 \(L_g\) 的公式中带有**负号**：\(L_g=-20\lg|G(j\omega_g)|\)。
- 奈氏判据中，\(N'\) 的正负定义：**正穿越**是曲线**向下**穿过负实轴；**负穿越**是曲线**向上**穿过负实轴。
- 稳定裕度的正负仅对**最小相位系统**有明确的稳定/不稳定含义；非最小相位系统需用奈氏判据完整判断。
- 伯德图高频段斜率越负，抗干扰能力越强；但中频段斜率过负（如 \(-60\text{dB/dec}\)）可能导致不稳定。

本章核心逻辑链：
>频率特性 \(G(j\omega)\) → 绘制伯德图/奈氏图 → 奈氏判据判断稳定性 → 稳定裕度量化相对稳定性 → 三频段理论将频域特征与时域性能指标对应 → 指导系统校正设计。