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如果你打算参加数学建模竞赛，看到2025年赛题A这个“Can He Swim Faster”的第一反应是什么？我的第一反应是：这题表面考游泳，实际上是一道非常典型的“物理建模 + 能量约束 + 策略优化”三位一体题。题目给一个虚构游泳运动员，让你判断他还能不能游得更快，给出理论依据和实现路径。这个“能不能更快”其实很考验建模思维，因为它不是简单比较两次比赛成绩，而是要把速度分解成生理上限、技术效率和比赛策略三类因素，再用数学语言回答“差距在哪里、提升空间在哪里、提升手段是什么”。

这篇文章我会从头到尾把这道题的完整建模思路拆开，从审题、物理模型、能量模型、配速优化，到可以直接改参数跑的Python源码，再到最容易踩的坑，一次性说透。参赛的可以直接拿去用，不参赛的也可以把它当一道完整的“体育+工程”建模题来练手。

1. 赛题拆解：先别急着上微分方程

很多队伍拿到这种题，第一反应就是找游泳速度公式、阻力公式，然后在论文里堆一堆物理学名词。这样做不是不行，但很容易被评委问住：你的参数从哪来？你的模型有没有解释“为什么他能/不能更快”这个核心问题？

1.1 关键词背后的建模任务

“Can He Swim Faster”这句话可以拆成三个层次的任务：

第一，建立运动员当前速度的描述模型。这个速度不是平均速度一个数就完事，而是要能体现他在不同比赛距离下的成绩表现，比如50米、100米、200米、400米甚至1500米，数据趋势是什么。

第二，建立理论极限速度模型。这里要考虑游泳者在水中的阻力、自身肌肉推进功率、有氧无氧供能上限。这不是简单套一个阻力公式，而是要把人体当作一个有能量消耗上限的“动力系统”来处理。

第三，回答“能或者不能”的判定问题。即使模型算出来理论上能更快，还要区分是哪种形式的“更快”：是优化技术降低阻力，是增加肌肉力量提高推进力，还是改善配速策略，把有限体力更合理地分配到全程？这三种情况对应的结果完全不同。

很多队伍只做了第一层，用回归曲线预测一下未来成绩，然后就得出结论：“能，快了X秒。”这个回答太单薄了，没有解释机理，也很难给训练建议。我更建议把它当成三层递进来做。

1.2 不同建模路线的取舍

这个题目可以走的路不止一条，我列个对比表，大家可以先看自己团队更擅长哪种。

我推荐大家在正式赛题中采用“物理+能量优化为主，数据回归为辅”的组合。物理模型负责回答“为什么”，回归模型负责回答“当前水平趋势是什么”，两者互相验证，论文的说服力完全不一样。

2. 物理模型：把游泳变成参数

建模最重要的一件事，就是先把真实物理过程“翻译”成参数和公式。游泳运动员在水里其实就是一个变质量动力系统，每次划水和打腿产生推力，同时身体受水阻力和波浪阻力，最后呈现出来的速度就是两者的动态平衡。

2.1 推进力与流体阻力的关系

流体力学里最常用的阻力模型是：

F_drag = 0.5 * ρ * v² * C_d * A

其中ρ是水的密度，约1000 kg/m³；v是游泳速度；C_d是阻力系数；A是人体在水中的迎流投影面积。这里有两个非常容易被忽略的点：

第一个，C_d不是一个常数。自由泳和蛙泳的阻力系数差别很大，自由泳身体接近流线型，C_d大概在0.05到0.1之间；蛙泳因为收腿动作会明显增加阻力。如果赛题没有明确给泳姿，论文中一定要写清楚自己取的是哪种泳姿的参考值，并且做敏感性分析。

第二个，A不是人的全身表面积，而是“迎流截面面积”。水容易产生的阻力与身体前侧迎面面积相关，不能用经典人体表面积公式直接代替。一个身高1.9米、体重85公斤的游泳选手，在滑行状态下的迎流截面积可能只有0.6到0.8平方米。我之前见过一些队伍把全身表面积1.8平方米直接代进去，算出来的阻力大得离谱。

推进力部分可以这样建模：运动员在单位时间内通过划水和打腿对水体做的功，乘以一个机械效率η，就是推动身体向前的有效功率。设有效推进功率P_prop = F_push * v，而运动员的总代谢功率P_met对应为：

P_met = P_prop / η + P_base

这里P_base是基础代谢功率，相当于人体空转也要消耗的能量。游泳机械效率η取0.5到0.7之间比较合理，顶尖自由泳选手的效率可以高一些，短距离冲刺时因为动作变形，效率反而下降。

2.2 功率与速度的相乘关系

把推进力和阻力放到平衡条件中：

F_push = F_drag

那么有效推进功率：

P_prop = F_drag * v = 0.5 * ρ * C_d * A * v³

注意这里出现了速度的三次方。也就是说，如果你想从每秒2米提升到每秒2.2米，推进功率需要增加大约（2.2/2）³=1.33倍。这个三次方关系太重要了，它直接解释了为什么游泳成绩越往上越难提升——越靠近极限，每快一点需要付出的能量就越多。

用生活话来说就是：你开车跑100码和跑120码，风阻消耗不是成正比的，而是呈非线性增长。游泳运动员在水里面对的是同样的问题，而且水的密度大约是空气的800倍，所以这个非线性非常残酷。

但这里有个前提：人体不能持续输出无限功率。所以我们必须再引入供能系统约束。

2.3 有氧耐力与无氧储备：能量约束

人体供能通常分成两个赛道：

有氧供能：由心肺持续输送，强度相对有限，但能维持很长时间。我们把它对应成乳酸阈值功率P_aerobic，也就是运动员在比赛中能长期稳定输出的最大功率。

无氧供能：短时间爆发的额外功率，超过有氧阈值后立即动用，但不能持续太久，像一个有限容量的“能量包”。

因此，我们可以建立一个能量约束关系式：

整个赛程中，超过P_aerobic部分的额外功率消耗总量，不能超过无氧储备E_an。

E_an的物理意义就是人体内ATP-磷酸肌酸和糖酵解能够快速释放的有限能量。短距离运动员无氧储备比例更高，长距离运动员几乎不依赖无氧。

这里我想强调一个建模技巧：这个“超阈值积分约束”比“给一个固定总能量上限”更符合真实生理机制。因为比赛时间越长，允许的有氧消耗总额也越大，用固定总能量包会严重低估长距离游泳能力。

3. 完整源码实现：优化配速求解

理论建好了，但真正落地必须靠数值计算。下面这段Python代码是我在这个赛题里比较推荐的核心实现，它做的是“给定游泳距离和生理参数，计算最优配速方案”。

3.1 数据准备与参数初始化

参赛时可能拿到的数据是历史分段成绩，先用Pandas读入一份模拟的分段成绩表。实际比赛时你可以替换成题目给出的数据。

import numpy as np import pandas as pd # 模拟选手历史成绩，实际使用时替换为赛题数据 race_data = pd.DataFrame({ "distance": [50, 100, 200, 400, 800, 1500], "time": [26.6, 57.8, 126.9, 266.4, 552.9, 1092.5] }) race_data["avg_speed"] = race_data["distance"] / race_data["time"] print(race_data)

为什么要保留多个比赛距离？因为我们要用这些数据拟合运动员当前的速度-距离关系，它反映的是该运动员在不同供能主导下的综合表现。

然后用最小二乘法拟合幂函数关系：T = a * D^b，这个过程可以当作基准模型。

from scipy.optimize import curve_fit def time_power_law(D, a, b): return a * D ** b popt, _ = curve_fit(time_power_law, race_data["distance"], race_data["time"], p0=[0.5, 1.1]) a_fit, b_fit = popt print("拟合关系：T = {:.3f} * D^{:.3f}".format(a_fit, b_fit))

这个拟合结果可以用来判断：如果运动员按照自己历史数据的整体趋势，在目标距离上应该游多少秒。这是后续判断“能否更快”的基准线之一。

3.2 核心优化目标函数

下面这一段是最关键的。我们把比赛全程等分成n段，假设每段速度恒定，通过优化每个分段的速度v_i，使总时间最短，同时满足无氧能量约束。

params = { "rho": 1000.0, # 水密度 kg/m^3 "Cd": 0.08, # 自由泳阻力系数 "A": 0.70, # 迎流投影面积 m^2 "eta": 0.60, # 机械效率 "P_base": 120.0, # 基础代谢功率 W "P_aerobic": 450.0, # 有氧阈值功率 W "E_an": 35000.0 # 无氧储备 J } def power_required(v, p=params): """给定游泳速度，计算所需的代谢总功率""" drag = 0.5 * p["rho"] * p["Cd"] * p["A"] * v ** 2 prop_power = drag * v / p["eta"] return prop_power + p["P_base"]

注意这里把阻力和功率的计算分开了。先算阻力，再用“阻力×速度/效率”得到推进代价，这个顺序看起来很基础，但很多队伍在马虎之下会把速度和功率搞混。

3.3 带能量约束的配速优化

有了每段速度对应的功率，我们就能设置优化问题。

from scipy.optimize import minimize def solve_race(D, p=params, n=50, w0=None): dx = D / n # 每段距离 if w0 is None: w0 = np.full(n, D / 250.0) # 初始速度猜测 def objective(v): # 总时间 = 每段时间之和 return np.sum(dx / np.maximum(v, 1e-6)) def energy_constraint(v): # 无氧储备约束：超过有氧阈值的额外做功不能超过 E_an dt = dx / np.maximum(v, 1e-6) power = power_required(v) extra = np.maximum(power - p["P_aerobic"], 0.0) return p["E_an"] - np.sum(extra * dt) con = {"type": "ineq", "fun": energy_constraint} bounds = [(0.5, 5.0)] * n res = minimize(objective, w0, method="SLSQP", bounds=bounds, constraints=[con]) if not res.success: print("优化失败，检查参数或初始值") v_opt = res.x t_opt = np.sum(dx / v_opt) return v_opt, t_opt

这里的关键就是把“无氧储备”约束转化成一个非线性不等式。它表示：整个赛程中，任何超过有氧阈值功率的部分，乘以对应的时间，累计消耗不能超过选手的无氧储备。这个约束条件比简单限制最高速度要精确得多，因为它区分了“短时间爆发”和“长时间维持”两种状态。

运行一个具体距离：

distance = 100.0 v_opt, t_opt = solve_race(distance) speed_profile = np.round(v_opt, 3) print("100米优化成绩：{:.2f}秒".format(t_opt)) print("分段速度：", speed_profile[:10], "...")

优化出来如果总时间比该选手当前100米成绩更快，那说明提高配速策略本身就能让他游得更快；反之，如果优化成绩已经比当前成绩更慢，就说明他的问题不在战术，而在基础能力，需要提升的是生理参数或技术参数。

3.4 灵敏度分析和参数扫描

模型越漂亮，越需要验证它对参数的依赖。特别是Cd、A、E_an这三个不确定性较大的参数，一定要做敏感性分析。

def sensitivity(D=100, base_params=params, scale=0.1): results = {} for key in ["Cd", "A", "E_an", "P_aerobic"]: p_mod = dict(base_params) p_mod[key] = base_params[key] * (1 + scale) _, t = solve_race(D, p=p_mod) results[key] = t return results sens = sensitivity() print(sens)

输出结果可以做成一张表，放在论文里展示“模型结果对某个参数的响应”。评委会比较看重这个，因为只要有一个参数设置差得离谱，而你完全没有讨论，模型可信度就会大打折扣。

4. 结果怎么解读，论文怎么写才不被喷

同一套代码，不同队伍跑出来结果可能完全不同，因为参数初始值不一样。所以论文里最关键的其实是“如何解读结果”。

4.1 判断“能不能更快”的三个决策准则

我建议用下面三条准则来回答赛题：

第一，配速优化准则。如果给定当前生理参数，模型算出的最优成绩优于历史成绩，说明目前比赛中存在体力分配不合理，提高策略就能获得提升。

第二，生理参数极限准则。如果当前参数下最优成绩已经和最好成绩相当接近，说明战术已经没什么潜力，这时候要回答“能更快”就得提高P_aerobic、E_an，或者降低Cd和A。

第三，综合提升路径准则。把“策略优化可提升量”和“生理技术提升量”分开，分别表述为短期、中期、长期方案。比如短期改善配速，中期加强耐力提高P_aerobic，长期改进技术降低Cd。

这样回答就不是简单一个“能”或“不能”，而是把“能”字拆解成了有层次、有依据的结论。

4.2 不同距离项目的最优策略差异

用同一套模型跑不同距离，你会发现优化结果呈现出明显的距离特征。短距离时，全程速度接近均匀，且接近速度上限，因为无氧储备相对充足，主要限制是最大输出功率；中距离时，前程略微保守，后程避免严重掉速，减少乳酸堆积的影响；长距离时，配速几乎完全贴着有氧阈值走，不能轻易动用无氧储备，否则后面会崩溃。

把这三种模式写进论文，再结合模型输出的速度曲线，就能体现你们队对这个问题的理解深度。很多队伍只算了一个距离的结果，这其实浪费了题目给的设置。如果能跑50米到1500米的整条曲线，做一张距离-最优成绩表，论文会立刻充实很多。

4.3 参数来源与可信度说明

游泳模型最容易被攻击的就是参数来源。强烈建议在论文里单列一个参数表，写清楚每个参数的符号、取值、单位、来源。来源可以写“常见流体力学文献”“人体生理学参考”“赛题给的数据转换”“根据分段成绩校准”。

不要认为自己心里清楚别人就也清楚。数学建模竞赛评卷都是快速翻阅，一张参数来源表能让评委立刻觉得你们队伍做事严谨。而且，一旦你主动承认Cd和A是估计值并做了敏感性分析，评委会觉得你比那些假装精确的队伍更专业。

5. 避坑指南：代码、模型、论文三层都有坑

这些坑是我见过很多队伍实实在在踩过的，提前写出来，希望对你有帮助。

5.1 代码层面的常见坑

单位不统一是头号问题。速度用米每秒，但很多公开成绩用的是码/秒或者千米/小时，直接代入模型会导致结果完全不可用。我习惯先把所有输入统一换算成米、秒、瓦特，再进模型。

优化结果不收敛。SLSQP对初始值敏感，如果一开始把选手速度设成10米每秒，约束条件形同虚设，优化器会报错或给出离谱结果。建议把初始速度设为“目标距离除以一个合理比赛时间”，比如400米先估计60秒左右能游完，初始速度就是6.7米每秒，但实际还要提高储备，多跑几次调参。

能量约束函数里没有加保护边界。v不够小时dt变得很大，功率也异常，约束函数会出现数值问题。代码里用np.maximum(v, 1e-6)可以规避，但还不够。更稳妥的做法是最外层加一个可行性判断：如果初始解就不满足约束，先松弛E_an，让优化器有地方可以走。

5.2 模型层面的常见坑

把阻力面积用成全身表面积。已经说过了，这是最容易翻车的地方。全身表面积是计算散热用的，和水中迎面阻力不是一回事。

忽略基础代谢。有些队伍只用0.5ρCdAv³描述全部功率，比赛时间很短时问题不大，但一旦跑长距离，基础代谢会显著影响有氧阈值附近的配速判断。加一个P_base，这个模型精度会明显提升。

没有区分“客观能力提升”和“主观策略提升”。如果你算出来的最优配速比当前成绩快0.8秒，但这0.8秒只是因为他前程游太快导致后程掉速，那这个“更快”是战术调整带来的，不是他绝对能力变强了。题目问“Can He Swim Faster”，这两个层面的答案都应该给出。

5.3 论文层面的常见坑

摘要写得太笼统。很多队伍摘要第一句是“本文研究了游泳运动员的速度优化问题”，然后就没有然后了。这种摘要等于告诉评委：作者自己都没搞清楚结论是什么。好的摘要应该写清用了什么模型、主结果是什么、最快能提升多少秒、关键影响因素是哪个参数。

忽略结论的可操作性。数学模型出来的结果如果不能翻译成训练或比赛建议，就没有完成最后一公里。比如模型发现Cd每下降10%，400米成绩能提升2.1秒，那结论里就应该明确写“建议优先改进划水技术降低阻力，而不是盲目增加力量”，这样的论文才算闭环。

赛后我见过太多队伍，代码跑得风生水起，论文写得却像综述，核心结果藏在一个不显眼的表格里。记住，参赛论文不是给工程师看的实验报告，而是给评委看的“故事线”：问题怎么拆、模型怎么建、结果怎么解读、建议怎么落地，这四步缺一不可。

个人来说，我现在看这类体育模型题，短时间内比较推荐“阻力模型+三供能系统+最优控制”的组合，因为它既有物理支撑，又有数据拟合和工程优化味道。如果你时间特别紧，至少把第3节代码跑通，再换几个距离观察一下最优配速的差异。那组速度曲线上写出来的任何一句话，都要比从网上找的“游泳训练建议”更像一个数学建模选手该交的答案。