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概述

分组码

分组码是一种将信息序列划分为固定长度块进行编码的信道编码方法，用于检错和纠错。传输时前后之间的码字无关。

将信源的信息序列分成独立的块进行处理和编码，称为分组码。编码时将每k个信息位分为一组进行独立处理，变换成长度为n（n>k）的二进制码组。

(2,1) 码的意思是：

• 信息位 k=1 位 → 只能表示2 种消息（0和1）

• 校验位r=1 位 → 由信息位通过某种规则计算出来

• 码长 n=2 位

eg:

奇偶校验码是典型的分组码，比如长度为3的消息是111，那么进行偶校验编码就是1111，这里的码长是n=4，信息位k=3,校验(监督)位m=m-k=1; 对应的检验子是S=a1​⊕a2​⊕a3​⊕a4​。S=0，无错，S=1，有错。

线性分组码

线性分组码（Linear Block Code）是一种分组码，其特点是信息码元与校验码元之间满足线性关系。通常记作 [n,k] 线性分组码，其中 k 表示信息位长度，n 表示码字长度，校验位长度为 r=n−k（即冗余位）。

生成矩阵负责生成线性分组码，监督矩阵负责进行纠错和检错。译码则通过伴随式。

线性分组码的一般特性可以概括为：

它是 GF(2) 上的 kk 维子空间，由生成矩阵 G 编码、校验矩阵 H 校验，满足 GHT=0GHT=0；最小距离决定纠错能力，伴随式用于解码，对偶码提供分析工具。

纠错码专题——线性分组码（1）_校验矩阵和生成矩阵的关系-CSDN博客

循环码

设一个（n，k）线性分组码C，如果它的任一码字的每一次循环移位都还是C的一个码字，则称C是循环码。以循环汉明码举例：

%% 列出 (7,4) 汉明码全部 16 个码字 clear; clc; G_POLY = [1 0 1 1]; % g(x) = x^3 + x + 1 fprintf('===== (7,4) 汉明码全部码字 =====\n'); fprintf('信息位 校验位 码字\n'); fprintf('--------------------------------\n'); for m = 0:15 data = bitget(m, 4:-1:1); % 4 位信息，MSB 在前 msg = [data, 0 0 0]; % 左移 3 位 % 多项式除法求余 for i = 1:4 if msg(i) == 1 msg(i:i+3) = xor(msg(i:i+3), G_POLY); end end parity = msg(5:7); cw = [data, parity]; fprintf('%s %s %s\n', ... num2str(data), num2str(parity), num2str(cw)); end

注：重量分布指的是码字中1的数量，比如A0=1，就是16个码字中只有1个码字中1的数量为零。对于线性分组码来说，码距d<=（最大重量分布-1）/2，比如这个就是（3-1）/2=1；这里取3，是因为要选择重量最大，分布最广的一个。

循环码原理与应用-CSDN博客

BCH码

BCH码由Bose、Ray-Chaudhuri和Hocquenghem于1959-1960年提出，是循环码与线性分组码的复合类型，基于有限域理论和生成多项式实现多随机错误校正。 其参数体系包括码长n、信息位k和纠错能力t，通过多项式除法生成校验位，广泛应用于通信（如5G、卫星传输）、数据存储（如SSD、硬盘）及深空探测等领域。

注：素多项式就是不可约多项式。本原多项式就是根数为本原元的素多项式，比如伽罗华域2^7，他的本原就是7，对应的本原多项式就是x^7 + x^3 + 1;

BCH编解码

BCH编码

假设你要编码一个k 位的信息序列，目标是生成一个n 位的BCH码字（记为 BCH(n, k) 码），其纠错能力为t 位。

第1步：确定生成多项式 g(x)

生成多项式是BCH码的核心，它是一个次数为的多项式，以,,……,为根。

构造方法如下：

1. 确定根：根据纠错能力，需要以,,……,为根。

2. 求极小多项式：对于每个根，找出它在上的极小多项式。极小多项式是满足的最低次多项式。

3. 求最小公倍式：生成多项式是所有不同极小多项式的最小公倍式。由于在上，就是这些不同多项式的乘积。

第2步：构造信息多项式

将位信息比特，，……，，映射为多项式：

=++⋯+x+

例如，信息11010对应的多项式为=

第3步：计算校验位（取模运算）

这是编码的核心步骤。先将信息多项式左移位（相当于乘以），然后对生成多项式做模2除法（即多项式除法，系数在上运算，加法等同于异或）。

余式=[⋅]

余式的次数小于，其系数就是n−k 校验位。

第4步：拼接码字

最终的系统码码字多项式为：

=⋅+

对应的 n 位码字就是：[原始 k 位信息] + [n-k 位校验位]。

📝 一个完整示例：BCH(15, 5) 编码

以 BCH(15, 5) 码、设计距离 d=7（可纠 3 位错误）为例，对信息11010进行编码。

1. 确定参数：n=15, k=5, n-k=10, t=3。

2. 求生成多项式：

   • 在 GF(16) 上，本原多项式

   • 需要以为根。

   • 对应的极小多项式为：

     • （根为)

     • （根为）

     • （根为）

   • 因此，g(x)=m1(x)⋅m3(x)⋅m5(x)，展开后为。

3. 构造信息多项式：11010→ u(x)=。

4. 计算校验位：

   • 计算。

   • 用 g(x)除，得到余式。假设余式为。

5. 拼接：最终码字为+。

BCH解码

BCH 解码的核心是：伴随式 → 错误位置多项式 → 错误位置 → 错误值 → 纠错。
其中 BM 算法和钱搜索、Forney 算法是三大关键模块。在 GF(16) 等小域中，很多运算可以查表，硬件实现相对紧凑。对于更大的 BCH 码（如 NAND Flash 中的 BCH(720,640,8)），解码器会更复杂，但基本流程相同。

BCH 解码的目标是：从接收到的、可能含有错误的码字 r(x) 中，找到错误图样 e(x)，从而恢复原始码字 c(x)=r(x)−e(x)（在 GF(2) 上减法即加法）。

1. 计算伴随式 Si

接收码字。因为，所以

在 GF(16) 中，2t=6，因此需要计算 S1,S2,S3,S4,S5,S6。
如果所有 Si=0，说明没有错误，直接输出信息位即可。

计算 Si 时，将接收到的 15 位码字看作多项式，代入 αi，在 GF(16) 中做加法和乘法。硬件上通常用 LFSR 或查表法实现。

2. 求错误位置多项式 σ(x)σ(x)

定义错误位置多项式：

其中 ν≤t 是实际错误个数，xj=αij是错误位置的域元素（ij 是错误所在的比特位置）。

用Berlekamp-Massey (BM) 算法或Peterson 算法，根据伴随式 S1∼S2t求出 σ(x) 的系数 σ1,…,σν​。

BM 算法是一种迭代算法，每次用新的伴随式更新 σ(x)和辅助多项式，最终得到最小次数的 σ(x)。

3. 钱搜索（Chien Search）找错误位置

错误位置是σ(x) 的根的倒数。
对于 GF(16) 中的每个可能位置 i=0,1,…,14，计算 σ(α−i)。如果 σ(α−i)=0，则第 i 位有错。

实际硬件中，钱搜索通常并行计算所有 15 个位置，每个周期检查一个根。找到根后，记录错误位置。

4. Forney 算法计算错误值

已知错误位置，需要求对应的错误值∈GF(16)。
定义错误求值多项式：

其中

错误值由 Forney 公式给出：

在 GF(2) 上，负号可忽略。σ′(x)是 σ(x)的形式导数（在 GF(2) 上，偶数次项导数为 0，奇数次项导数为系数本身）。

计算得到每个错误位置的错误值后，将接收码字对应位翻转（异或），即完成纠错。

5. 恢复信息位

纠错后得到正确的码字 c(x)。由于 BCH 码是系统码，码字的前 k 位（或后 k 位，取决于编码约定）就是原始信息位，直接提取即可。