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上一章说解方程组的解有三种情况，怎么判断？答案藏在行列式和逆矩阵里。本章讲这两个概念，以及它们和"可逆""唯一解"的关系。

19.1 逆矩阵：矩阵的"倒数"

实数里，5 的倒数是 1/5，因为 5 × (1/5) = 1。

矩阵也有类似的"倒数"，叫逆矩阵，记作 A⁻¹：

A × A⁻¹ = I （I 是单位矩阵）

A 的逆矩阵 A⁻¹ 满足：A 乘 A⁻¹ 等于单位矩阵（矩阵世界里的"1"）。

用逆矩阵解方程

如果 A 有逆矩阵，那么 Ax = b 的解是：

x = A⁻¹ · b

因为：A⁻¹·(A·x) = A⁻¹·b → (A⁻¹·A)·x = A⁻¹·b → I·x = A⁻¹·b → x = A⁻¹·b。

但注意：虽然数学上对，工程上不建议用A.inverse() * b解方程（慢且数值不稳定）。Eigen 里用A.分解().solve(b)更优。逆矩阵更多用于"理解概念"。

19.2 行列式：一个数，描述矩阵的"缩放倍数"

每个方阵都有一个行列式（determinant），记作 det(A) 或 |A|，它是一个数。

行列式的几何意义（以 2×2 为例）：矩阵表示的变换，把面积放大/缩小了多少倍。

2×2 矩阵的行列式公式：

det([ a b ]) = a×d - b×c ([ c d ])

例：det([1 2; 3 4]) = 1×4 - 2×3 = 4 - 6 = -2。

行列式 = 0 意味着什么

det(A) = 0 时，矩阵 A 不可逆（叫奇异矩阵）。这时：

• 方程组无解或无穷多解（没有唯一解）
• 矩阵的变换把空间"压扁"了（面积/体积变成 0）

det(A) ≠ 0 时，A 可逆，方程组有唯一解。

这就是判断方程组有没有唯一解的关键：看行列式是否为 0。这是数学上的判据；到了代码里怎么落地（以及为什么不能直接写det == 0），19.4 会说。

19.3 判断可逆、求解

#include<Eigen/Dense>#include<iostream>intmain(){Eigen::Matrix2d A;A<<2,1,1,3;// 行列式doubledet=A.determinant();std::cout<<"det(A) = "<<det<<std::endl;// 5 ≠ 0，可逆// 逆矩阵Eigen::Matrix2d Ainv=A.inverse();std::cout<<"A^{-1} =\n"<<Ainv<<"\n\n";// 验证 A * A^{-1} = Istd::cout<<"A * A^{-1} =\n"<<A*Ainv<<"\n\n";return0;}

存成ch19.cpp，按附录 C.3 编译运行，实际输出：

det(A) = 5 A^{-1} = 0.6 -0.2 -0.2 0.4 A * A^{-1} = 1 0 0 1

det(A) = 5不为 0，所以可逆；A * A^{-1}打印出来正好是单位矩阵。有些矩阵相乘回去会得到1 1e-16这种带浮点残渣的结果，那是正常现象（见第 21 章末尾的说明），看的是"接近不等于"。

19.4 矩阵的秩（rank）

秩（rank）是另一个重要概念：矩阵"真正包含多少独立信息"，等于它线性无关的行（或列）的最大个数。

• 满秩方阵（rank = 阶数）：可逆，方程组有唯一解
• 秩不足：不可逆，信息有冗余

Eigen::MatrixXdA(3,3);A<<1,2,3,4,5,6,7,8,9;// 第 3 行 = 2×第2行 - 第1行，线性相关，秩不足Eigen::FullPivLU<Eigen::Matrix3d>lu(A);std::cout<<"rank = "<<lu.rank()<<std::endl;// 2，不是 3std::cout<<"det = "<<A.determinant()<<std::endl;// 打印 6.66134e-16，不是 0，见下面说明

这个矩阵数学上的行列式是 0，秩是 2（不满秩），所以不可逆。

⚠ 但代码里别写if (det == 0)（实测 Eigen 5.0 + g++ 16.1）：上面这段跑出来的其实是

rank = 2 det = 6.66134e-16

rank()给的 2 是准确的；determinant()给的不是 0，而是6.66134e-16这种浮点残渣——机器精度的正常产物，原因见第 21 章末尾的说明。所以工程上判断"奇异/接近奇异"要用秩（lu.rank() < 矩阵阶数）或者带容差的比较（std::abs(det) < 1e-12），绝不能直接和 0 比相等。本书第 29 章 29.5 给出的检查写法就是这种带容差的比较，第 30 章则用分解对象的info()和rank()判断成败——都不是拿行列式和 0 比相等。

19.5 概念关系总结

一句话记忆：det ≠ 0 ⟺ 满秩 ⟺ 可逆 ⟺ 方程组有唯一解。

19.6 小结

• 逆矩阵 A⁻¹ 满足 A·A⁻¹ = I，是矩阵的"倒数"。
• 行列式 det(A) 描述变换的缩放倍数；=0 则不可逆。
• 秩 rank 描述独立信息量；满秩才可逆。
• 可逆 ⟺ det≠0 ⟺ 满秩 ⟺ 唯一解。
• 代码里判断奇异用rank()或带容差的比较，别写det == 0（实测会给你6.66134e-16）。
• 解方程用.solve()，别用.inverse()硬乘。

下一章，学习特征值与特征向量——矩阵的"指纹"。

练习题

1. 计算 2×2 矩阵 [3 1; 1 2] 的行列式，判断是否可逆。
2. 用 Eigen 求该矩阵的逆矩阵，验证 A·A⁻¹ = I。
3. 求一个行列式为 0 的矩阵（提示：让两行成比例），验证它不可逆。做完留意determinant()实际打印的数——它通常不是 0，见 19.4 的说明。
4. 用自己的话说说行列式和秩分别描述了矩阵的什么。
5. 为什么解方程推荐用.solve()而不是.inverse() * b？