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进入线性代数。别怕，这部分我们重直觉、轻公式，用图形和生活例子讲清楚"向量"和"矩阵"是什么，让你为 Eigen 打好数学基础。

16.1 标量、向量、矩阵

在数学和计算机里，数据常分成三个层次：

标量： 5 向量： [ 1 ] （3 维列向量） [ 2 ] [ 3 ] 矩阵： [ 1 2 3 ] （2 行 3 列） [ 4 5 6 ]

16.2 向量：一个"有方向有长度的箭头"

向量最常见的理解是：一个箭头，有方向、有长度。

在二维平面里，向量(3, 4)表示：从原点出发，向右走 3，向上走 4，画出的箭头。

↑ | · (3,4) | / | / ← 这个箭头就是向量 (3,4) |/______ 原点

向量的两个关键属性：

• 长度（模/范数）：箭头的长短。(3,4)的长度是 √(3²+4²) = 5（勾股定理）。
• 方向：箭头指向哪。

向量的应用

向量无处不在：

• 物理：速度、力、加速度
• 计算机图形：三维空间里的点、方向、颜色
• 机器学习：一个样本的特征（如 [身高, 体重, 年龄]）
• 机器人：位置、朝向

16.3 向量的表示

一个 n 维向量就是 n 个数排成一列（或一行）。

列向量（竖着）：

v = [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

行向量（横着）：

v = [ 1 2 3 ]

在 Eigen 里，Vector3d是列向量（3 行 1 列），RowVector3d是行向量（1 行 3 列）。默认说的"向量"通常指列向量。

16.4 矩阵：一个二维数表

矩阵（matrix）是排成行列的数表。

A = [ 1 2 3 ] ← 2 行 3 列 [ 4 5 6 ]

• 说"2×3 矩阵"，指 2 行、3 列（行在前，列在后）。
• 每个数叫元素，位置用（行，列）表示，如第 1 行第 2 列是 2。

矩阵的应用

矩阵本质是"批量处理数据的工具"：

• 图片：一张灰度图就是一个矩阵，每个元素是像素亮度
• 数据表：100 个样本 × 10 个特征，就是一个 100×10 矩阵
• 变换：旋转、缩放、平移都能用矩阵表示（第 21 章）
• 方程组：线性方程组的系数可以写成矩阵（第 18 章）

16.5 特殊的矩阵

方阵

行数 = 列数的矩阵，如 3×3。方阵才能求行列式、逆、特征值。

[ 1 2 3 ] [ 4 5 6 ] ← 3×3 方阵 [ 7 8 9 ]

单位矩阵 I

对角线全 1、其余全 0 的方阵。它相当于数字里的 “1”：任何矩阵乘以它都等于自己。

I = [ 1 0 0 ] [ 0 1 0 ] [ 0 0 1 ]

零矩阵

所有元素都是 0。

对角矩阵

只有对角线上有非零值，其余都是 0。

对称矩阵

关于对角线对称：第 i 行第 j 列 = 第 j 行第 i 列（转置等于自己，第 17 章讲）。

[ 1 2 3 ] [ 2 5 6 ] ← 对称：A(0,1)=A(1,0)=2，等等 [ 3 6 8 ]

对称矩阵在物理、机器学习里特别常见，Eigen 对它有专门的高效算法。

16.6 维度与索引

• 向量(1, 2, 3)是 3 维的，有 3 个分量。
• 矩阵2×3有 2 行 3 列。

注意：计算机里索引从 0 开始（第 7 章讲过）。数学里矩阵第 1 行第 1 列，在代码里是m(0,0)。这是用 Eigen 时最要小心的一点。

16.7 在 Eigen 里创建向量和矩阵

先睹为快，看 Eigen 怎么表示它们（第 24 章详解）：

#include<Eigen/Dense>Eigen::Vector3dv(1,2,3);// 3 维向量Eigen::Matrix3d m;// 3x3 矩阵m<<1,2,3,4,5,6,7,8,9;

16.8 本章完整示例

把上面的片段装进一个完整程序（存成ch16.cpp，按附录 C.3 编译）：

#include<Eigen/Dense>#include<iostream>intmain(){Eigen::Vector3dv(1,2,3);// 3 维向量（列向量）Eigen::Matrix3d m;// 3x3 矩阵m<<1,2,3,4,5,6,7,8,9;std::cout<<"向量 v =\n"<<v<<"\n";std::cout<<"矩阵 m =\n"<<m<<"\n";std::cout<<"v 的维度："<<v.rows()<<" x "<<v.cols()<<"\n";std::cout<<"m 的维度："<<m.rows()<<" x "<<m.cols()<<"\n";std::cout<<"m(0,1) = "<<m(0,1)<<"（第 1 行第 2 列）\n";std::cout<<"m(2,2) = "<<m(2,2)<<"（第 3 行第 3 列）\n";return0;}

运行结果：

向量 v = 1 2 3 矩阵 m = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 v 的维度：3 x 1 m 的维度：3 x 3 m(0,1) = 2（第 1 行第 2 列） m(2,2) = 9（第 3 行第 3 列）

注意向量的维度是3 x 1（三行一列）——这正是 16.3 说的"列向量"。m(0,1)取到的却是数学上"第 1 行第 2 列"那个元素，代码的下标从 0 开始，这个差异第 25 章还会再强调。

16.9 小结

• 标量 = 一个数，向量 = 一列数，矩阵 = 二维数表。
• 向量是"有方向有长度的箭头"，有长度（范数）和方向。
• 矩阵是批量处理数据的工具，尺寸用"行×列"表示。
• 特殊矩阵：单位矩阵 I、零矩阵、对角矩阵、对称矩阵。

下一章，学习矩阵的运算：加减、数乘、矩阵乘法、转置。

练习题

1. 画一个二维向量 (3,4)，计算它的长度。
2. 写出一个 3×3 的单位矩阵。
3. 判断：一个 2×3 矩阵有多少行、多少列、多少个元素？
4. 举例说明向量和矩阵各有什么实际应用。
5. 一个 5 维向量[1,2,3,4,5]，用代码的下标（从 0 开始）取它的第 3 个数，下标应该写几？取到的值是几？