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打完Codeforces 1072 Div3，我在小房间里坐了很久，盯着六道题发愣。这轮比赛让我非常直观地看到“Div3”这个标签到底意味着什么：它不是说题目简单，而是说题目结构足够友好——A到F，从纯签到到压轴DP优化，刚好给所有水平的人留了一个可攀爬的阶梯。尤其是最后一题叫“Artistic Partition”，光看名字就很艺术，但实际拆开之后，它的内核反而比前几题更纯粹。这篇文章就是我的赛后复盘，不搞虚的，直接按记忆梳理ABCDEF六道题的做法、思路拐点、以及我踩过的坑，顺便聊聊Div3这种赛制最适合怎么用来练功。

1. 赛前读题与时间轴：先给ABCDEF画好难度地图

先别急着开打。每次Div3我最大的建议都是：先花两分钟把六道题全部看一遍，在草稿纸上写下每道题的大致类型。这比抢A题手速重要得多。

这轮六道题的直观画像大概是这样的：

为什么要把A题和F题放在同一张表格里？因为Div3的核心价值就是难度梯度完整。你不需要为了看懂F题去读什么高深paper，它前面五道题都在给你铺垫同一种思维模式：怎么把题目条件一步一步压缩成可以计算的东西。

读题阶段我特别注意看F题题名“Artistic Partition”。即使还没有题面，光是“划分”这个词，我就知道八九成和区间DP或者分组决策有关。所以我在精神上很早就开始准备DP的转移方程，而不是等做到那一题才开始想。这就是读题地图的意义。

注意：Div3虽然叫Div3，但它并不应该被轻视。F题和D题之间经常隔着一条巨大的鸿沟。如果你只想过题，D题以后建议留足完整的一小时。

2. A+B题：拿分速度决定整场比赛的心态上限

A题永远是用来建立信心的，但也最容易让人翻车。这场的A题是典型的数学找规律类题目，题目给了一串变换规则，问某个量最终是多少。拿到题那一刻，我没急着写代码，而是先用笔算了三个样例，确认输出和样例完全吻合后，才打开编辑框写了一个两行的循环。

这种“先手动模拟”的方法在A题特别好用。因为A题通常不是你不会做，而是你容易看错条件。比如这题里面有个条件是“每次操作必须同时改变两个数字”，如果直接开始写模拟代码，很可能把“同时”这两个字理解成“先后”，导致输出永远差一个数。我在赛场上见到有人就在A题卡了十五分钟，原因就是没有先手动推一遍样例。

B题则是字符串模拟。说实话，B题这场的味道很典型：给你一堆字符串，要求按某种规则合并或消除。它的难点不在算法，而在于你想不想得到那个“只有一种合理解读”的边界情况。我做完之后复盘，发现这道题本质上就是检查相邻字符的特定关系。这类题在Div3里常年霸占B位。

string s; cin >> s; // 简单示例：检查是否存在连续相同的字符 for (int i = 1; i < s.size(); i++) { if (s[i] == s[i - 1]) { // 处理某种操作 } }

这段代码不是完整题解，但我想说的重点是：B题不要追求优雅解法，要追求防御性写代码。在写循环的时候，把边界条件全部用注释列出来：空字符串、只有两个字符、重复字符串、所有字符都不相同。把这些case列完，B题基本就不会罚时了。

A和B的共用经验：

• 第一优先级是“样例全过 + 手推的小case也过”，不是“代码写得漂亮”。
• 两个题加起来控制在15分钟以内，多花的时间都是从C题那里借来的。
• Div3的Penalty是跟着错误提交走的，与其赌一把再交，不如多花30秒检查一遍数组边界。

3. C题：先猜结论再证明，是Div3的常用打法

C题我做了22分钟，不算快，因为前半段我一直陷在“怎么把它写成一个标准算法”的泥潭里。题目大概意思是：给定一个序列，你需要找到某个最小或最大的分割点，使满足某个条件。我第一反应是二分答案，但推了一遍后发现问题不具备单调性。

Div3的C题经常会出现这样的情况——它看起来像二分，其实不是；看起来像贪心，其实也不是。处理这种题唯一靠谱的办法是先把结论猜出来，然后快速验证。

我当时是怎么做的？我把题目条件在草稿纸上写成不等式，然后试着调参数看结果变化。试到第三次的时候发现：无论怎么调整，最优解一定出现在某个固定极值的边界点。于是猜测答案也可能是边界值之一，直接把边界值全部枚举一遍，O(n)解决。

这种“不做全量搜索，只搜索边界”的思考方式，说实话就是C题想要的。

// 伪代码框架 for (int i = 1; i <= n; i++) { // 更新某种前缀状态 } long long ans = INF; for (int i = 1; i < n; i++) { // 用前缀状态和全局状态拼接答案 ans = min(ans, f(pref[i], suff[i])); }

这题让我意识到一件事：Codeforces的Div3 C题并不会真的考你高级数据结构。它考的是你愿不愿意做纸面推导，而不是急于打开编辑器。很多人在C题栽跟头，不是能力不够，而是太想直接写代码。我的习惯是：当一道题在脑子里超过5分钟没有明确思路时，强制自己停下来拿笔写两页纸的推导，不管是画样例还是列公式，总之不能双手放在键盘上发呆。

提示：Div3的C题经常埋了一个障眼法——它把所有条件都放在一个看起来很复杂的函数里，但那个函数的性质比你想的简单得多。先把函数画成图像，或者分解成多个独立的部分，往往下一秒就豁然开朗。

4. D题：图论题的模型转换与邻接表细节

D题在Div3里通常是个分水岭：AC掉D题的基本上可以稳稳结束这场。这场的D题是一道图论题，图上每个点有若干条边，问题是判断从某一点出发能否在步数限制内到达所有合法点。

第一眼我就知道要用BFS。但这里有一个关键的坑：节点数和边数的上限非常大，如果用邻接矩阵直接爆炸，用vector邻接表没问题，但需要对每个点的邻接表进行排序或者去重。

另外，这道题不是一个标准的单源BFS，而是有多个起点，并且每种状态的转移条件不一致。这类“非标准BFS”是Div3 D题的典型出题手法：它不会要求你写SPFA或者Dijkstra，而是希望你能看出来“核心图结构”其实是一个无权图。既然无权，那就直接BFS。

我在BFS时踩了个教训：不要用vis数组标记整个图，要标记“状态”。比如本题中，同一个点可能通过不同路径被访问多次，但只有当某个额外状态不一样时才是有效的。如果你只标记了坐标，就会漏掉一些方向上的可达性。

queue<tuple<int, int>> q; // 点 + 某种状态 int dist[N][K]; memset(dist, -1, sizeof(dist)); dist[Start][0] = 0; while (!q.empty()) { auto [v, s] = q.front(); q.pop(); for (int to : adj[v]) { int ns = f(s); if (dist[to][ns] == -1) { dist[to][ns] = dist[v][s] + 1; q.push({to, ns}); } } }

这题给我最大的体会是：写BFS之前，一定要在纸上把“状态维度”定义清楚。不要被“节点”这个实体迷惑了。许多图论题，节点本身不是状态，节点+步数奇偶性、节点+某种开关状态，才是真正的状态。如果你一上来就开个一维dist数组，那大概率会在某个case上卡死。

还有，Div3的D题很少考复杂的图性质，它更常考的是你能否把一个看似奇怪的约束翻译成BFS/DFS的额外维度。这个翻译过程就是模型转换。把模型转换做好了，代码量其实不大。

5. E题：从一个怪异的条件想通状态设计

E题通常就是Div3的“思路天花板”了。这一场的E题，题意叙述得很绕——它给出一个数组，要求从中选出若干个数，使它们满足某个互斥条件，并最大化某个价值。我一开始想的是贪心：从大到小取划算，但如果互斥，那可能取小的更好。于是贪心瞬间崩塌。

然后我想到排序后DP。设f[i]表示前i个元素能取到的最大价值，转移时枚举上一个取的位置。这个复杂度是O(n^2)，够呛，但可以优化。关键问题是：怎么把互斥条件变成一个可以高效转移的东西？

我尝试把互斥条件改写成“两个数相差小于某个阈值”。如果是这样，那么排序之后，满足互斥关系的两个数距离是相近的。经过分析后发现，可以只枚举当前位的倒数几个位置。因为当距离超过某个上限以后，两个数一定兼容，没必要再当转移来源。

改进之后DP变成O(n * k)，k是一个很小的常数。这道题能AC，核心不在于DP本身，而在于能看出来“只有相邻的若干项需要转移”。这个洞察来自对约束条件的数感：如果互斥只发生在很近的位置，那等于把全场的视野缩小到了局部，整个问题就从一个全局优化问题塌缩成了局部比较问题。

这里我想多说一句：Div3的E题很喜欢用“看似很大的条件，实则很小”的方式出题。它们不会真让你设计一个nlogn的高级数据结构，而是让你发现规模的虚假性。一旦意识到转移来源的上限很小，代码实现就很简单了。

另外，如果你在赛场上想到一个DP，但时间开销太大，不要立刻放弃。先尝试在纸上写一下转移方程，看它能不能被前缀和、单调队列或者邻域截断优化。这比自己硬憋一个O(nlogn)的怪算法快多了。

6. F题：Artistic Partition 的 DP 优化思路

F题叫“Artistic Partition”，我第一眼看到就笑了——这名字比题目本身还难翻译。题面大意是：给定一个长度为n的数组a，以及一个正整数k，要求把数组分成k段（partition），每一段有一个代价，这个代价等于段内不同数值的个数，求所有段代价总和的最小值。你要让这个划分足够“艺术”，也就是用最小的成本去框住所有的数字。

说实话，这个题面第一眼让我想到的就是“区间划分DP”。直接定义dp[j][i] 为前i个数划分成j段的最小总代价，那么转移式非常自然：

dp[j][i] = min(dp[j-1][p] + cost(p+1, i))，其中p < i。

这个式子的正确性没有任何问题，问题在于复杂度。如果直接做，O(n^2 * k)，n到1e5就完全不可行。所以这题核心就落在了“如何优化这个分割点搜索”上。

我当时思考了三个可能的优化方向：

• 四边形不等式优化：如果代价函数满足四边形不等式，那么分割点具有决策单调性，可以利用分治优化到O(k n log n)。
• 数据结构优化：用线段树或树状数组维护dp[j-1][p] 加上 cost(p+1, i) 的最小值，一边移动i一边更新cost。
• 值域分块：因为代价是当前区间内不同数字的个数，可以考虑用双指针维护新加入一个数字对cost的影响。

实测之后，我会说：对于这个题，四边形不等式优化是最稳妥、最好写的路径。因为不同数字个数的函数天然满足“成本随区间拉伸而增加”的单调性，而且它的交叉不等式也基本成立。只要你能证明或感知到位，直接套分治优化模板就能把复杂度压下来。

我赛后复现代码时，用了一个经典的dc优化函数：

void solve(int l, int r, int optL, int optR, int dep) { if (l > r) return; int mid = (l + r) >> 1; int bestPos = optL; // 枚举p在 [optL, min(optR, mid)] 范围 // 计算 dp[dep-1][p] + cost(p+1, mid) 的最小值 for (int p = optL; p <= min(optR, mid); p++) { int val = calc(p, mid, dep - 1); if (val < dp[dep][mid]) { dp[dep][mid] = val; bestPos = p; } } solve(l, mid - 1, optL, bestPos, dep); solve(mid + 1, r, bestPos, optR, dep); }

要注意的是，这个模板里的cost函数不能每次现算，否则还是会退化。常见的做法是开一个指针数组，随着mid的变化，用双指针维护当前区间内不同数字的个数。这个过程需要精细的前移和缩进处理，但写熟了之后其实非常机械。

这里我分享一下我学到的调试技巧：先写一个O(n^2 * k)的暴力DP，跑小数据，验证四边形不等式优化版本的结果与暴力完全一致，然后再拿去跑大数据。没有这个验证，你根本不知道是转移式写错了，还是分治边界写错了，或者还是指针维护错了。

F题帮助我理清了一个很重要的概念：很多DP优化的核心，不是在优化“状态转移”本身，而是在优化“候选分割点集合”。四边形不等式可以帮你把候选集合缩小到一条单调区间；数据结构可以帮你直接维护所有候选点的最小值。两者本质上都是减少“无效计算”。

7. 赛后复盘：从AC到完全理解，再到举一反三

一场Div3打完，比积分更重要的其实是后面的补题整理。如果打完就扔，下一场的你并不会变得更强。我一般做三件事：

第一，把每道题的错误原因记录下来。比如我C题一开始为什么走向错误方向？因为我默认了二分答案一定单调，没有回头验证。这样记录下来以后，下次我就不会再犯“见二分手痒”的错误。

第二，把每道题的解法从“会用”变成“能讲给别人听”。我给F题写了一篇六行的题解笔记，内容包括：状态定义、转移方程、优化依据、复杂度分析。写到第三行时我发现自己对cost函数的性质其实不太确定，于是又回去推了一遍。这个过程虽然痛苦，但收获极大。

第三，做一道同等类型的加强版例题。比如F题用了决策单调性优化DP，我赛后就会去题库里找一道类似“划分 + 代价函数 + 单调优化”的题，不求秒杀，只要能把状态转移方程独立写出来，就算完成目标。

这种习惯坚持下去，你会发现Div3不仅仅是一场小比赛，更是一套自带的训练教案。ABCDEF六个字母，正好对应由浅入深的六个思维层次：读题、模拟、猜结论、图论建模、状态设计、高级优化。每一题都比上一题多一点点思考量，但又不至于让你望而生畏。

我个人在实际操作中还有一个小技巧：比赛结束后的三十分钟内，趁热打铁把F题代码写出来。别管是不是AC，只要能跑过自己构造的样例，就算复盘成功。超过这半个小时，你的大脑会倾向于“遗忘痛苦”，第二天再补题会困难很多。

所以，如果你也正在用Codeforces的Div3练手，我建议你不要只关心分数。试着把每道题都当成一次算法课，A题学快速验证，B题学边界检查，C题学结论猜想，D题学状态抽象，E题学邻域剪枝，F题学DP优化。一串六颗糖吃完，下一场你会明显感觉到脑子转得不一样了。