企业官网建设流程全解析

从"只买一次"到"最多两次"，这三道题放一起学是真的爽。我在代码随想录算法训练营打卡到第四十五天，集中把121买卖股票的最佳时机、122买卖股票的最佳时机II、123买卖股票的最佳时机III刷完了。以前看股票类动态规划总觉得状态又多又绕，但这一天练完之后，我发现自己突然能"看懂"状态转移了，关键在于把"买入卖出"改成"持有与不持有"去理解，再逐步加入交易次数的维度。这篇文章把我梳理过的解题思路、手推过程、初始化细节和踩坑记录完整写出来，希望对正在刷动态规划的朋友有帮助，尤其是准备面试、需要把股票系列一次吃透的人。

1. 从"只买一次"到"最多两次"：股票系列为什么放在同一天

1.1 三道题的本质区别

先看题目本身。121要求只能选择某一天买入、未来某一天卖出，最多完成一笔交易；122不限制交易次数，但手里同时只能持有一股；123把交易次数限制为最多两笔。表面看是三个独立题目，实际上是从"交易次数"这个维度不断加码：1次、无限次、2次。

这个顺序安排得非常讲究。如果直接上手123，大概率会被四个状态绕晕；但如果先吃透121的"持有/不持有"状态，再看122只改一行代码的转移方程，最后到123自然就明白为什么状态要从2个变4个。代码随想录里Carl也一直强调，动态规划题目先定状态、再写递推、然后初始化、最后遍历，这套五步法在股票系列里体现得特别完整。

1.2 面试考察率极高，为什么

股票系列在面试里出现频率很高，因为它考察的核心是"状态设计"能力，而不是背题型。121可以考察基础的动态规划或一次遍历优化；122可以考察贪心和动态规划两种思路，进一步观察你能否说清楚"为什么贪心成立"；123直接考察"在状态里加入交易次数维度"的能力。难度梯度明显，面试官可以根据候选人的水平随时切换题目深度。

更关键的是，这三道题是后续更难题目的地基。188题（最多K次交易）、309题（含冷冻期）、714题（含手续费），全部是这套状态机框架的变形。训练营把这三道题放在第四十五天，相当于先用它们把"状态机DP"的套路打通，后面的延伸题就顺理成章了。

1.3 一个很容易被忽略的共同前提

三题都有一个隐含规则：必须在买入之后才能卖出，而且任意时刻最多持有一股。这意味着状态设计无论如何都绕不开"持有"和"不持有"两个基本状态，区别只在于如何记录交易次数。

我当初踩过的坑是，总想着用二维数组记录"第几天买入、第几天卖出"，结果变量一多就乱。后来才意识到，动态规划里只要抓住当天的结束状态，再把操作抽象成"状态之间的转移"，问题就清晰了。这也是为什么下面每一道题我都会从状态定义开始讲，而不是直接甩代码。

2. 121题：持有与不持有两种状态，先吃透状态机最核心的概念

2.1 状态定义：dp[i][0]不是"第i天买入"

121题的状态定义是这套系列的基础。我们用二维dp数组：

• dp[i][0]：第 i 天结束时，手里持有股票的最大现金
• dp[i][1]：第 i 天结束时，手里不持有股票的最大现金

这里最容易产生误解的是 dp[i][0]。它不是"第 i 天买入"的意思，而是"第 i 天结束之后，我处于持有股票的状态"。这个状态可能是今天买入的，也可能是前几天买入、一直持有到现在。一定要先把"状态"和"动作"区分开，否则后面的转移公式会全部理解偏。

为什么这样定义？因为最终我们要的是最后一天手里不持有股票时的最大现金，也就是 dp[n-1][1]。中间过程里，持有和不持有两个状态交替出现，靠它们之间的转移来描述买入和卖出动作。

2.2 递推公式推导：为什么买入时只能用 -prices[i]

第 i 天结束时处于持有状态，只有两种可能。第一种，昨天就持有，今天什么都不做，那么 dp[i][0] = dp[i-1][0]。第二种，昨天不持有，今天买入，由于只能交易一次，买入之前的现金是初始的0，所以买入后现金变成 -prices[i]。两者取最大值：

dp[i][0] = max(dp[i-1][0], -prices[i])

注意这里买入时没有写 dp[i-1][1] - prices[i]，因为121题只能买卖一次。如果允许股票买入前先卖出其他股票获得利润，那就不是"只交易一次"了。这个限制就藏在"减去的是固定0"这个写法里，而不是额外加一个计数器。

第 i 天结束时处于不持有状态，同样两种可能。第一种，昨天就不持有，今天继续观望，dp[i][1] = dp[i-1][1]。第二种，昨天持有，今天卖出，那么利润是 dp[i-1][0] + prices[i]。取最大值：

dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i])

2.3 初始化与遍历顺序

第0天是基础：dp[0][0] = -prices[0]，表示第0天买入股票后现金变成负数；dp[0][1] = 0，表示第0天不持有，手里现金为0。从 i = 1 开始遍历，每一天依赖前一天的状态，所以从左到右正序遍历即可。

一个小边界：如果 prices 为空，直接返回0。这个不写的话，LeetCode上会直接报错。

2.4 代码实现：二维写法与一次遍历写法

先贴标准动态规划代码：

int maxProfit(vector<int>& prices) { if (prices.empty()) return 0; vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(2, 0)); dp[0][0] = -prices[0]; dp[0][1] = 0; for (int i = 1; i < prices.size(); i++) { dp[i][0] = max(dp[i-1][0], -prices[i]); dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i]); } return dp[prices.size()-1][1]; }

当然，121题本身还有一个更简单的思路：遍历价格，维护历史最低点，不断更新 max(prices[i] - minPrice)。这个解法时间复杂度也是O(n)，空间O(1)，面试时如果只问121可以直接写。但训练营里学动态规划，核心目的是为后面的122和123打基础，所以先用二维dp把状态机模型立起来，再谈其他优化。

2.5 手推一个例子，把状态"看"出来

我建议读者拿 prices = [7, 1, 5, 3, 6, 4] 手动推一遍。第0天持有是 -7。第1天价格跌到1，持有状态变成 max(-7, -1) = -1，说明改成在第1天买入更划算；不持有状态还是 max(0, -7+1) = 0。第2天价格5，持有还是 -1，不持有变成 max(0, -1+5) = 4，说明在第1天买、第2天卖能赚4。后面几天的推演中，dp[5][1] 最终是5，也就是整个数组的最优解：在第1天买、第4天卖，利润5。

把dp数组打印出来看一遍，比单纯看公式有用得多。Carl反复强调打印dp数组来验证，我在股票系列第一次真正体会到这句话的价值。

2.6 常见的三个坑

第一个坑：把 dp[i][0] 理解成"第i天买入"，导致接下来看122时会理不清为什么买入公式变成了 dp[i-1][1] - prices[i]。

第二个坑：初始化写成 dp[0][0] = 0，这样递推结果会完全错误。第0天持有股票时现金是负的，不是0。

第三个坑：忘了处理 prices 长度为0或1的边界。长度为1时结果应该是0，因为没法完成买入卖出一轮操作。

3. 122题：改一行递推，把"只能买一次"变成"可以无限次买卖"

3.1 状态含义不变，但买入的资金来源变了

122题允许无限次交易，但依然规定任意时刻最多持有一股。状态定义不变：dp[i][0] 持有，dp[i][1] 不持有。真正的变化在转移公式：

dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - prices[i])

dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i])

和121相比，唯一区别就是 dp[i][0] 的买入部分从 -prices[i] 变成了 dp[i-1][1] - prices[i]。这一行改动背后的语义是：因为可以多次交易，买入新股票时，手里可能已经攒下了之前买卖赚到的利润，所以要用"昨天不持有状态的最大现金"减去今天的股票价格。

我当时想通这件事之后，真的有种"啊原来如此"的感觉。121是白手起家，只能拿初始资金去买一次；122是滚雪球，每次买入都可以把此前赚到的利润投入进去。这两种约束的差异，精准地体现在这一行代码里。

3.2 为什么不能用 dp[i][1] - prices[i]

这里有个细节很多人会问：买入时为什么用昨天的 dp[i-1][1]，而不是今天的 dp[i][1]？

因为 dp[i][1] 本身可能已经包含了"今天卖出"带来的收益。如果我用 dp[i][1] - prices[i]，相当于在同一天先卖出、再买入。虽然在真实规则里只要价格波动足够大，同一天先卖后买并不违规，但在状态转移里这样写会形成循环依赖，逻辑上说不清。所以必须严格使用昨天的不持有状态，保证每一天的状态只从前一天转移过来，这是动态规划无后效性的基础。

3.3 贪心解法：把每一段上涨都吃进嘴里

122还有一个非常简洁的贪心解法：只要今天的价格比昨天高，就认为昨天买入、今天卖出，累加所有正差价。

int maxProfit(vector<int>& prices) { int result = 0; for (int i = 1; i < prices.size(); i++) { if (prices[i] > prices[i-1]) { result += prices[i] - prices[i-1]; } } return result; }

为什么这个贪心是对的呢？因为交易次数无限，我可以把一段连续上涨拆成若干个"昨天买、今天卖"的小段，每一段利润相加，等于从头持到尾的利润。比如价格从1涨到5，拆成1到2、2到3、3到4、4到5四段，总利润是4，和直接从1买5卖一样。如果价格中间有回调，比如1涨到3再跌到2再涨到4，贪心会吃到1到3和2到4两段，这正好是在回调时卖出、回调后重新买入的最优操作。

用这个思路对比121就特别有意思了。121不能用贪心累加正差价，因为只允许买一次，遇到下跌段你不能先卖再买。这是判断"贪心能否使用"的一个经典例子：约束条件直接决定了策略空间。

3.4 手动推演验证：为什么最终答案是7

我以 [7, 1, 5, 3, 6, 4] 为例，推一遍核心过程。

第0天：dp[0][0] = -7，dp[0][1] = 0。 第1天（价格1）：dp[1][0] = max(-7, 0-1) = -1，说明改成第1天买入更好；dp[1][1] = max(0, -7+1) = 0。 第2天（价格5）：dp[2][0] = max(-1, 0-5) = -1；dp[2][1] = max(0, -1+5) = 4。这表示在第1天买、第2天卖，赚4元。 第3天（价格3）：dp[3][0] = max(-1, 4-3) = 1，注意这里持有状态从 -1 变成了 1，因为前一天不持有现金是4，买入价3，剩下1元持有；dp[3][1] = max(4, -1+3) = 4，继续持有不卖更优。 第4天（价格6）：dp[4][0] = max(1, 4-6) = 1；dp[4][1] = max(4, 1+6) = 7，说明第3天买入、第4天卖出，整体利润变成7。 第5天（价格4）：dp[5][0] = max(1, 7-4) = 3；dp[5][1] = max(7, 1+4) = 7。

最终答案是7。从推演中能清楚看到，121和122的差异就发生在第3天：dp[3][0] 不再是 -1，而是 1，正是因为手里已经攒了4元利润，买入时不再是"从0开始亏"。这个案例值得多推几遍。

4. 123题：状态从2个变4个，交易次数如何编码进dp数组

4.1 为什么二维状态不够用了

123题要求最多完成两笔交易。问题来了：如果用 dp[i][0] 和 dp[i][1] 只表示持有和不持有，我们无法知道当前持有的这笔交易是第一笔还是第二笔。因为第一笔和第二笔的利润计算方式不同：第一笔买入时初始现金是0，第二笔买入时初始现金是第一笔卖出后的利润。所以状态里必须记录"现在处于第几次交易中"。

代码随想录的处理方式是直接拆成四个状态：

• dp[i][0]：第一次持有
• dp[i][1]：第一次不持有（第一笔交易已经完成）
• dp[i][2]：第二次持有
• dp[i][3]：第二次不持有（第二笔交易已经完成）

本质上相当于在两个基本状态里加入了交易次数的信息。这也是后面188题"最多K次交易"直接用2乘K个状态来表示的雏形。

4.2 四个递推公式，逐行拆解

有了四个状态，转移公式就非常清晰了：

dp[i][0] = max(dp[i-1][0], -prices[i]) dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i]) dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1] - prices[i]) dp[i][3] = max(dp[i-1][3], dp[i-1][2] + prices[i])

第一行和121完全一样，因为第一次买入时手里没有利润，初始现金就是0。第二行和121的不持有状态也完全一样，第一次卖出时直接加上持有状态的现金。第三行开始有区别：第二次买入时，必须先完成第一次卖出，也就是要基于 dp[i-1][1]（第一次不持有的最大现金）减去 prices[i]。第四行同理，第二次卖出时用 dp[i-1][2]（第二次持有的最大现金）加上 prices[i]。

这四个公式可以看作一个环形链条：第一次持有到第一次卖出到第二次持有到第二次卖出。理解这个链条之后，123就一点都不难了。

4.3 初始化最容易错：dp[0][2]为什么也是 -prices[0]

初始化部分有一个必须重视的细节。第0天的四个状态：

dp[0][0] = -prices[0] dp[0][1] = 0 dp[0][2] = -prices[0] dp[0][3] = 0

很多人不理解 dp[0][2] 为什么会是 -prices[0]，而不是一个极小值。原因在于：题目没有禁止同一天内"先买后卖再买"，所以在第0天，我们完全可以看作"买了一次、卖了一次、再买第二次"，虽然实际利润没有变化，但状态上允许第二次持有从第0天就开始。

如果把 dp[0][2] 初始化成 INT_MIN，后续转移里 INT_MIN + prices[i] 在某些语言里会溢出，而且在严格递增的测试用例中可能得不到正确答案。我第一次写的时候直接照抄了代码，没想明白，后来手动推演 [1,2,3,4,5] 才发现这个初始化对最终结果影响巨大。记住，这里不是随便定的，是为了让第二次交易在第一天就能"待命"。

4.4 代码实现：二维数组版本

int maxProfit(vector<int>& prices) { if (prices.empty()) return 0; vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(4, 0)); dp[0][0] = -prices[0]; dp[0][1] = 0; dp[0][2] = -prices[0]; dp[0][3] = 0; for (int i = 1; i < prices.size(); i++) { dp[i][0] = max(dp[i-1][0], -prices[i]); dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i]); dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1] - prices[i]); dp[i][3] = max(dp[i-1][3], dp[i-1][2] + prices[i]); } return max(dp[prices.size()-1][1], dp[prices.size()-1][3]); }

我特意在返回值里写了 max(dp[n-1][1], dp[n-1][3])。虽然因为允许同一天重复交易，最终 dp[n-1][3] 通常不小于 dp[n-1][1]，但写成 max 在逻辑上更严谨，也更容易向面试官解释：最多做两笔交易，做一笔可能比做两笔更优，比如第二次交易没找到合适机会时。

4.5 滚动变量优化：需要注意更新顺序

用四个变量代替二维数组：

int maxProfit(vector<int>& prices) { if (prices.empty()) return 0; int hold1 = -prices[0], cash1 = 0; int hold2 = -prices[0], cash2 = 0; for (int i = 1; i < prices.size(); i++) { hold1 = max(hold1, -prices[i]); cash1 = max(cash1, hold1 + prices[i]); hold2 = max(hold2, cash1 - prices[i]); cash2 = max(cash2, hold2 + prices[i]); } return cash2; }

这里有一个坑：更新顺序必须保持先 hold1、cash1，再 hold2、cash2。因为同日内的 hold2 依赖 cash1 的最新值，如果先更新 hold2，cash1 用的还是昨天的数据，逻辑就错了。面试时我建议先把二维数组版本讲清楚，再主动提出可以滚动优化，然后说明这个顺序原因，属于明显的加分项。

4.6 两个手推示例，验证初始化思路

第一个例子：[1,2,3,4,5]。初始化 hold1=-1, cash1=0, hold2=-1, cash2=0。到第5天时，cash2=4。表面看答案和122相同，因为单调上涨时做一笔就够；但正因为 dp[0][2] = -1，第二笔交易才能从第一天就跟上节奏，否则中间状态会出现偏差。

第二个例子：[3,3,5,0,0,3,1,4]。这个例子答案是6，用滚动变量推一遍会更直观。第一天价格3，四个变量都不变。第三天价格5，cash1变成2，意味着先赚了一笔；随后价格跌到0，hold2变成2，即把第一笔赚的2元现金换成持有股票；最后价格4时卖出，cash2变成6。整个过程刚好对应"第一笔在3到5赚2元，第二笔在0到4赚4元"。如果只用一个持有状态，完全没法区分这两笔交易，这就是状态扩容的意义。

5. 三题对比：一个模板通吃，空间优化与边界处理

5.1 把三题放到同一张表里看

我整理了这三道题最核心的转移公式对比，方便大家复盘：

122和123的第二次交易，买入时都使用了 dp[i-1][1] 形式，本质都是"用已经落袋的利润去买下一次股票"。而121因为只允许一次，买入时只能用初始资金。这个对比看明白后，股票系列的共性就浮出水面了。

5.2 一个统一的状态机框架

如果要把这个系列抽象成模板，可以这样理解：股票题的状态由两个维度组成，一是当前是否持有股票，二是已经完成的交易次数。121是交易次数上限1，122是无限次，123是上限2。188题的思路就是把这套状态推广成 dp[i][j][k]，其中 j 表示是否持有，k 表示已完成交易次数。

代码随想录的训练营没有直接让我们上188，而是先用这三道题铺垫状态机思考方式，个人觉得这个节奏非常合理。先把123的四个状态理清楚，再去写188的二维数组，会自然很多。

5.3 空间优化的通用思路

二维数组版本的复杂度是O(n)空间，但每道题其实都只需要保留前一天的状态。121和122可以只用两个变量滚动，123可以用四个变量滚动。如果编译器允许，还可以在遍历中直接原地更新，像我在4.5节写的那样。

我建议做题时先写出二维版本，AC之后再改成滚动变量版本，不要一上来就写优化版。因为滚动变量对更新顺序要求高，一旦出错很隐蔽。比如123的滚动顺序问题，我至少踩过两次，都是在LeetCode评论区看到别人的解法才意识到自己错在哪。

5.4 边界情况的统一验证清单

无论哪道题，提交前都检查这几个用例：

• 空数组：直接返回0，不然后续访问 prices[0] 会越界。
• 只有一个元素：返回0，因为当天买入无法当天卖出（虽然同一天可以买卖的话，121要求"未来某天卖出"，所以单元素不能产生利润；但123因为允许同一天先买后卖再买，单元素依然是0）。
• 单调递减数组：比如 [5,4,3,2,1]，所有题答案都是0，因为任何时候卖出都亏。
• 单调递增数组：比如 [1,2,3,4,5]，121答案是4，122和123答案也都是4，因为最长的一整段利润就是4，多次拆解并不会改变总额。
• 先跌后涨、有多个波峰波谷的数组：重点验证状态在波峰卖出、波谷买入的切换是否正确。

6. 训练营刷题经验：股票系列的学习顺序、面试表达与踩坑清单

6.1 我的学习顺序建议

如果你刚接触股票系列，我强烈建议不要直接做123。先把121的持有/不持有状态用纸笔推一遍，做到不看代码能写出转移方程。然后做122，重点关注"买入公式那一行差异"，并手推一个多波峰波谷的例子。最后再上123，先自己尝试设计状态，看看能不能想到用四个状态去表示两次交易。卡住再看题解，理解会深很多。

我在训练营里是前一天先预习、当天听讲解、晚上再自己把代码从零写一遍。股票系列这套流程走下来，印象特别深。

6.2 面试中怎么讲这系列题

如果面试遇到股票题，我建议按这个顺序表达：

第一，先说清楚状态定义，直接说"我用dp[i][0]表示第i天持有股票的最大现金，dp[i][1]表示不持有的最大现金"，并强调这里记录的是当天结束时的状态。

第二，推导转移公式，重点解释买入动作对应的转移是从哪个状态来的，为什么单次交易和多次交易的写法不同。

第三，说边界和初始化，特别是123的 dp[0][2] 为什么是 -prices[0]，这能体现你对状态初始化的理解深度。

第四，主动提空间优化，说出滚动变量的更新顺序。

这样讲下来，面试官能快速判断你不是背题，而是真正理解状态机DP。我甚至在模拟面试里试过，把123完整讲清楚确实比直接写代码更有说服力。

6.3 我实际踩过的坑清单

简单列一下我在刷这三道题时真正出过错的地方：

• 121里把 dp[i][0] 想成"当天买入"，导致后面看122时完全不能理解 dp[i-1][1] - prices[i] 的含义，重新看了两遍视频才绕出来。
• 122写贪心解法时，一开始下意识觉得"应该找波峰波谷"，后来发现逐天累加正差价才是最简单可靠的做法。找波峰波谷实现起来容易错，需要额外处理连续相等价格的情况。
• 123初始化 dp[0][2] 时写过 INT_MIN，结果 LeetCode 上有一个严格递增的大数组用例直接答案错误，排查了很久才发现是初始化的问题，后来把dp数组打印出来才定位到。
• 123滚动优化时先写了 hold2 再写 cash1，导致持仓成本计算错误，后来把顺序调成先 hold1/cash1 再 hold2/cash2 才通过。

6.4 给后续题目留的钩子

股票系列还有三道常见变种：309题加了冷冻期，卖出后第二天不能买入，需要在状态里再加一个"冷静期"维度；714题加了手续费，买入时要把手续费计入成本；188题要求最多K次交易，直接把四个状态泛化成2乘K个状态。有了121、122、123打底，这些变种的核心思路都是同一个状态机框架，区别只是状态数量和转移细节。代码随想录训练营在这个时间点安排这三道题，确实是为后面这些题目做铺垫。

我自己刷到第四十五天最大的体会是，动态规划题最怕的不是公式复杂，而是状态定义模糊。股票系列恰好是训练状态定义能力最好的素材：从两个状态到四个状态，从单次交易到多次交易，每一步的递进都有明确理由。把这三道题吃透之后，再回头看其他DP题，很多"为什么要这样设状态"的问题都能自己回答了。