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二面体群

设正nnn边形中心在坐标原点，且有一个顶点位于xxx轴正半轴上。

• rrr：逆时针旋转2πn\frac{2\pi}{n}n2π​（即旋转过一个顶点）；
• sss：关于xxx轴的反射。

对应的矩阵表示为：

r=(cos⁡2πn−sin⁡2πnsin⁡2πncos⁡2πn),s=(100−1). r = \begin{pmatrix} \cos\frac{2\pi}{n} & -\sin\frac{2\pi}{n} \\[6pt] \sin\frac{2\pi}{n} & \cos\frac{2\pi}{n} \end{pmatrix}, \qquad s = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[6pt] 0 & -1 \end{pmatrix}.r=(cosn2π​sinn2π​​−sinn2π​cosn2π​​),s=(10​0−1​).

二面体群是正nnn边形的全部由以上两种操作组合成的变换和复合操作所构成的代数结构，它是一个群，通常记作DnD_nDn​.

这两个生成元满足二面体群的标准关系：

rn=e,s2=e,srs=r−1. r^n = e, \qquad s^2 = e, \qquad srs = r^{-1}.rn=e,s2=e,srs=r−1.

其中第三条关系等价于sr=r−1ssr = r^{-1}ssr=r−1s，表明旋转与反射不可交换。

群的元素

由rrr和sss生成的二面体群DnD_nDn​的阶为2n2n2n，其所有元素可唯一表示为：

rk,rks,k=0,1,…,n−1. r^k, \quad r^k s, \qquad k = 0, 1, \ldots, n-1.rk,rks,k=0,1,…,n−1.

• 前nnn个元素rkr^krk是纯旋转；
• 后nnn个元素rksr^k srks是反射。

当n≥3n \geq 3n≥3时，DnD_nDn​是非交换群。