企业官网建设流程全解析

最近接手一个300W氮化镓快充方案，次级要出48V/6.25A，主控选了LLC半桥。做这类电源，第一步往往不是画原理图，而是先把增益公式从头到尾推一遍。原因很简单：LLC整个工作点、最低频率、最大增益、ZVS范围，全藏在这个公式里。公式没吃透，后面仿真、调板、改参数都会像无头苍蝇。这篇文章就把我完整推导LLC谐振电路增益公式的过程和心得整理出来，包括FHA等效、阻抗分压、归一化处理，以及用公式反推参数的实操套路，希望能帮你少走点弯路。

1. LLC拓扑与增益公式到底解决什么问题

1.1 LLC拓扑和普通串联谐振有什么不一样

很多人第一次看LLC时，容易把它理解成“串联谐振加了一个励磁电感”。这个说法没毛病，但如果没有这个Lm，LLC的工程价值就少了一大半。

传统串联谐振变换器（SRC）只有一个谐振电感Lr和一个谐振电容Cr，负载直接串在谐振腔里。它的增益曲线在谐振频率处是1，偏离谐振点就往下掉，想升压很难。更麻烦的是空载或轻载时，为了稳住输出电压，频率会被推得很远，环路非常难调。

LLC多加了一个变压器励磁电感Lm，并且让Lm也参与谐振。这样系统就有两个谐振频率：由Lr和Cr决定的串联谐振频率fr1，以及由Lr+Lm和Cr决定的并联谐振频率fr2，后者低于前者。当开关频率落在fr1附近时，Lm基本被输出电压钳位，不参与谐振，电路表现为串联谐振，效率最高。当工作频率降到fr1以下、靠近fr2时，Lm不再被钳位，开始和Cr、Lr一起谐振，这时候增益可以明显大于1，相当于低压输入时还能稳定升压。

这就是LLC能同时兼顾宽输入电压范围、高效率、原边ZVS的原因。而这一切特性，都需要用一个统一的增益表达式来描述，这个表达式就是我们常说的LLC增益公式。

1.2 增益公式要解决的设计问题

增益公式不是考试用的，它要回答的是一个非常工程化的问题：在特定输入电压、特定负载、特定开关频率下，LLC电路能把输出电压推到多少。

拿我手上这个项目来说，PFC后母线电压Vin大约是390V到420V，输出要稳定在48V，变压器匝比n初步定在8左右。那么半桥LLC所需的直流增益就是：

• 最高输入电压420V时，M_min = 2 × n × Vo / Vin_max = 2 × 8 × 48 / 420 ≈ 1.83
• 最低输入电压390V时，M_max = 2 × 8 × 48 / 390 ≈ 1.97

如果不懂增益公式，你根本不知道在工作频率范围内系统能不能达到接近2倍的增益。一旦峰值增益不够，低压满载时输出电压就会往下掉，怎么调环路都没用。

另外，增益公式还决定了死区时间、最小开关频率、谐振参数选取。比如通过增益曲线可以查到一个临界频率fn_min，低于这个频率，增益开始下降，那就意味着不能再降频了，否则输出失控。所以说，增益公式是LLC设计的“牛鼻子”，一点不为过。

1.3 先把三个无量纲参数定义清楚

在真正推公式之前，必须统一符号。LLC增益公式里大量使用无量纲参数，这不仅是简化书写的需要，更重要的是让结论具备普适性——不管你的Lr、Cr、Ro具体是多少，只要三个无量纲参数相同，增益特性就完全一样。这三个参数是：

归一化频率： $$f_n = \frac{f_s}{f_{r1}}$$ 其中$f_{r1}=1/(2\pi\sqrt{L_r C_r})$是Lr和Cr的串联谐振频率。

电感比： $$k = \frac{L_m}{L_r}$$

品质因数： $$Q = \frac{\sqrt{L_r/C_r}}{R_e} = \frac{Z_r}{R_e}$$ 其中$Z_r=\sqrt{L_r/C_r}$是谐振腔的特征阻抗，$R_e$是折算到原边的等效交流负载电阻，后面会专门推导。

这三个参数一旦固定，增益曲线就完全确定了。整篇文章后面所有的推导，都是为了把增益M表示成$(f_n, k, Q)$的函数。

2. 推导前的三个关键准备

2.1 基波近似法（FHA）背后的逻辑

LLC原边开关管输出的是方波电压，副边整流后也是方波。直接拿方波去解非线性电路非常麻烦。这里用到最经典的处理方法：基波近似法（First Harmonic Approximation，FHA）。

FHA的核心思想是，谐振腔本身是一个带通滤波器，它的阻抗对基波分量最小，对高次谐波阻抗很大。方波经谐振腔之后，真正传递到负载的能量几乎全部集中在基波分量上。所以我只需要把方波电压展开成傅里叶级数，然后只取基波分量，整个电路就变成了一个线性正弦稳态电路，可以用复数阻抗直接求解。

这里有个工程直觉需要建立：FHA在接近谐振频率时误差很小，因为谐振腔的选频作用非常强。但当工作频率远离谐振点，或者负载很轻、电流断续严重时，高次谐波的比例会上升，FHA的误差也会变大。所以FHA的定位是“设计初期的快速工具”，精确的损耗、波形验证还是要靠时域仿真。

2.2 输出整流级等效负载电阻Re的折算

副边整流桥和输出电容一起，在FHA模型里可以等效成一个纯电阻。这个等效电阻怎么算？关键是功率守恒。

实际输出是直流功率$P_o=V_o I_o$。副边整流桥输入侧是方波电压，幅值约等于$V_o$（忽略二极管压降）。副边整流桥输入电压方波的基波幅值是$4V_o/\pi$，基波有效值是$2\sqrt{2}V_o/\pi$。同理，整流桥输入电流的基波有效值是$2\sqrt{2}I_o/\pi$。注意整流桥同时流过正负半周，这里需要仔细推导，常见资料用的结论是：副边等效交流电阻 $$R_{e2}=\frac{V_{ac}}{I_{ac}}=\frac{8R_o}{\pi^2}$$

这个结论适用于全桥整流和全波整流，推导过程中只保留了基波分量，所以它本身也是FHA的一部分。

然后把副边电阻折算到原边，需要乘以匝比$n=N_p/N_s$的平方： $$R_e = n^2 R_{e2} = \frac{8n^2R_o}{\pi^2}$$

这一步太容易出错了。很多人拿着原边谐振参数去套公式，结果Q值算错了一倍甚至几倍，都是因为Re没算对。实际上，$R_o=V_o^2/P_o$，代入之后你会发现，$R_e$只和输出电压、输出功率、变压器匝比这三个参数有关。

2.3 半桥输入输出基波幅值与增益M的定义

半桥LLC的结构里，两个开关管交替导通，谐振腔输入端（半桥中点）对地是一个幅值为$V_{in}/2$的方波。这个方波没有负压，它的基波幅值是$2V_{in}/\pi$，基波有效值是$\sqrt{2}V_{in}/\pi$。

副边反射到原边的电压，也就是变压器的原边绕组电压，是一个幅值为$nV_o$的方波（这里只考虑理想变压器，忽略漏感和激磁电流在传递能量时的压降）。它的基波幅值是$4nV_o/\pi$。

于是半桥LLC的FHA传递函数可以写成： $$H = \frac{V_{p1}}{V_{s1}} = \frac{4nV_o/\pi}{2V_{in}/\pi} = \frac{2nV_o}{V_{in}}$$

而半桥LLC的直流增益M通常就定义为： $$M = \frac{2nV_o}{V_{in}}$$

你会发现，这个M恰好等于FHA等效电路里，从谐振腔输入端到变压器原边（即励磁电感两端）的电压传递函数$|H(j\omega)|$。这就把“直流增益”和“交流传递函数”统一起来了。后面所有的阻抗分压计算，算出来的$|H|$就是M。

3. 增益公式完整推导：从FHA到最终表达式

3.1 FHA等效电路与阻抗表达式

经过FHA处理后，LLC的半桥等效电路变成下面这样：

• 输入源是正弦电压$V_{s1}$，内阻为0；
• 串联谐振电感$L_r$，谐振电容$C_r$；
• 励磁电感$L_m$和等效负载$R_e$并联，作为分压负载。

整个电路的阻抗分压关系是： $$H(j\omega)=\frac{V_p}{V_s}=\frac{Z_p}{Z_s+Z_p}$$

其中串联臂阻抗： $$Z_s=j\omega L_r+\frac{1}{j\omega C_r}$$

并联臂阻抗（Lm和Re并联）： $$Z_p=\frac{j\omega L_m \cdot R_e}{R_e+j\omega L_m}$$

接下来就是把这两个复数表达式代入分压公式，然后利用归一化参数化简。

3.2 从分压比到归一化传递函数

为了后面书写方便，先定义谐振特征阻抗： $$Z_r=\sqrt{\frac{L_r}{C_r}} = \omega_{r1} L_r = \frac{1}{\omega_{r1} C_r}$$ 其中$\omega_{r1}=1/\sqrt{L_rC_r}$。

再令归一化频率$f_n=\omega_s/\omega_{r1}$，于是： $$j\omega_s L_r = j f_n Z_r$$ $$\frac{1}{j\omega_s C_r} = \frac{Z_r}{j f_n} = -\frac{j Z_r}{f_n}$$

所以串联臂阻抗为： $$Z_s = j Z_r\left(f_n-\frac{1}{f_n}\right)$$

并联臂阻抗的处理略微繁琐。先代入$L_m=kL_r$，则$\omega_s L_m = f_n k Z_r$，同时$R_e=Z_r/Q$，于是： $$Z_p=\frac{j f_n k Z_r \cdot \frac{Z_r}{Q}}{\frac{Z_r}{Q}+j f_n k Z_r}=\frac{j f_n k Z_r}{1+j f_n k Q}$$

这里默认了Q的定义是$Q=Z_r/R_e$，也就是重载时Re小、Q大。

现在把$Z_s$和$Z_p$同时代入分压式： $$H=\frac{\frac{j f_n k Z_r}{1+j f_n k Q}}{j Z_r\left(f_n-\frac{1}{f_n}\right)+\frac{j f_n k Z_r}{1+j f_n k Q}}$$

分母和分子同时约掉$jZ_r$，再通分整理，可以得到： $$H=\frac{f_n k}{f_n k+\left(f_n-\frac{1}{f_n}\right)\left(1+j f_n k Q\right)}$$

写到这里，已经完全没有Lr、Cr的独立身影了，只剩下$f_n$、$k$、$Q$三个无量纲参数。这正是我们想要的“归一化传递函数”。

3.3 取模化简得到最终增益公式

传递函数是复数，增益是它的模。先把上式分成实部和虚部：

令$A=f_n k$，$B=f_n-\frac{1}{f_n}$，则： $$H=\frac{A}{A+B+jB f_n k Q}$$

这个复数的模为： $$|H|=\frac{A}{\sqrt{(A+B)^2+(B f_n k Q)^2}}$$

把A和B代回去： $$A+B=f_n k+f_n-\frac{1}{f_n}=f_n(1+k)-\frac{1}{f_n}$$ $$B f_n k Q=\left(f_n-\frac{1}{f_n}\right)f_n k Q=k Q(f_n^2-1)$$

于是得到最终增益公式： $$M(f_n,k,Q)=|H|=\frac{f_n k}{\sqrt{\left[f_n(1+k)-\frac{1}{f_n}\right]^2+\left[kQ(f_n^2-1)\right]^2}}$$

这就是半桥LLC的基波增益表达式。你可能会在其他资料里看到类似但长得不完全一样的公式，原因主要有三点：一是Q的定义可能取倒数，二是归一化频率有的定义为$f_{r1}/f_s$而不是$f_s/f_{r1}$，三是有人把半桥系数2直接写进公式里。本质上都是同一个东西，用的时候先搞清楚对方的参数定义，别盲目套。

验证一下这个公式的极端情况：

• 当$f_n=1$时，分母第一项为$1(1+k)-1=k$，第二项为0，分子为$k$，所以$M=1$。也就是说，工作在串联谐振频率时，增益恒等于1，与负载无关。这符合实际：谐振点附近LLC的输出特性非常“硬”，负载变化基本不影响增益。
• 当$f_n\rightarrow\infty$，分子线性增大但分母中$f_n(1+k)$也线性增大，且第二项以$f_n^2$速度增大，所以$M\rightarrow0$。高频段增益下降，对应降压区。
• 当$f_n\rightarrow0$，分子趋向0，分母中$1/f_n$趋向无穷，所以$M\rightarrow0$。极低频无法工作。
• 当Q=0（空载），增益表达式退化为$M=\frac{f_n k}{f_n(1+k)-1/f_n}$，在$f_n=1/\sqrt{1+k}$处分母为0，增益趋向无穷。这说明空载时LLC有潜在的谐振尖峰，实际因为电路寄生电阻，尖峰不会无限大，但轻载时增益偏高是真实存在的。

3.4 全桥拓扑下公式怎么改

上面的推导基于半桥结构，直流增益M定义为$2nV_o/V_{in}$。如果换成全桥LLC，情况稍微有点变化。

全桥LLC的输入端是两个桥臂对角导通，谐振腔输入电压是幅值为$V_{in}$的双极性方波（一半时间正，一半时间负），而不是半桥的$V_{in}/2$单极性方波。因此全桥输入电压基波幅值是$4V_{in}/\pi$，是半桥的两倍。

在全桥中，如果沿用M的定义为$M=nV_o/V_{in}$，那么分压传函的极限关系会变成：在$f_n=1$时，$|H|=M=1$。也就是说，全桥的增益公式在形式上不变，只是M定义不同。

工程上更常见的做法是：无论半桥还是全桥，都先拿同一个归一化增益曲线来查，但计算目标增益M时用各自的定义：

• 半桥：$M=\dfrac{2nV_o}{V_{in}}$
• 全桥：$M=\dfrac{nV_o}{V_{in}}$

全桥相同匝比下，需要达到的M值只有半桥的一半，所以全桥更容易在宽输入范围下工作。代价是开关管数量翻倍、成本增加。实际选型时，功率超过500W一般优先考虑全桥，功率较小的充电器、适配器以半桥为主。

另外，折算等效负载$R_e=8n^2R_o/\pi^2$在半桥和全桥中是一样的，因为副边整流结构相同，原边看进去的等效负载与桥式结构无关。这一点很多资料没写清楚，导致有人在全桥里把Re又乘了个2，Q值直接翻倍，曲线查出来全是错的。

4. 参数k、Q、fn如何改变增益曲线

4.1 k值影响增益峰值与ZVS范围

电感比$k=L_m/L_r$决定了励磁电感和谐振电感的相对大小。在谐振频率附近，$L_m$越大，意味着励磁电流越小，对谐振腔的分流作用越弱，电路特性越接近纯串联谐振，增益越接近1。

从公式看，k的影响主要体现在分母第一项$f_n(1+k)-1/f_n$里。k越大，低频段频率变化引起的增益变化越平缓，峰值增益越低，但工作频率范围（特别是升压段）会变宽。k越小，比如k=3时，低频段的增益峰明显更陡，最大增益更高，但励磁电流也更大，原边开关管的关断损耗和磁性元件损耗都会上升。

实际设计中，k通常取3到7。k选小了，峰值增益够，但励磁损耗大；k选大了，损耗小了，但可能出现峰值增益不足，低压满载时输出顶不上去。我自己的经验是：先按k=5起步，算出峰值增益够不够，不够再往下调，但不要低于3。

从ZVS角度看，Lm越大，励磁电流越小，死区时间内给开关管结电容放电的电流就越小，ZVS条件越苛刻。所以k不能一味取大，ZVS是硬约束。

4.2 Q值影响负载特性和最大增益

品质因数Q是特征阻抗$Z_r$与等效负载$R_e$的比值。负载越重（Ro越小），Re越小，Q越大。Q值对增益曲线的影响非常直观：

• Q越小（轻载），增益曲线在fr1以下有明显的“尖峰”，最大增益可以很大；
• Q越大（重载），曲线越来越平坦，峰值增益被压得越来越低。

这意味着什么？假设最低输入电压时你需要1.97倍的增益，而满载对应的Q=0.6，曲线最大增益只有1.85，那就直接不行了。要么减小匝比，要么降低Q值（比如增大Lr、减小Cr），让曲线峰值抬起来。

用增益公式求峰值增益时，可以对分母函数关于$f_n$求导，令导数等于0，求出峰值频率，再代回原式。这个计算解析解很麻烦，实际工程里我基本不做纯手算，直接用程序扫点找最大值，比如下面要讲的Python脚本。

4.3 fn划分的三个工作区间

增益曲线按归一化频率$f_n=f_s/f_{r1}$可以分为三个区间，每个区间对应完全不同的工作模态：

• $f_n>1$，即开关频率高于串联谐振频率。电路工作在降压区，增益小于1。这是ZVS区，副边二极管电流连续，关断损耗较小，适合做高压输入、低压输出时的工况。
• $f_n=1$，正好在谐振频率点。增益等于1，效率最高，变压器原边电流接近正弦，副边二极管电流在零点附近自然关断，几乎没有反向恢复问题。
• $f_n<1$，开关频率低于串联谐振频率。电路工作在升压区，增益大于1。这个区间内，Lm会在一段时间内参与谐振，副边二极管进入断续导通模式，可以实现原边ZVS，但副边二极管电流峰值更大，关断时存在轻微反向恢复。

LLC的闭环稳压通常就工作在fr1两侧：输入电压低或负载重时，频率降低进入升压区；输入电压高或负载轻时，频率升高进入降压区。设计时把正常工作点放在fr1附近，最恶劣工况对应的最大增益留出5%-10%的余量，这是最稳妥的思路。

4.4 用增益公式反推设计参数的一个示例

拿我开头那个48V/300W半桥方案来完整走一遍。

已知条件：

• 输入电压：$V_{in}=390V-420V$
• 输出电压：$V_o=48V$
• 输出功率：$P_o=300W$
• 变压器匝比：初步选$n=8$
• 输出负载电阻：$R_o=V_o^2/P_o=48^2/300=7.68\Omega$
• 等效负载：$R_e=8n^2R_o/\pi^2=8\times64\times7.68/9.87\approx398\Omega$

目标增益：

• $M_{max}=2nV_o/V_{in,min}=2\times8\times48/390\approx1.97$
• $M_{min}=2nV_o/V_{in,max}=2\times8\times48/420\approx1.83$

注意，半桥LLC的最小工作频率通常会落在fr1以下，最大增益点需要由增益曲线来确认。

假设我初选$k=5$，$Q=0.4$（对应$Z_r=Q\times R_e=0.4\times398\approx159\Omega$），通过增益曲线可以查出最大增益$M_{peak}$是否大于1.97。如果不够，就需要降低Q（比如选$Z_r=120\Omega$，$Q=0.3$），或者减小k，或者调整匝比n。

从工程角度，这套流程应该在Excel或者脚本里做参数扫描，几分钟就能把Lr、Cr、Lm、匝比全部定下来。手动一个个算真的会累死，还容易错。

5. 实战：画曲线、选参数、处理对不上的情况

5.1 用Python快速画出增益曲线

下面是推导完公式后我最常用的一个Python脚本，几行代码就能画出不同k、Q组合下的增益曲线，用来找峰值增益和对应频率非常方便。

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def llc_gain(fn, k, q): num = fn * k den = np.sqrt((fn * (1 + k) - 1 / fn) ** 2 + (k * q * (fn ** 2 - 1)) ** 2) return num / den fn = np.linspace(0.4, 2.0, 800) plt.figure(figsize=(8, 5)) for q in [0.2, 0.4, 0.6, 0.8]: gain = [llc_gain(f, k=5, q=q) for f in fn] plt.plot(fn, gain, label=f'k=5, Q={q}') plt.axhline(1.97, color='red', linestyle='--', linewidth=1, label='M_max=1.97') plt.axvline(1.0, color='gray', linestyle=':', linewidth=1) plt.xlabel('fn (fs/fr1)') plt.ylabel('M (2nVo/Vin)') plt.legend() plt.grid(True) plt.show()

用这个脚本可以快速检查：在k=5、Q=0.4时，峰值增益是否满足1.97的需求；以及峰值增益对应的$f_n$是否在你的最小频率范围内。如果峰值频率对应的实际开关频率低于你控制IC能工作的最低频率，那说明谐振参数需要调整。

5.2 实测增益和理论对不上的常见原因

增益公式画出来的曲线再漂亮，焊到板子上实测时经常对不上。我遇到过的情况主要有这么几类：

第一，原边MOSFET的结电容和变压器寄生电容被忽略了。这些电容会和Lr、Cr形成附加谐振，导致实际谐振频率偏移。尤其在高压大功率场景，变压器绕组间寄生电容不容小觑，轻载时影响更明显。

第二，变压器漏感没有完全并入Lr。很多设计里Lr直接用变压器漏感来实现，不再单独加谐振电感。这时漏感的实际值会随气隙、绕线方式、频率变化，和设计值偏差可能达到10%-20%。增益曲线自然跟着偏。

第三，FHA在远离谐振点、轻载或深降频时误差大。实测低压输入、满载时，如果频率已经掉到fr1的70%以下，高次谐波占比上升，FHA算出的增益会偏乐观。这时候最好用时域仿真或者直接上样机摸底。

第四，死区时间的影响。死区时间内原边电流会给结电容充放电，实际上相当于改变了谐振腔的等效阻抗。死区太长或太短，都会让实测增益和理论值出现几个百分点的偏差。

遇到实测对不上时，我的排查顺序是：先确认输入输出电压纹波和直流分量是否测量准了，再检查Lr、Cr实际值（用LCR表在接近工作频率下测），最后才会怀疑FHA本身。仪器误差往往比理论误差更隐蔽。

5.3 推导和仿真时最容易犯的几个错误

把我和身边同事踩过的坑整理成一张表，你可以直接保存在手边。

我再单独强调一下第5条。很多人看到增益曲线在fr1左侧上涨，就以为频率越低增益越高，实际上曲线过了峰值之后会掉头向下。这个峰值点通常出现在fr1的60%-90%之间，具体取决于k和Q。如果不知道这一点，设计时把最低频率设在峰值点以下，轻载或启动时会出现增益骤降，输出电压反而不正常。

所以，拿到增益公式后第一件事，就是画出完整曲线并让程序标出峰值点。所有关于最低频率、最大增益的判断，都要基于峰值点而不是主观猜测。

最后分享一个我非常个人的习惯：每个LLC项目的增益公式，我都坚持手推一遍，不直接抄参考资料。原因不是想证明自己会算，而是推导过程能强迫你搞清楚每个参数的定义、每个系数的来源。尤其是Q和Re的折算，看十遍公式不如自己推一遍印象深。后面你在做环路补偿、算最小频率、判断ZVS边界时，这些理解会反复用到。

另外，把增益公式放进Mathcad或者Python脚本，把所有参数都做成变量，这样调整Lr、Cr、Lm时，增益曲线和峰值点会实时更新，比任何软件仿真都快。仿真有它的价值，但设计前期快速收敛参数，公式脚本才是真正的效率工具。