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1. 一元导数里那个"恰到好处"的巧合，是后面所有混乱的源头

一元微积分学得顺，很大程度上是因为那里有一个"巧合"在帮忙。等你到了多元函数这一章，偏导数、全微分、方向导数、梯度一股脑涌过来，公式越写越长，可一旦被问"偏导数都算出来了，为什么还不能说函数可微"，很多人就只能背结论。这不是记性问题，是概念的层级没有理顺。

导数、偏导数、全微分这三样东西，本质上在回答三个不同的问题：变化率是多少、沿某个坐标方向的变化率是多少、函数增量能不能被一个线性函数逼到足够近。把这几个问题的边界划清楚，后面的方向导数、梯度、隐函数求导、泰勒展开基本一路顺下去。

1.1 导数管变化率，微分管增量怎么拆

函数 $f$ 在 $x_0$ 可导的定义是极限存在：

$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

这个数描述的是瞬时变化率——自变量每走一个单位，函数大约走 $f'(x_0)$ 个单位。而可微是另一句话：能不能找到一个与 $\Delta x$ 无关的常数 $A$，使得

$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$$

把这两件事放在一起看，一元情形下它们是等价的。等价的原因很简单：上面那个式子两边除以 $\Delta x$ 再取极限，能充当 $A$ 的只有 $f'(x_0)$。教材里常常把"可导"和"可微"当同义词用，久而久之，人们会以为这种等价是天经地义的。

问题恰恰出在这里。一元情形下，靠近 $x_0$ 只有左右两个方向，"沿一个方向能线性逼近"和"沿所有方向能线性逼近"几乎是同一句话。多元情形把这两件事彻底分开了，因为平面上有无数条路径可以走向一个点。

1.2 真正该记住的是这一句话

我自己反复用的记法是：导数回答"变化率是多少"，微分回答"增量能不能被一个线性函数替代，误差有多小"。

• 一元：$\Delta y=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)$，线性部分是 $f'(x_0)\Delta x$，记作 $dy$。
• 多元：$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$，线性部分是 $A\Delta x+B\Delta y$，记作 $dz$。

写成矩阵味道更重一点：$\Delta z = Df(P)\cdot\Delta \boldsymbol{x}+o(\rho)$，其中 $Df$ 就是雅可比矩阵，一元时退化成一个数。这个视角后面有大用——全微分本质是一个线性映射，偏导数是它的分量，方向导数是它作用在单位向量上的取值。

提示：把"微分"和"导数"分开记，是后面所有判断的起点。凡是问"能不能线性逼近"，讨论的都是微分；凡是问"变化率是多少"，讨论的都是导数。

2. 偏导数：把 y 冻住，沿坐标轴方向量一次斜率

2.1 定义式里那个关键动作

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$

注意看，这个定义里 $y$ 从头到尾都等于 $y_0$，一点都没动过。等价的说法是：令 $g(x)=f(x,y_0)$，那么 $\partial f/\partial x(x_0,y_0)=g'(x_0)$。偏导数就是把多元函数切一刀，切成一个一元函数，再对这个一元函数求导。这也是为什么偏导数的计算几乎不需要新技巧——把另一个变量当常数，剩下的就是一元求导。

几何上更好理解：曲面 $z=f(x,y)$ 与平面 $y=y_0$ 相交得到一条曲线，$\partial f/\partial x$ 就是这条曲线处切线关于 $x$ 轴的斜率；类似地 $\partial f/\partial y$ 是曲面与 $x=x_0$ 相交所得曲线切线的斜率。

在一点处，两个偏导数给出了两条特定方向的切线。这两条切线如果能确定唯一的平面，那个平面就是切平面。而偏导数只能告诉我们这两条方向上的斜率，能不能保证这个平面在整个邻域内都贴住曲面，是另一件事。

2.2 偏导数只完成了"线性逼近"的一半

一维里，$f'(x_0)$ 完整描述了函数的局部线性行为。二维里，$f_x$ 只管 $x$ 方向，$f_y$ 只管 $y$ 方向。把两者拼成 $A\Delta x+B\Delta y$ 的时候，其实是在外推：我们赌函数沿着别的方向也是线性的，也就是赌

$$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\approx f_x\Delta x+f_y\Delta y$$

这个赌注对不对，标标准准就是可微性要回答的问题。

打个比方。你站在一块起伏的地形上，只沿正东和正北各量了一次坡度，就宣布"这块地是个斜面，任意方向的坡度都能用这两个数合成"。如果地形真是斜的，那没问题；但如果东偏北 45 度方向藏着一道沟，你在正东和正北的测量完全看不见它。偏导数就是这么两次单独采样。

2.3 偏导都存在，函数却可以不连续

最小代价反例：

$$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0)\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0)\end{cases}$$

在原点求偏导。因为 $f(h,0)=0$（$h\neq 0$），所以

$$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0$$

同理 $f_y(0,0)=0$。两个偏导数都存在，而且都是 0。

但这个函数在原点不连续。沿直线 $y=x$ 靠近原点时 $f(x,x)=x^2/(2x^2)=1/2$，与 $f(0,0)=0$ 不相等，所以极限不存在。既然可微必然连续，它在原点当然也不可微。

顺带说一句，这个函数连方向导数都基本不存在。取单位方向 $\boldsymbol u=(\cos\theta,\sin\theta)$，当 $t\neq 0$ 时 $f(t\cos\theta,t\sin\theta)=t^2\cos\theta\sin\theta/t^2=\cos\theta\sin\theta$，除以 $t$ 后是 $\cos\theta\sin\theta/t$，$t\to 0$ 时发散。只有 $\cos\theta\sin\theta=0$，也就是沿两条坐标轴，方向导数才存在。

3. 全微分：要求一个平面同时管住所有方向

3.1 把可微的定义式逐项拆开

定义是这样的：如果存在与 $\Delta x,\Delta y$ 都无关的常数 $A,B$，使得

$$\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho),\qquad \rho=\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}$$

则称 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微，$A\Delta x+B\Delta y$ 称为全微分$dz$。

拆开看，这里有三件事同时被要求：

• "与 $\Delta x,\Delta y$ 无关的常数 $A,B$"——切平面是固定的一个平面，不能随方向改变；
• "$o(\rho)$"——误差相对欧氏距离 $\rho$ 是高阶无穷小；
• 注意 $\rho$ 是距离，不是 $|\Delta x|$，也不是 $|\Delta y|$。

如果可微，那么一定可以求出 $A=f_x(x_0,y_0)$，$B=f_y(x_0,y_0)$。证法极简：在上式里令 $\Delta y\equiv 0$，得 $\Delta z=A\Delta x+o(|\Delta x|)$，两边除以 $\Delta x$ 取极限就是 $A$。所以可微必偏导存在，而且

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$

这就是"可微是偏导存在的充分条件"这一方向的来源：你可以从可微推出偏导，但反过来不行。

3.2 余项里的 ρ 和一元的 Δx，差在哪里

这是整篇最要紧的一句话。

一元的时候，$\Delta x\to 0$ 和 $\rho=|\Delta x|\to 0$ 是同一件事。偏导数的定义式就是一个以 $\Delta x$ 为自变量的极限。"沿 $x$ 方向线性逼近"自动就是"唯一的线性逼近"。

多元的时候，$\rho\to 0$ 允许 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 以任意方式、任意比例同时趋于 0——可以沿直线，可以沿抛物线，可以螺旋着靠近。$o(\rho)$ 意味着：不管沿着哪条路径靠近，误差都必须比 $\rho$ 更快地趋近 0。

而偏导数 $f_x$ 只处理了 $\Delta y\equiv 0$ 这一条路径，$f_y$ 只处理了 $\Delta x\equiv 0$ 这一条路径。两条路径合格，不代表所有路径都合格。

提示：偏导数是对两条坐标轴的承诺，全微分是对整个邻域的承诺。这个差距就是所有反例的来源。

3.3 偏导数连续：最好用的充分条件，但不是必要条件

实际操作中用得最多的一条定理是：如果 $f_x,f_y$ 在 $P$ 的某个邻域内存在，并且在 $P$ 点连续，那么 $f$ 在 $P$ 可微。证明的思路是用拉格朗日中值定理把增量沿两条坐标轴"接力"分解，再估计余项被 $\rho$ 控制住。

这条定理好用，因为绝大多数初等函数在它们的定义区域内偏导数都连续，直接判定可微。但它是充分不必要条件。经典反例：

$$f(x,y)=\begin{cases}(x^{2}+y^{2})\sin\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0)\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0)\end{cases}$$

可微性检查：余项 $R=f(h,k)$，$\rho=\sqrt{h^2+k^2}$，

$$\frac{R}{\rho}=\rho\sin\frac{1}{\rho^{2}},\qquad \left|\rho\sin\frac{1}{\rho^{2}}\right|\le \rho\to 0$$

所以它在原点可微，且 $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$。但偏导数在原点不连续：在 $(x,y)\neq(0,0)$ 处

$$f_x(x,y)=2x\sin\frac{1}{\rho^{2}}-\frac{2x}{\rho^{2}}\cos\frac{1}{\rho^{2}}$$

取点 $(x,0)$，第二项等于 $-\dfrac{2\cos(1/x^{2})}{x}$，$x\to 0$ 时无界。所以 $f_x$ 在原点根本不连续。结论很清楚：可微推不出偏导连续，偏导连续只是判定可微的一条方便的充分条件。

4. 把关系理成一张表，再逐个验证反例

4.1 谁能推出谁

这张表建议自己动手抄一遍，抄的过程比读的过程记得牢得多。

4.2 三个反例的完整验证过程

反例一：$f=\dfrac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$，原点补 0。

偏导：$f(h,0)=0$，故 $f_x(0,0)=0$；同理 $f_y(0,0)=0$。

连续性：$|f|\le \dfrac{|xy|}{\rho}\le \dfrac{\rho}{2}\to 0$，所以连续。

可微性：把 $A=B=0$ 代入余项，只看

$$\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)-0-0\cdot h-0\cdot k}{\rho}=\lim\frac{hk}{h^{2}+k^{2}}$$

沿 $k=h$ 这条路径取值恒为 $1/2$，不趋于 0，所以不可微。这个例子说明：连续加上偏导存在，仍然不够。

反例二：$(x^{2}+y^{2})\sin\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}$，原点补 0。上面已经算过，可微，但偏导在原点不连续。它专门用来打掉"可微等价于偏导连续"这个错觉。

反例三：特征函数。定义 $f(x,y)=1$ 当 $y=x^{2}$ 且 $x\neq 0$，其余点为 $0$。

偏导在原点：沿坐标轴函数值恒为 0，故 $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$。

方向导数：任取单位方向 $\boldsymbol u=(\cos\theta,\sin\theta)$，点 $(t\cos\theta,t\sin\theta)$ 落在抛物线上需要满足 $t\sin\theta=t^{2}\cos^{2}\theta$，对固定的 $\theta$，这只对至多一个 $t$ 成立。所以 $t\to 0$ 足够小时 $f\equiv 0$，方向导数等于 0。所有方向导数都存在。

连续性：沿抛物线 $y=x^{2}$ 走向原点时 $f\equiv 1$，与 $f(0,0)=0$ 不等，所以不连续。连连续都不满足，可微自然免谈。这个例子直接打掉了"方向导数全存在就能推可微"的幻想。

4.3 用几行代码把反例跑一遍

眼睛看不出来的东西，数值能看出来。下面这段脚本专门检验反例一的余项行为：

import numpy as np def f(x, y): r = np.hypot(x, y) return 0.0 if r == 0 else x * y / r for h in [1e-1, 1e-2, 1e-3, 1e-4, 1e-5]: rho = np.hypot(h, h) print(f"h={h:.0e} R/rho={f(h, h) / rho:.6f}")

输出会稳定停在 $0.5$ 附近，无论 $h$ 缩到多小。这就是"余项除以 $\rho$ 不趋于 0"的数值铁证。如果你把同样的代码换成 $f=x^{2}y^{2}/(x^{2}+y^{2})$，会看到 $R/\rho$ 随 $\rho$ 一起萎缩到 $10^{-5}$ 量级，两相对比，很有说服力。

5. 方向导数和梯度：把全微分的线性部分读出来

5.1 方向导数的定义，以及它和偏导数的关系

$$\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol u}(x_0,y_0)=\lim_{t\to 0^{+}}\frac{f(x_0+t\cos\alpha,\ y_0+t\sin\alpha)-f(x_0,y_0)}{t}$$

其中 $\boldsymbol u=(\cos\alpha,\sin\alpha)$ 是单位向量。这个定义和偏导数唯一的区别是：不再是沿 $x$ 轴或 $y$ 轴，而是沿任意指定方向。偏导数是方向导数在 $\boldsymbol u=(1,0)$ 和 $\boldsymbol u=(0,1)$ 时的两个特例。

要留意的是，方向导数要求 $t$ 从正方向趋于 0，因为反方向对应的是 $-\boldsymbol u$，结果可能不同（比如 $|x|$ 的原点）。所以把方向导数写成双边极限是错的。

5.2 梯度就是那个线性泛函的向量化身

若 $f$ 在 $P$ 可微，则对任意单位向量 $\boldsymbol u$，

$$D_{\boldsymbol u}f(P)=\nabla f(P)\cdot\boldsymbol u=f_x(P)\cos\alpha+f_y(P)\sin\alpha$$

推导只用一步：把 $P+t\boldsymbol u$ 代入全微分定义式，$\rho=|t|=t$，于是

$$\Delta z=A(t\cos\alpha)+B(t\sin\alpha)+o(t)$$

两边除以 $t$ 取极限，得到 $A\cos\alpha+B\sin\alpha$。这说明全微分这条线性映射作用在方向向量 $\boldsymbol u$ 上，正好就是方向导数。

把方向导数写成 $D_{\boldsymbol u}f=|\nabla f|\cos\theta$（$\theta$ 是 $\boldsymbol u$ 与梯度的夹角），立刻得到"梯度方向是最陡上升方向，模长是最大变化率"这个结论。很多教材把它当成一个需要记的定理，其实它就是上面的点乘公式换个写法。

5.3 反过来推不成立，而且是两种不同的失败

第一种失败：方向导数存在不代表函数可微。4.2 里的特征函数已经演示过，它连连续都不满足。

第二种失败更要小心：偏导存在和方向导数存在是两件独立的事。$xy/(x^2+y^2)$ 在原点偏导都是 0，但除了两条坐标轴方向，其余方向导数统统不存在。所以"我有两个偏导数"这句话的信息量，比很多人想象的要少得多。

真正把方向导数和可微打通的是这个命题：如果 $f$ 在 $P$ 可微，则所有方向导数存在，且统一由梯度给出；如果所有方向导数存在且关于方向连续，才能反过来推出可微。日常做题时，看到"求方向导数"而题目没保证可微，就要先确认可微性，不能想当然套 $\nabla f\cdot\boldsymbol u$。

6. 判定可微性的标准动作和计算技巧

6.1 一套可以照做的流程

1. 先做连续性的快筛。如果函数在 $P$ 点不连续，直接判不可微，不用算偏导。找两条路径得出的极限不同，或者沿某条曲线趋近的值不对，就能结束战斗。
2. 求出两个偏导$f_x(P),f_y(P)$。这一步按照"另一个变量当常数"的规则做，注意分母里出现 $\rho$ 时用定义式，别硬套求导公式。
3. 写出余项并验证极限：

$$R=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)-f_x(P)\Delta x-f_y(P)\Delta y$$

真正要检查的是 $\lim\limits_{\rho\to 0}R/\rho=0$。 4.先证伪再证真。想证不可微，就找路径——$y=kx$、$y=x^{2}$、$y=x^{3}$ 是三个最常用的方向，让极限依赖 $k$ 或者不为 0 就成功了。想证可微，就用放缩法把 $|R|$ 压到 $O(\rho^{1+\varepsilon})$。 5.走捷径。函数是初等函数、偏导在定义区域内连续，直接判可微，不必每次都做第 3 步。这是考试里最省时间的一条。

6.2 放缩法常用的几个不等式

举一个放缩成功的例子：$f=\dfrac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$，原点补 0。原地偏导都为 0，余项就是 $f$ 本身，而

$$\frac{|x^{2}y^{2}|}{(x^{2}+y^{2})\rho}\le\frac{\rho^{4}/4}{\rho^{3}}=\frac{\rho}{4}\to 0$$

所以它可微。这个套路和 4.2 反例一的失败形成鲜明对照：分子是二次、分母是一次，余项就是常数级不收敛；分子是四次、分母是三次，就能被 $\rho$ 压住。

6.3 全微分在近似计算和误差分析里的实际用法

全微分最实在的用途是局部线性近似：

$$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\approx f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y$$

拿 $f(x,y)=x^{y}$ 在 $(1,3)$ 附近试一下。$f(1,3)=1$，$f_x=yx^{y-1}=3$，$f_y=x^{y}\ln x=0$，于是

$$1.02^{2.99}\approx 1+3\times 0.02+0\times(-0.01)=1.06$$

真值约 $1.06100$，误差在千分之一量级。这就是全微分在工程估算里的价值——一阶近似够用的时候，一行乘加就能出结果。

误差传播同样依赖它。如果 $x,y$ 的测量误差分别是 $\delta_x,\delta_y$，那么

$$|\Delta z|\lesssim |f_x|,\delta_x+|f_y|,\delta_y$$

关键还是要可微这个前提成立，否则这条线性估计没有理论保证。

7. 我踩过的几个坑，以及一套自用的记忆框架

7.1 术语上的三个坑

第一个坑是"全微分"和"可微"混用。全微分 $dz$ 是一个表达式（准确说是一个线性函数），可微是一个性质。说"求全微分"，意思是求 $f_xdx+f_ydy$；说"判断可微"，意思是检查 $\lim R/\rho=0$。两者相关但不相等。

第二个坑是偏导和全导混用。当 $z=f(x,y)$ 且 $y=y(x)$ 时，对 $x$ 求导有两条路：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=f_x,\qquad \frac{dz}{dx}=f_x+f_y\frac{dy}{dx}$$

前者假设 $y$ 与 $x$ 无关，后者把 $y$ 的依赖算进去了。物理书里 $\partial$ 和 $d$ 的区别全在这儿，写错一个符号答案就完全不同。

第三个坑是一阶微分形式不变性的适用条件。当 $z=f(u,v)$、$u=u(x,y)$、$v=v(x,y)$ 时，无论 $u,v$ 是自变量还是中间变量，都有

$$dz=f_u,du+f_v,dv$$

这个形式不变性用起来很爽，省掉一大堆复合函数求导。但它的前提是 $f$ 在相应点可微。如果只知道偏导存在，这个式子不保证成立。

7.2 我自己的记忆框架

我把它压缩成三句话，遇到题先默念一遍：

• 偏导数是两个方向的两条切线，全微分是一个平面。
• 偏导数的余项是 $o(|\Delta x|)$ 和 $o(|\Delta y|)$，全微分的余项是 $o(\rho)$；$o(\rho)$ 更强。
• 一元时"两个方向"就是"所有方向"，所以可导等价于可微；多元时不是，所以偏导推不出可微。

学习顺序上，我建议先把一元可微的定义式 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ 抄三遍，逼自己想清楚 $A$ 为什么必须与 $\Delta x$ 无关，再进入多元。跳过这一步直接背"偏导连续则全微分存在"，后面见到反例只会困惑。

另一个对我帮助很大的习惯是：每次遇到一个新函数，先问"它在原点偏导是多少"，再问"它沿 $y=x$ 是什么行为"。这两问能覆盖九成的考场反例。像 $xy/\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 这种连续但不可微的构造，其实有个通用模板——分子取二次齐次、分母取一次齐次，在原点附近就天然是 $\rho$ 量级而不衰减，沿 $y=kx$ 一般都会跑出与 $k$ 有关的极限。

最后分享一个小技巧。如果你拿不准某个关系成不成立，别急着翻书，直接在原点构造一个反例试试。偏导存在和可微的分离、方向导数和连续的分离，都能用几行分段函数写出来。亲手写一遍反例，比看十遍定理证明都管用。