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再论初等几何2300年重大错误：将两异射线误为同一线——百年病态集论的症结
黄小宁
《几何原本》表明人类认识射线已有2300多年“从而使数学对射线的认识已成熟到不能再成熟的程度”。“科学”共识：谁若说现代数学对射线的认识有重大错误而将无穷多前所未知的射线误为熟悉的射线，那谁就是将全世界2300多年来研究过射线的亿亿万数学教师都当成s瓜了。2300年直线公理使初等数学有2300年几何“常识”：起点与射出的方向都相同的射线必重合。其实这是2300年不倒的极顽固错误堡垒，没有dcr舍身za碉堡的精神绝对不能摧毁此极顽固错误堡垒。

本文的关键论据：当规定各点只能有位置改变不能有别的改变时，一空间点移动位置，移动前后的点是同一个点。
一空间点移动位置，移动前后的点是同一个点。所以x轴上的点x=1移动变为点x=2只是改变了空间位置，运动前后的点只有位置差别没有别的差别。这里关键是点本身与表示点的空间位置的坐标是两个根本不同的概念。x轴上一个可移动的点用“点p”表示，点p（x）表示p的坐标是x，x可由x=1变为x=2等等。有时“点x”就表示点的坐标是x而不是说点本身就是点的坐标。固定的点：点x=1与点x=2是两个根本不同的点，但点p（x=1）移动变为点p（x=2），移动前后的点p是同一个点p。
同一堆砖头可构建一排平房也可构建一楼房。构建点集的“建筑材料”是点，同一堆点可构建成一直线也可构建成一曲线等等。x轴各元点u（x，y=0）不保距地改变空间位置变为点v（x，y=x），点v的全体是直线y=x。显然直线y=x与x轴是建筑材料点完全相同的点集，原因非常简单：一空间点移动位置，移动前后的点是同一个点。
x轴各元点u（x，y=0）改变空间位置变为点v（x，y=2x），点v的全体是直线y=2x。…。
可见同一个点集：x轴，其各元点u通过改变空间位置可“构造”出无穷多条直线：y=kx（k=1，2，3，4，…）。…。
显然直线y=kx与x轴是建筑材料点完全相同的点集。
一群人可排列组合成s形也可排列组合成一字形。点集a是由一个个点（按某排列的方式方法）排列组合成的点集，现按新的排列的方式方法让a各点重新排列组合成一新的点集b。构造点集的建筑材料点不改变，但构造的方式方法改变了，b就可不=a。点集a各点p（x=h）移动到新位置变为点p（x=i）形成新的点集b，构建点集a的一个材料点p（x=h）移动到新的位置就成为了b的元点p（x=i），可见同一个点p既可是a的元素也可是b的元素；a各元素点•移动到新的位置就成为了b的元素点•，移动前后的点•是同一点•。所以点集的“元素相同”与“材料点相同”是两个根本不同的概念。元素完全相同的点集才能相等。直线y=0平移距离1变为直线y=1，平移前后的直线是同一线，这从一个侧面说明任何点集即图形a平移非0距离变为的图形b与a是同一图形，两者只有位置差别没有别的差别——说明a与b是构造材料点完全相同的点集。点集a平移非0距离变为的点集b不=a，因两者不是元素点完全相同的点集，但a与b是构造材料点完全相同的点集；原因非常简单：同一个材料点p可以是a的元素点p（x=h）也可以是b的元素点p（x=i）。
以上说明：两不重合的点集，其构造材料点可完全相同。
点集a的一个元点与另一元点重合就使a失去了一个材料点。显然保距变换即刚体运动是不能使点集的构造材料点有任何减少的变换。非常显然：点集a要变为其真子集就必须要失去部分材料点，否则不能变为其真子集 ，例x轴不失去一切负数点就不能变为其子部射线x≥0。否定此常识的人缺乏起码的逻辑推理能力。
R可几何化为R轴即x轴，R一切非负数x≥0的全体记为R+，其可几何化为x轴的子部射线R+：射线x≥0。x轴作刚体运动不能变为其子部射线x≥0，原因非常简单：刚体运动不能使x轴的构造材料点有任何减少。因改变空间位置前后的点p是同一个点p所以显然一一对应变换是不能使点集的构造材料点有任何改变的变换。所以已经法律公证的本人的某长文中实际上有下述定理。
h定理1：若点集a与b构造材料点完全相同则a（b）不能是b（a）的任何真子集。
h定理2：若点集a～b则a不能是b的任何真子集。
证：点集的一一对应变换使变换前后的点集的构造材料点完全相同，据h定理1点集a～b不能是b的任何真子集。证毕。
射线R+即射线x≥0失去部分材料点就变为射线R+的子部射线x≥1。
射线x≥0沿其正向平移距离1变为射线s（～射线R+）：射线s=x+1≥1。中学数学有几百年函数“常识”：射线s是射线R+的真子集：射线x≥1。上述表明这是几百年重大错误——百年病态集论的症结，原因非常简单：保距运动不能使点集的构造材料点有任何减少说明≌射线R+的射线s～射线R+不能是射线R+的任何真子集——说明射线x+1≥1是数学前所未知的“更无理”射线。射线R+不能包含射线s说明射线s中必有元点s=x+1=t“更无理”地突破了射线R+的框框而在射线R+外——说明有长度不同的射线，显然t是大于R一切元x的“更无理”标准正数。
人类由发现无理数到发现“更无理”数竟须历时2500多年！由有射线概念到发现有长度不同的射线竟须历时2300多年！发现的异常艰难性由此可见一斑。