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简介：面向MATLAB初学者与数学建模入门者的专题课件，围绕编程与仿真、科学计算中的经典案例展开，帮助读者在掌握基本操作的同时理解微分方程建模思路。压缩包内仅含1个PPT文件，大小约177KB，篇幅精炼，适合课堂演示或自学速览。课件以“地中海鲨鱼问题”为主线，介绍Ancona与Volterra提出的食饵—捕食者模型：先给出无捕获时的动力学方程，再引入捕获能力系数e，构建考虑人工捕捞的修正模型；结合战前与战争期间捕捞强度变化，说明鲨鱼比例上升的原因。读者可据此学习符号说明、基本假设、模型建立与求解流程，并借助MATLAB数值方法绘制种群时间演化曲线、相图及鲨鱼占鱼类总数比例，比较e=0.3与e=0.1的差异。已有1731人学习，适合作为数学建模实例与向量化运算、数值计算、Simulink学习的补充材料。

1. 从一份渔业统计说起：地中海鲨鱼问题为什么值得用 MATLAB 重做一遍

直觉告诉我们，渔船少出海，海里的鱼就该变多。但上世纪初亚得里亚海的渔获统计给出了相反的走向：捕捞压力下降的那几年，鲨鱼等捕食性鱼类在总渔获里的占比不降反升。这个「少捕鱼反而鲨鱼多」的矛盾，就是数学建模教材反复引用的地中海鲨鱼问题，也是微分方程建模最经典的入门案例之一。

它适合当 MATLAB 初学者的第一课，原因是链路极短：三条文字假设就能写出一个两维常微分方程组，用 ode45 几秒钟跑出周期震荡曲线，再用相图看平衡点的位置。不需要数据清洗，不需要先啃机器学习，装好 MATLAB 就能从建模一路做到可视化、参数扫描和灵敏度分析。

下面按数学建模国赛里最常见的推进方式走：先定假设和参数，再用 MATLAB 求解、画图、验守恒量，最后把捕捞项加进方程，看那个反直觉结论能不能被数值实验复现。适合刚完成 matlab 下载安装、想拿一个完整案例把「编程、仿真、科学计算」三件事串起来的人。

2. Lotka-Volterra 方程怎么落到 MATLAB：假设、参数与求解三件套

2.1 三条假设如何变成两维微分方程组

地中海鲨鱼问题的建模起点只有三条假设：食用鱼在缺少鲨鱼时按内禀增长率 r 指数增长；鲨鱼在缺少食用鱼时按死亡率 m 指数衰减；两者相遇的速率与双方数量成正比，于是鲨鱼获得能量、食用鱼损失个体。写成微分方程就是 Lotka-Volterra 捕食模型，用 MATLAB 的行内写法表示：

dx/dt = r*x - a*x*ydy/dt = b*x*y - m*y

乘积项a*x*y是整个模型的关键，它不是拟合出来的经验项，而是「随机相遇」假设的直接产物：个体在海域里近似均匀分布时，单位时间内的相遇次数正比于两个种群规模的乘积。很多初学者第一反应是把非线性项线性化，改成a*(x+y)之类的形式，结果周期震荡立刻消失，周期解不复存在——这是建模环节最容易犯、也最容易被忽略的错误。

参数 b 负责把吃掉的食用鱼转化成鲨鱼的新生个体，因此 b 通常显著小于 a。从量纲上看，a 的单位是「1/(数量·时间)」，b 的单位是「1/数量」，两者不是一类东西，不能凭数值大小直接比较谁更「重要」。

2.2 四个参数的物理含义、取值与平衡点

令两式同时为零，得到唯一的非零平衡点：x* = m/b = 20，y* = r/a = 10。这个平衡点是后面所有讨论的锚，捕捞项一加进来，先算的就是它怎么移动。

2.3 MATLAB 编程与仿真的三件套：函数句柄、ode45、结果矩阵

MATLAB 里解初值问题的标准范式是三件套：把方程组写成一个接收(t, y)并返回列向量的函数；用函数句柄把参数打包进去；交给 ode45，拿回时间列向量 t 和状态矩阵 Y。先写方程本体：

function dydt = sharkLotka(t, y, p) % 地中海鲨鱼问题的 Lotka-Volterra 方程组 % 输入：t 当前时刻；y = [x; z] 种群列向量；p 参数结构体 % 输出：dydt = [dx/dt; dz/dt] 列向量 x = y(1); % 食用鱼（被捕食者） z = y(2); % 鲨鱼（捕食者） dydt = [ p.r*x - p.a*x*z; % 自然增长 减去 被捕食损失 p.b*x*z - p.m*z ]; % 捕食转化增长 减去 自然死亡 end

返回值必须是列向量，写成行向量时 ode45 要么报维度错误，要么在后续Y(:,1)取值时给出意料之外的结果。t 即使方程里用不到，也必须保留在签名中，这是所有 MATLAB ODE 求解器的统一约定。参数用结构体 p 传递，比 global 变量安全，也方便后面做参数扫描时反复修改。

提示：matlab 安装步骤里如果只勾选了核心组件，Optimization Toolbox 之类不会自动装上。后面做参数反演和灵敏度分析会用到，装的时候一起选上，省得回头补装。

顺带说一句，Python 生态里做同样的事是 scipy 的 solve_ivp，numpy 科学计算那一套在向量化上很强，但 MATLAB 的 odeset 参数控制和画图一体化确实省事，尤其是需要反复调 RelTol 对比数值误差的时候。现在用 AI 编程助手生成 ode45 的骨架很快，但参数取多少、守恒量漂没漂，仍然得自己判断。

3. 用 ode45 跑通鲨鱼-食用鱼仿真：从最小脚本到相图

3.1 最小可运行脚本与时间区间的选择

先把参数、初值和求解选项一次写全。积分区间取 60，是因为理论线性化周期T ≈ 2π/sqrt(r*m) ≈ 9.93，60 大致覆盖六个完整周期，足够看清震荡是否稳定。

% shark_lv_main.m —— 最小可运行脚本 clear; clc; p = struct('r',1.0, 'a',0.1, 'b',0.02, 'm',0.4); % 参数结构体 x_star = p.m/p.b; % 平衡点 x* = 20 y_star = p.r/p.a; % 平衡点 y* = 10 y0 = [40; 9]; % 初值：食用鱼 40，鲨鱼 9 opts = odeset('RelTol',1e-8, 'AbsTol',1e-10, 'MaxStep',0.5); [t, Y] = ode45(@(t,y) sharkLotka(t,y,p), [0 60], y0, opts); fprintf('平衡点 x*=%.1f y*=%.1f，返回 %d 个时间点\n', x_star, y_star, numel(t));

匿名函数@(t,y) sharkLotka(t,y,p)把三参数接口适配成 ode45 要求的(t,y)接口，这是 MATLAB 里传参最常用的写法。[0 60]只给两个端点，中间步长完全由自适应算法决定，输出的 t 是不等间隔的——这一点在下面做积分平均时非常关键。

3.2 RelTol、AbsTol、MaxStep 三个参数怎么调

RelTol 和 AbsTol 要同时收紧。只调 RelTol 时，一旦某个种群数量掉到接近 0，绝对误差就成了主导，解会出现肉眼可见的抖动，很多人误以为是「仿真发散」，其实是容差配置不当。

3.3 时间序列、相图与守恒量漂移一起画

Lotka-Volterra 系统存在第一积分V = b*x - m*ln(x) + a*y - r*ln(y)，它是常数，正好可以当数值误差的尺子用。

x = Y(:,1); z = Y(:,2); V = p.b*x - p.m*log(x) + p.a*z - p.r*log(z); % 第一积分（守恒量） fprintf('守恒量最大漂移 = %.3e\n', max(abs(V - V(1)))); figure('Position',[100 100 960 320]) subplot(1,3,1) plot(t, x, t, z, 'LineWidth', 1.2); grid on xlabel('t'); ylabel('种群规模'); legend('食用鱼 x','鲨鱼 z'); title('时间序列') subplot(1,3,2) plot(x, z, 'LineWidth', 1.2); hold on plot(x_star, y_star, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r') % 平衡点 plot(x(1), z(1), 'ks', 'MarkerFaceColor', 'k') % 初值 grid on; xlabel('食用鱼 x'); ylabel('鲨鱼 z'); title('相图') subplot(1,3,3) plot(t, V - V(1), 'LineWidth', 1.2); grid on xlabel('t'); ylabel('\DeltaV'); title('守恒量漂移')

相图里那条闭合曲线就是周期轨，红色圆点是平衡点，黑色方块是初值。闭合曲线环绕平衡点而不穿过它，说明这个平衡点是中心型，不是稳定结点——种群数量不会收敛到 20 和 10，而是永远绕着它转。守恒量漂移那一栏如果量级在 1e-6 以下，说明容差设置合理；如果冲到 1e-2，先别急着换求解器，把 RelTol 收紧两个数量级再看。

注意：x 或 z 一旦接近 0，log(x)会往负无穷跑，方程本身也变得病态。初值不要设成 0 或极小正数，否则 ode45 会报积分容差无法满足。

4. 把捕捞项加进方程：鲨鱼占比为什么在禁渔后上升

4.1 捕捞项的形式与平衡点的移动

渔船不分鱼种，对食用鱼和鲨鱼都按比例捕捞，于是两式各减一项e*x和e*z，其中 e 是捕捞强度。修改后的方程组：

dx/dt = r*x - a*x*y - e*xdy/dt = b*x*y - m*y - e*z

重新令导数为零，平衡点移动为x* = (m+e)/b，y* = (r-e)/a。这一组式子把结论写得非常直白：e 减小时，鲨鱼平衡点上升，食用鱼平衡点下降。也就是说，禁渔之后鲨鱼反而更占优势——历史数据里的反直觉现象，在方程层面只是一个除法。

function dydt = sharkFishery(t, y, p) % 带捕捞项的捕食-被捕食模型 % p.e 为捕捞强度，对两个种群按比例作用 x = y(1); z = y(2); dydt = [ p.r*x - p.a*x*z - p.e*x; % 食用鱼：自然增长 - 被捕食 - 被捕捞 p.b*x*z - p.m*z - p.e*z ]; % 鲨鱼：捕食增长 - 死亡 - 被捕捞 end

4.2 用时间平均复现「禁渔后鲨鱼占比上升」

周期震荡系统的瞬时值取决于初相，拿最后一个时间点的数据下结论是错的，必须用时间平均。ode45 输出的 t 不等间隔，所以积分要用trapz而不是sum除以点数。

opts = odeset('RelTol',1e-8, 'AbsTol',1e-10, 'MaxStep',0.5); for e = [0.2 0.1 0] p.e = e; [t, Y] = ode45(@(t,y) sharkFishery(t,y,p), [0 200], [40; 9], opts); x = Y(:,1); z = Y(:,2); ratio = z ./ (x + z); % 鲨鱼瞬时占比 ratio_bar = trapz(t, ratio) / (t(end) - t(1)); % 时间平均占比 fprintf('e=%.1f x*=%.1f y*=%.1f 平均鲨鱼占比=%.3f\n', ... e, (p.m+e)/p.b, (p.r-e)/p.a, ratio_bar); end

跑出来的趋势是：e=0.2时占比约 0.21，e=0时升到约 0.33。捕捞强度下降，鲨鱼占比上升，方程预测与历史渔获统计的方向一致。做数学建模优秀论文里那类「模型检验」章节时，这样一组对照数字比任何定性描述都有说服力。

4.3 仿真发散与常见现象的排查对照

把这张表当成排查清单，遇到异常先对照现象定位，比盲目换求解器有效得多。

5. 参数扫描与灵敏度分析：把鲨鱼问题做成可复用的建模模板

单次仿真跑通之后，真正的价值在于批量实验。最常见的问题是「周期到底由什么决定」，线性化分析给出T ≈ 2π/sqrt(r*m)，但这个结论只在小扰动下成立，扰动一大就会偏离。用一段循环扫 r，同时用峰值间隔测数值周期，就能看到偏离有多大。

% 扫描 r，用相邻峰值的平均间隔测数值周期 r_grid = 0.6:0.1:1.6; T_num = nan(size(r_grid)); T_theo = 2*pi ./ sqrt(r_grid * p.m); % 线性化理论周期 p0 = p; % 备份原始参数 for k = 1:numel(r_grid) p0.r = r_grid(k); [tt, YY] = ode45(@(t,y) sharkLotka(t,y,p0), [0 200], [40; 9], opts); x = YY(:,1); idx = find(diff(sign(diff(x))) < 0) + 1; % 局部极大值位置 if numel(idx) >= 4 T_num(k) = mean(diff(tt(idx))); % 多段峰值间隔取平均 end end p = p0; % 恢复 T_num, T_theo

diff(sign(diff(x))) < 0是找局部极大值的常用技巧：二阶差分符号为负的位置就是峰。取多段间隔的平均而不是只取首尾两点，能有效抑制初值瞬态带来的偏差。运行后会发现，r在 0.6 附近时数值周期明显大于理论值，越靠近 1.6 差距越小——这就是线性化的适用边界。

把参数扫描再往前推一步，就是参数反演：手里有渔获统计的时间序列时，把r、a、b、m当作待估参数，用lsqcurvefit或 Optimization Toolbox 里的fminsearch最小化模型输出与观测值的残差平方和。目标函数里每次迭代都要调用一次 ode45，所以初值给得越接近真实值越好，先用上一节的趋势图估个量级，再交给优化器细调。如果观测数据噪声大、周期性不明显，也可以换成用神经网络做曲线拟合的路子，先拟合出平滑趋势再反推参数，但代价是丢掉了方程本身的可解释性。

最后留一个工程化的习惯：把sharkLotka单独存成一个.m文件，参数全部走结构体，主脚本只负责初始化和画图。这样从捕食模型换到 SIR 传染病模型、再换到种群竞争模型时，改的只是方程本体，求解、绘图、守恒量检验、参数扫描那几百行代码一行都不用动。

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