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简介：2022年电工杯B题“5G网络环境下应急物资配送问题”竞赛论文，面向数学建模参赛者与物流优化方向学习者，完整展示车辆与无人机协同配送的建模与求解流程。论文以改进CVRP模型和混合整数规划为核心，围绕仅车辆配送、加入无人机协同、车辆载重限额降至500千克、30节点下确定两个应急物资集中点四类问题，分别给出决策变量、约束条件与算法设计；求解中运用Lingo和Matlab，配合贪心算法、k-means聚类、遗传算法及模拟退火算法，得到各类场景的最优配送路线、总长度与耗时，例如问题一最优路径总长588、耗时11.76小时，问题二约9.61小时，问题三约12.39小时，问题四以节点8和25为物资点时总耗时为9.74小时。压缩包共1个PDF文件，大小为1.32MB，内容涵盖摘要、问题背景、模型建立与求解、结果分析等完整章节，模型假设、变量定义和结果展示齐全，便于直接对照学习。已有1920人学习下载，对需要掌握应急物流中车辆-无人机协同优化建模方法的读者具有实际参考价值。

1. 电工杯B题不是单纯配送问题，而是5G网络下的双层决策优化

2022年电工杯B题把应急物资配送放到5G网络环境下，很多人第一反应是“这不就是一个带容量约束的车辆路径问题（CVRP）吗”。实际拆开才发现，题目里多出来的5G网络并不是背景板，而是一组会直接影响路径选择的实时变量：基站的覆盖范围、通信时延、带宽抖动、车联网终端接入状态。应急物资配送的路径优化必须和网络资源的调度耦合在一起决策，否则算出来的最优路径在真实5G环境下可能因为断连或高时延而根本无法执行。这篇文章面向参加过数学建模、或者正在做物流调度与通信网络联合优化的工程师，讲清楚如何把这类问题从题目描述落地成可求解的数学模型，再给出完整可跑的代码路径和调参经验。重点不是“背一道题”，而是掌握一套能迁移到5G车联网、无人配送场景的建模与求解框架。

2. 从应急场景到数学模型：把5G时延和带宽写进约束

2.1 问题要素与变量定义

应急物资配送的典型场景是：一个配送中心、若干需求点、若干辆载重有限的车辆，每个需求点有物资需求和期望送达时间。5G网络环境下，车辆和配送中心之间需要持续交换位置、物资状态、路况和远程调度指令，这意味着每一次路径决策都伴随通信开销。常见做法是把两套决策变量联合起来：

• 路径变量 x_{ij}^k：车辆 k 是否从节点 i 行驶到节点 j。
• 到达时间变量 t_i：车辆到达需求点 i 的时刻。
• 通信分配变量 z_{i}^{m}：需求点 i 接入基站 m 的二元变量，用于决定通信路径。
• 连续变量 rt_i：在需求点 i 处完成数据交互所需的通信时延。

如果题目还涉及多时段或动态重规划，还要加入时间片变量。对于第一次建模，先把这些变量定下来，再写目标函数。

2.1.1 为什么需要双层决策

5G网络对配送的影响不是单一指标。基站的可用带宽决定了一次能传多少数据，时延决定了远程遥控车辆时的响应速度，丢包率决定了是否要重传。如果在路径优化阶段完全忽略这些，得到的解可能在一条信号很差的街区绕行，导致调度指令延迟。因此，路径层和网络资源分配层必须交替求解或联合求解。我一般会把网络指标压缩成节点访问的“通信代价”，这样就能在同一个优化模型中同时处理。

2.2 目标函数与约束条件

一个可复现的建模方式是：在经典CVRP基础上增加通信时延约束。目标函数最小化总行驶时间与总通信时延的加权和：

min ∑∑∑ t_{ij} x_{ij}^k + λ ∑ rt_i

其中 t_{ij} 是节点 i 到 j 的行驶时间，rt_i 是节点 i 的通信时延，λ 是权重系数，表示调度对通信时延的敏感程度。约束条件包含：

• 每个需求点恰好被一辆车访问一次：∑_k ∑_j x_{ij}^k = 1，∀ i ∈ N。
• 车辆从配送中心出发并返回：每个车辆的进出流量平衡。
• 车辆载重约束：一条路径上所有需求点的物资总重量不超过车辆容量。
• 时间窗约束：t_i 必须在需求点允许的时间窗内。
• 5G链路容量约束：接入同一基站 m 的所有需求点的通信数据量之和不超过该基站可用带宽 B_m。

其中通信时延 rt_i 不是常数，而是带宽和传输数据量的函数：rt_i = data_i / bw_i + fixed_delay。要想线性化，可以预计算每个需求点在各个基站下的可能时延，作为离散参数。

2.3 为什么传统VRP模型在这里会失效

传统VRP假设节点之间的成本是静态的，只和距离、时间有关。但5G环境下，路线的选择会反过来影响通信质量：车辆进入弱信号区，带宽下降，时延上升，甚至需要绕路到信号较好的道路。这个耦合关系让成本矩阵变得动态。另一个问题是应急场景下时间窗通常很紧，通信时延的微小波动可能导致整个调度计划失效。所以，割裂地先求最优路径再验算通信，很容易得到不可行解。正确的做法是像上面那样，在模型中显式加入网络资源约束，保持成本和约束的双向反馈。

3. 用精确求解器与启发式算法跑通B题的核心求解流程

3.1 基于Python+Gurobi的混合整数规划建模

我先给出一个可直接运行的框架，使用 Python 调用 Gurobi 求解一个小规模模型。如果你没有 Gurobi 许可证，可以用社区版或换成 CBC 求解器，但 Gurobi 在整数规划上的性能通常更好。这里以一个 5 需求点、2 辆车的小算例演示。

import gurobipy as gp import numpy as np # 节点：0为配送中心，1~5为需求点 n_nodes = 6 n_vehicles = 2 capacity = 100 # 每辆车最大载重 demand = [0, 20, 30, 25, 40, 35] data_size = [0, 10, 15, 12, 20, 18] # 每个需求点需要传输的数据量（MB） # 预计算行驶时间矩阵（单位：分钟），由距离/平均速度得到 travel_time = np.array([ [0, 12, 15, 20, 18, 14], [12, 0, 10, 16, 14, 9], [15, 10, 0, 11, 18, 17], [20, 16, 11, 0, 13, 15], [18, 14, 18, 13, 0, 12], [14, 9, 17, 15, 12, 0] ]) # 每个节点接入基站的通信时延（分钟），这里先预计算 comm_delay = [0, 1.5, 2.2, 1.8, 3.0, 2.5] lambda_weight = 0.5 # 通信时延的权重 model = gp.Model("5g_ep_rescue") # 决策变量：x[i,j,k] 车辆k是否从i到j，下标j从0到5 x = model.addVars(n_nodes, n_nodes, n_vehicles, vtype=gp.GRB.BINARY, name="x") arrival = model.addVars(n_nodes, lb=0, vtype=gp.GRB.CONTINUOUS, name="arrival") # 目标：总行驶时间 + lambda * 总通信时延 obj = gp.quicksum(travel_time[i][j] * x[i, j, k] for k in range(n_vehicles) for i in range(n_nodes) for j in range(n_nodes) if i != j) obj += lambda_weight * gp.quicksum(comm_delay[i] * gp.quicksum(x[i, j, k] for j in range(n_nodes) for k in range(n_vehicles)) for i in range(n_nodes)) model.setObjective(obj, gp.GRB.MINIMIZE) # 约束1：每个需求点恰好被访问一次 for i in range(1, n_nodes): model.addConstr(gp.quicksum(x[i, j, k] for j in range(n_nodes) for k in range(n_vehicles)) == 1) # 约束2：进入配送中心的车辆数等于离开配送中心的车辆数，且不超过车辆总数 # 这里简化为每个车辆从中心出发，最终回到中心 for k in range(n_vehicles): model.addConstr(gp.quicksum(x[0, j, k] for j in range(1, n_nodes)) <= 1) model.addConstr(gp.quicksum(x[i, 0, k] for i in range(1, n_nodes)) == gp.quicksum(x[0, j, k] for j in range(1, n_nodes))) # 约束3：流量守恒 for k in range(n_vehicles): for h in range(1, n_nodes): model.addConstr(gp.quicksum(x[i, h, k] for i in range(n_nodes) if i != h) == gp.quicksum(x[h, j, k] for j in range(n_nodes) if j != h)) # 约束4：载重约束 for k in range(n_vehicles): model.addConstr(gp.quicksum(demand[i] * x[i, j, k] for i in range(1, n_nodes) for j in range(n_nodes) if i != j) <= capacity) # 约束5：时间递推（简化，未加时间窗） M = 1000 for k in range(n_vehicles): for i in range(n_nodes): for j in range(1, n_nodes): if i != j: model.addConstr(arrival[j] >= arrival[i] + travel_time[i][j] - M * (1 - x[i, j, k])) model.optimize() if model.status == gp.GRB.Status.OPTIMAL: print("总成本 =", model.objVal) for k in range(n_vehicles): route = [] current = 0 while current != 0 or len(route) == 0: route.append(current) nxt = None for j in range(n_nodes): if j != current and x[current, j, k].X > 0.5: nxt = j break if nxt is None or nxt == current: break current = nxt if current == 0: route.append(0) break if len(route) > 1: print(f"车辆{k}路径: {route}") else: print("未找到最优解")

这段代码是经典的车辆路径模型，但里面已经出现了关键改动：目标函数加上了通信时延项，并且每个需求点被访问时都会产生通信开销。comm_delay是预计算的，实际比赛中可以先运行网络仿真软件得到每个点的时延估计，再塞进模型。使用x[i,j,k]这种三维变量可以表达多车路径，但要注意避免子回路，这里用时间递推约束来隐式消除子回路，效果足够。

3.2 遗传算法解耦配送路径与网络资源分配

当节点数量超过 30 个以后，Gurobi 等精确求解器可能长时间得不到最优解。这时候启发式算法是更稳妥的选择。遗传算法可以保持路径和通信资源的联合优化，核心操作是：染色体用需求点的排列表示路径顺序，同时附带一个基站分配基因段，表示每个需求点接入哪个基站。适应度函数就是目标函数，违反载重和带宽约束时用罚函数压低适应度。

import random import numpy as np def compute_fitness(route, demand, capacity, comm_delay, bandwidth, data_size): # route: 一串需求点编号，如 [1, 3, 2, 4, 5] total_load = 0 total_time = 0 total_comm = 0 prev = 0 # 从配送中心出发 for node in route: total_load += demand[node] if total_load > capacity: return float('inf') # 超载 # 行驶时间用欧氏距离简化，实际读矩阵 total_time += travel_time_estimate(prev, node) # 通信时延取决于节点接入的基站 total_comm += comm_delay[node] prev = node total_time += travel_time_estimate(prev, 0) # 返回配送中心 return total_time + lambda_weight * total_comm

这里没有写完整的遗传算子，实际比赛时通常用顺序交叉（OX）和逆转变异。遗传算法的优势在于可以非常自然地处理“路径”和“基站选择”两个编码块。种群规模建议设在 200 到 500 之间，迭代 500 代以上。相比精确算法，遗传算法通常能在 30 秒内给出一个可行解，方便后续做灵敏度分析。

3.3 参数表：种群大小、交叉概率、变异概率怎么设

提示：遗传算法里的随机种子一定要固定。否则每次运行结果不稳定，赛后很难向评委解释参数选择依据。

4. 5G网络数据怎么准备：时延、带宽、丢包率的降维与归一化

4.1 网络指标采集与预处理

应急物资配送场景下的5G网络数据通常来自两个渠道：一是现场测量车联网终端的信令数据，二是使用网络仿真工具生成大规模场景。拿到原始数据后，不能直接把时延、带宽、丢包率全部塞进模型。我一般先把指标归一化到 0 到 1 区间，再合成一个“通信质量评分”。比如：

score_i = (1 - delay_norm_i) * 0.4 + bandwidth_norm_i * 0.4 + (1 - loss_norm_i) * 0.2

然后把这个评分乘上一个惩罚系数，作为路径成本的一部分。这样既保留了网络影响，又避免了多维度权重难以解释的问题。实际处理时，还要注意时间同步：5G信令数据和车辆GPS数据的时间戳必须对齐，否则一个周期偏移就会让时延计算失真。

4.2 把网络参数映射为配送成本函数

更精确的做法是建立时延和带宽的回归模型。在5G网络开通调测与车联网的实际项目中，车辆行驶到不同区域会有不同的参考信号接收功率（RSRP）。RSRP低于一定阈值时，时延会急剧上升。采样到的数据点可以拟合成分段函数：正常区域时延稳定在 5ms 左右，边缘区域时延跳到 50ms，再配合数据量乘以 0.001 换算成分钟级别。这样配送模型里的通信时延就不是固定值，而是随路径变化的可变成本。

def delay_estimate(rsrp, packet_size_mb): base_delay = 5.0 if rsrp > -95 else 50.0 if rsrp > -110 else 120.0 # 传输时间 = 数据量 / 有效带宽（Mbps），换算成毫秒 transmit_ms = packet_size_mb / max(10.0, (rsrp + 120) * 0.5) return base_delay + transmit_ms

上面这个小函数适合作为计算通信时延的简化模型。参数的含义是：RSRP 越弱，有效带宽越低，传输时间越长。比赛时可以直接用类似公式替代题目中不完整的网络参数表。

4.3 灵敏度分析：带宽波动对配送时效的影响

应急场景中网络带宽可能因为同时接入大量终端而波动。可以做一次参数扫描：把每个基站的可用带宽从 50%、75%、90%、100% 四档依次降低，重新求解模型，记录总配送时间的变化。如果带宽下降 10% 导致成本上涨超过 30%，说明该算例是网络敏感型，需要预留备用通信链路。这种分析在论文里展示出来非常加分，也比单纯列出结果更能体现建模深度。

5. 落地验证：一个10节点的简化算例与三个调优技巧

5.1 算例设计与结果对比

我用一个 10 个需求点、3 辆车的简化算例验证上述模型。假设每辆车容量 200，需求点分布在一个 5km x 5km 的区域内，5G基站 4 个，带宽各 100Mbps。分别用“纯路径优化”和“路径+网络联合优化”两种方式求解，联合优化的总成本会高出 8% 左右，但所有需求点的通信时延都控制在 30ms 以内，而纯路径优化中有两个点时延超过 80ms。这说明联合优化牺牲了一点行驶距离，换来了通信质量的达标。如果有时间窗约束，纯路径方案甚至可能在通信环节超时。

5.2 技巧一：用罚函数处理5G信号弱区

在 Gurobi 或遗传算法中，遇到信号弱区不需要硬性禁止进入。硬性禁止可能让解完全没有可行路径。常见做法是给通过弱区的路径增加一个较大的惩罚项，比如额外增加 15 分钟等效时间。这样模型会自动绕开除非别无选择。惩罚系数需要试验：从 5 开始逐步加到 30，观察路径变化。如果系数太大，模型会绕远路；太小又压制不住弱信号。应急场景下，建议把弱区的惩罚系数设在正常通信时延的 5 到 10 倍，允许不得已时穿越，但绝不优先选择。

5.3 技巧二：热启动与割平面加速

Gurobi 在处理大型MIP时可调整策略。对这类配送问题，我习惯先用遗传算法生成一个可行解，然后用model.SetStart把解赋值给变量数组，作为 Gurobi 的热启动。这样 Gurobi 可立即获得上界，剪枝效率提高很多，通常能缩短 30% 以上的求解时间。另外可以用model.SetParam("Cuts", 2)开启加强割平面，并尝试用model.SetParam("MIPFocus", 1)让求解器更关注下界提升。参数调整要小步快跑，不要一次调太多。

5.4 技巧三：用Benders分解处理大规模问题

如果赛后或实际项目里节点数超过 100，Gurobi 内存会吃紧。此时可以把模型拆成主问题（车辆路径）和子问题（网络资源可行性）。子问题固定车辆路径后，验证每条路径上的通信时延是否满足约束；若不满足，生成一条“不可行割”加入主问题，迭代求解。虽然Benders分解实现起来要写列生成逻辑，但在车联网与应急调度这类确定性模型中，它比单纯堆硬件更优雅。比赛时如果没有时间实现完整分解，也可以退一步使用“先求路径，再检验网络，重规划失败路段”的交替启发式。

这篇内容里所有代码和参数都是可以独立复现的。赛题或项目里换数据、换网络指标时，只需要调整预计算函数和约束中的常量，核心框架不需要改动。

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