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做工艺优化和配方试验的朋友，应该都体会过这种尴尬：正交表附录翻了个遍，L9(3^4)清一色三水平，L8(2^7)清一色二水平，L16(4^5)四水平够用，但试验次数一下子跳到16次，现场根本排不出来。等把因素和水平清单摆到桌面上——温度四个档、压力两个档、催化剂两种、转速只有快慢两档——你才意识到，真正需要的是L8(4×2^4)这种“混着来”的多因素不同水平正交表。而这张表不是天上掉下来的，它就是用并列法从L8(2^7)改出来的。

我在做热压成型工艺优化时第一次用并列法，当时手头只有一本附了常用标准正交表的参考书，混合表刚好没有匹配的。硬着头皮把标准二水平表改造了一下，试验方案顺利落地，结果分析也没出问题。这篇文章就把我当时查资料、推原理、手工合并、再上机验证的全过程整理出来。适合正在做DOE但找不到合适混合表的人，也适合想搞明白“标准表从哪来”的初学者。我会把并列法的原理、步骤、代码验证、常见坑一次讲透。

1. 先搞懂正交表为什么“不够用”

1.1 标准正交表的局限：等水平是常态，混合水平是刚需

标准正交表分成两大类。一类是同水平的，比如L4(2^3)、L8(2^7)、L16(2^15)、L9(3^4)、L27(3^13)、L16(4^5)、L25(5^6)。这类表的特点是每个因素的水平数都相同，结构规整，交互作用关系也配套齐全，教科学里用得最多。另一类是混合水平的，比如L8(4×2^4)、L16(4×2^12)、L16(4^2×2^9)、L18(2×3^7)、L36(2^11×3^12)。这类表允许不同因素取不同水平数，更贴近实际。

但问题在于，标准混合表的覆盖范围太有限了。你自己列一张因素水平清单，稍微复杂一点就找不到现成表。举个我实际遇到的情况：一个工艺优化项目里，温度需要4个水平，压力只能取2个水平，保温时间两种方案，脱模剂也是两种型号。这种4+2+2+2的组合，L8(4×2^4)刚好能用，不好还能换成别的。但如果你的因素是两个4水平再加三个2水平呢？可以勉强用L16(4^2×2^9)。那三个4水平加两个3水平再加一个2水平呢？标准表基本就没有了。

这时候只有两条路：要么放弃正交设计改做其他试验设计，要么学会“改造”标准正交表。并列法就是后一条路里最成熟的技术。它的思路很简单：既然标准表里都是等水平的列，那我就在保持正交性的前提下，把若干列合并成一列，让这一列的水平数变多。这样，一张同水平的标准表就能演化出各种混合水平表。

1.2 正交性到底是什么：从“均衡分散”说起

要理解并列法为什么成立，先得把正交性这个底层逻辑说清楚。以L8(2^7)为例，8次试验，7个二水平因素。拿其中任意两列出来看，比如列1和列2，它们组成的四种水平组合(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)，在8次试验里恰好各出现2次。这就是正交性的直观含义：任意两列之间，水平组合完全均衡。

这种“均衡分散”带来的好处就是主效应互不干扰。当我计算列1的水平1对应的试验结果平均值时，列2水平1和水平2出现的次数是相等的，所以列2的效应在平均值里被抵消掉了。换句话说，每一列的主效应都可以独立估计，不用担心中间混入其他列的影响。同时，正交表还满足“整齐可比”，任何一个水平下的数据量都是均匀的，算极差、算方差都有意义。

并列法动的脑筋就在这里：如果我能把两列、三列甚至更多列合并成一列新的“超列”，并且保留这种均衡性，那这个新列就可以分配给一个水平数更多的因素。关键是怎么合并才不会破坏正交性。这就是下面要说的自由度守恒问题。

1.3 自由度守恒：并列法成立的核心依据

试验设计里有个最重要的“总账”概念——自由度。一个二水平列能提供1个自由度，三水平列提供2个自由度，四水平列提供3个自由度。也就是水平数减1。对整张表来说，8次试验的总自由度是7，L8(2^7)恰好有7列，每列1个自由度，刚好分配完。

现在的问题来了：把两个二水平列合并成一个四水平列，原来这两列一共提供2个自由度，而合并后的四水平列需要3个自由度。还差1个自由度从哪里来？答案就是这两个列的交互作用列。在L8(2^7)中，列1和列2的交互作用占第3列，这一列也是1个自由度。把列1、列2、列3三列一起合并，自由度是1+1+1=3，正好等于一个四水平列的3个自由度。

这就是并列法最核心的依据：自由度守恒。合并前后，表格的总自由度数不能变，只能把若干列的“自由度”打包重组。推广一下就是，从q水平的标准表出发，要构造一个q^m水平的列，需要占用的原列数为(q^m-1)/(q-1)。二水平表构造四水平列需要(4-1)/(2-1)=3列，构造八水平列需要7列；三水平表构造九水平列需要(9-1)/(3-1)=4列。这个公式做选表和规划时非常有用，先把账算平，后面才不会出错。

2. 并列法的核心原理：从2水平到4水平的“列合并”

2.1 两列组合生成一列：映射规则与示例

并列法改造列的具体操作，其实就是一个“映射”过程。拿L8(2^7)举例，选第1列和第2列作为合并对象。这两列都是二水平的，组合起来有四种可能：(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)。把这四种组合按顺序映射成一个四水平列的四个取值：

映射规则不是唯一的，你完全可以把(1,2)对应成3、(2,1)对应成2，只要是一一映射就行。因为新列的水平值本质上只是标签，后续分析只看相对关系。但一般还是按字典序映射，方便核对。

逐行把L8(2^7)的第1列和第2列套进映射表，得到的新列前8个值依次是：1、1、2、2、3、3、4、4。每个四水平值正好出现2次。如果第1列和第2列本身是均衡的，那这个结果必然成立，不需要额外检查。

2.2 为什么必须连带“交互作用列”一起并掉

这是并列法最大的坎，很多人第一次做就栽在这里。如果把第1列、第2列直接并成四水平列，而放着第3列不管，得到的表还能用吗？答案是绝对不能用。

原因要从交互作用说起。在正交表里，如果两个因素之间真的存在交互效应，而你没给它预留列，它就会跑到别的列上去，造成混杂。标准L8(2^7)的交互作用关系里，列1×列2=列3。也就是说，列1和列2的乘积效应完整地反映在第3列里。当你把列1和列2合并成四水平列后，这个四水平列其实已经包含了列3的信息：四水平列的1个自由度差分成了原来的1+1+1，其中就包括交互作用的那个自由度。

如果此时第3列还独立存在，那它就变成四水平列的一个“影子”，两者高度相关。分析时你会发现第3列跟新四水平列的数据存在完全重复的结构，正交性被破坏，所有主效应估计都会乱套。所以，合并时必须把两列以及它们的交互作用列一起并掉，这就是“并列”这个词的真正含义——不是两列并列，而是把一整个交互链并列打包。

同样道理，如果要从二水平表构造八水平列，需要并7列，这7列就是三个主效应列加它们的全部一阶、二阶交互列。列多了以后很难靠记忆找全，必须查交互作用表。

2.3 自由度对照表：并前并后一个不多一个不少

为了确认上面说的没问题，我习惯在动手前先列一张自由度对照表。对L8(2^7)改造为L8(4×2^4)，账目是这样的：

总自由度没变，还是7，试验次数也还是8次，但列的数量从7列变成了1+4=5列。这就是并列法能合理存在的数学基础。以后不管面对多复杂的改造方案，先画一张这样的表，自由度对上了再往下做。

3. 手把手实操：L8(2^7)并出L8(4×2^4)

3.1 列合并的具体步骤

我直接把当时的操作步骤写出来。第一步，准备L8(2^7)标准表：

第二步，确认列1和列2的交互列是第3列。这本教材上都写了，L8的交互关系里1×2=3。

第三步，按前面那张映射表逐行生成新的四水平列。我把新列放在表的最左边，删掉原来的列1、列2、列3，保留列4到列7。得到下面这张改造后的表：

这时候你会发现，新A列每个水平出现2次，跟任何一个二水平列搭配时，4×2=8种组合恰好各出现一次。比如A列和B列的组合：(1,1)在第1种，A=1、B=2在第2行，(2,1)在第3行，(2,2)在第4行，后面依此类推。这就是正交性没有破坏的铁证。

3.2 用Python验证并列后的正交性

手工验证一两次还行，列一多或者要并多组列，我建议直接上脚本。下面这段代码我一直在用，思路是把每个四水平列跟其他所有列做组合频次统计，任意两列的组合频次如果全部相等，就说明正交性成立。

import numpy as np from collections import Counter L8 = np.array([ [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 2, 2, 2, 2], [1, 2, 2, 1, 1, 2, 2], [1, 2, 2, 2, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 1, 2, 1, 2], [2, 1, 2, 2, 1, 2, 1], [2, 2, 1, 1, 2, 2, 1], [2, 2, 1, 2, 1, 1, 2], ]) def merge_two_cols_to_four(table, c1, c2): """把两个二水平列按(1,1)->1,(1,2)->2,(2,1)->3,(2,2)->4合并成四水平列""" mapping = {(1, 1): 1, (1, 2): 2, (2, 1): 3, (2, 2): 4} new_col = [mapping[(row[c1], row[c2])] for row in table] return np.array(new_col) def check_balance(table, col_a, col_b): """检查两列之间的水平组合是否均衡出现""" counts = Counter((row[col_a], row[col_b]) for row in table) unique_counts = set(counts.values()) return len(unique_counts) == 1, dict(counts) # 合并列1和列2，生成新四水平列；原列3为交互列，一并弃用 A = merge_two_cols_to_four(L8, 0, 1) mixed_table = np.column_stack([A, L8[:, 3], L8[:, 4], L8[:, 5], L8[:, 6]]) print("并列后的混合水平表：") print(mixed_table) print("\n正交性验证（新四水平列与其余每列的组合频次）：") for j in range(1, mixed_table.shape[1]): ok, cnt = check_balance(mixed_table, 0, j) print(f"与第{j}列的组合计数: {cnt}, 均衡: {ok}")

运行结果里，每个四水平列与各二水平列的组合都是8种，每种恰好1次，check_balance返回True。这就用程序坐实了并列法改造结果的正交性。

3.3 表头设计：因素怎么放到各列上

表改造完成，接下来就是实战了。当时我做的热压成型工艺优化，有四个因素：热压温度A取4个水平（150、160、170、180℃），热压压力B取2个水平（5、10MPa），保温时间C取2个水平（10、20分钟），脱模剂类型D取2个水平（I型、II型）。

表头分配很直观：四水平因素A放在新生成的四水平列上，三个二水平因素B、C、D依次放到原列4、列5、列6上，原列7留空作为误差估计列。整个试验方案就8组，按改造后的L8(4×2^4)执行。

假设8次试验的响应值（比如力学强度）分别为78.5、82.3、87.1、84.6、79.8、85.2、88.4、86.7。做一个简单的极差分析：

从极差看，温度影响最大，脱模剂次之，压力和保温时间影响很小。需要提醒一句：四水平因素的极差和二水平因素的极差不能直接比大小，因为水平数越多，极差被拉大的概率也越高。严谨的做法是用方差分析，或者把极差除以对应自由度的平方根做折中修正。但这个案例里温度的极差优势太明显，结论方向是可靠的。

4. 更多并列方案：L16系列与推广

4.1 从L16(2^15)出发：一组并列是L16(4×2^12)，两组是L16(4^2×2^9)

如果8次试验不够用，就可以考虑L16(2^15)。这张表有15个二水平列，总自由度15，最多可以并出5个四水平列，也就是L16(4^5)。

实际使用时，按需并列。只并一组列，就是L16(4×2^12)，可以容纳1个四水平因素加12个二水平因素。并两组，就是L16(4^2×2^9)，容纳2个四水平因素加9个二水平因素。依次类推，得到L16(4^3×2^6)、L16(4^4×2^3)、L16(4^5)。

关键问题是怎么选列组。不是随便拿三列就能并，必须保证这三列是“两个主效应列加它们的交互列”，而且不同的并列组之间不能有任何列重叠，交互作用也不能互相牵扯。拿L16(2^15)来说，第1列和第2列的交互在第3列，所以(1,2,3)可以并成一组。第4列和第8列的交互在第12列，所以(4,8,12)可以并成第二组。这两组互不相交，可以共存于一张表中。更多的分组情况，一定要对照你手上那张L16(2^15)的交互作用表来定，不同教材列号编排若不一致，照搬网上某些清单很容易翻车。

4.2 3水平系列的推广：L27(3^13)并出L27(9×3^9)

并列法不是二水平表的专利，三水平表同样可以改造，只是逻辑稍微复杂一点。

三水平表里，两个三水平列合并成一个九水平列，需要多少列参与？先算自由度：两个三水平列各有2自由度，共4自由度；九水平列需要8自由度，还差4自由度。这4个自由度正是两个三水平列交互作用所占的列提供的。在三水平正交表中，两个因素的交互作用要占2列，每列2自由度，合计4自由度。所以要把两列主效应列和2列交互列一起并掉，总共4列，才能得到一个九水平列。

L27(3^13)有13个三水平列，用掉4列得到九水平列后还剩9列，所以得到L27(9×3^9)。如果你有某个因素真需要取9个水平，比如配方的某个组分含量要设9个梯度，就可以用这种方法。

4.3 选表策略：先用“试验次数=总自由度+1”推算规模

我踩过好几次“表太大、试验做不完”的坑，后来总结了一套选表流程，分享给大家。

第一步，列因素清单，把每个因素的水平数写清楚。第二步，计算总自由度需求：所有因素的(水平数-1)求和，再加上你想要考察的交互作用的自由度。第三步，试验次数必须大于等于“总自由度+1”，否则信息量不够。第四步，在满足试验次数上限的候选表里，先看标准表，再看标准混合表，最后才考虑并列法改造。第五步，如果用并列法，计算需要的原列数：从二水平表出发并四水平列消耗3列，并八水平列消耗7列；从三水平表出发并九水平列消耗4列。这个数字直接决定你从哪张基表开始。

举个实例：有一个四水平因素、三个二水平因素，总自由度=3+1+1+1=6，试验次数至少7次。L8正好是8次，能用。L8(2^7)并一组列，变成L8(4×2^4)，完美贴合。如果你的需求是三个四水平因素加两个二水平因素，总自由度=3×3+1×2=11，试验次数至少12次，这时L16系列就是起步选项，L8肯定装不下。

5. 并列法 vs 拟水平法：别把两个方法搞混

5.1 方向相反的两个操作

很多初学者会把并列法和拟水平法弄混，因为两个都是解决混合水平问题的招数，但方向正好相反。

并列法是从低水平列“升级”出高水平列，把二水平列合并成四水平列，本质是增加单列的容量，代价是消耗更多列。拟水平法正好反过来，当某个因素的实际水平数少于正交表列的水平数时，把少的水平位补一个已有水平。比如某因素实际只有2个水平，但我用的是L9(3^4)这张三水平表，于是把这个因素的水平1再重复一次当作第3个“伪水平”。这样做的结果是该因素在试验中出现3次水平1、3次水平2、0次真正的水平3，试验次数分配不再完全均衡。

拟水平法没增加列的容量，而是降低了列的使用效率，所以自由度上是“虚”的，分析时该因素实际有效的自由度仍然是1，而不是三水平列表面的2。

5.2 什么时候用并列法、什么时候用拟水平法

判断依据主要看水平数之间有没有幂次关系。如果你的高水平因素水平数是低水平因素水平数的整数幂，比如4=2^2、8=2^3、9=3^2，优先用并列法。因为并列法可以保持每一列都被充分利用，试验点均衡分散，后续分析最干净。

如果某个因素的实际水平数比正交表列的水平数少，又找不到更合适的表，那就用拟水平法。典型的场景是因素A三水平、因素B二水平、因素C三水平，想用少量试验完成，手头只有L9(3^4)，这时B就只能用拟水平法塞进三水平列。

需要提醒的是，拟水平法的均衡性有一定损失，B的水平1在9次试验中出现次数会比水平2多，极差分析时要特别小心，最好用方差分析做校正。而并列法改造后的表是严格均衡的，试验次数分配不会出这种问题。

6. 实操中的常见问题与排查技巧

6.1 常见问题速查表

我把这几年做混合水平设计时遇到的问题整理成了表，方便大家快速对照。

6.2 并列法的三大局限与应对

第一个局限是水平数必须是幂次关系。二水平列只能并成四水平、八水平，三水平列只能并成九水平、二十七水平。凡是想从二水平表并出三水平列的，都属于“不可能任务”，趁早放弃。遇到这种情况，我的建议是直接去找标准混合表L18(2×3^7)、L36(2^11×3^12)，或者考虑改用其他设计方法。

第二个局限是交互作用信息会丢失。一旦并列，被合并的列内部交互作用就被“吃掉”了，之后再想单独分析这些交互效应，没有干净的自由度可用。如果你对某个交互项很感兴趣，那就不要把它所在的列并掉，要在改造前就把交互列预留出来，或者干脆选更大的表。

第三个局限是混合表不“标准”，审稿或者写报告时需要说明构造来源。我的做法是在试验方法部分明确写“采用并列法由L16(2^15)标准正交表构造L16(4×2^12)混合水平表”，再附上映射规则和正交性验证结果。这样既专业又透明，评审人不会质疑表来源不明。

6.3 分享一个我常用的复核习惯

最后讲一个我在实际项目中养成的习惯：无论表是手工改造的还是软件生成的，拿到手后的第一件事，就是跑一遍组合频次统计。不是怀疑工具，而是防止版本差异导致的错误。有一次我照着一本老教材的L16(2^15)交互表选列，结果教材采用的列号顺序跟另一份资料不一致，选出来的列组压根不对，正交性验证直接报警，好在及时发现，否则整个试验方案都会出错。

这个习惯也推荐给大家。验证代码不复杂，就是把任意两列的水平组合做一个Counter统计，看是否有全等频次。验证通过了，再往下优化就行。试验设计这种事，前面省一分钟，后面可能花十天去填坑。

我个人的体会是，并列法最大的价值不是让你多记住一张混合表，而是帮你真正理解为什么正交表能够“以小博大”。自己动手把列合并一次，再做一遍正交性验证，你对正交表的信任就完全不一样了。以后再遇到找不到标准表的项目，也不会慌，拿一支笔或者几行Python，一张合适的设计表就能自己“造”出来。