企业官网建设流程全解析

sktime 分数阶差分（Fractional Differentiation）实战指南：基于 Fracdiff 的非平稳时间序列平稳化与记忆保持

【免费下载链接】sktimeA unified framework for machine learning with time series项目地址: https://gitcode.com/GitHub_Trending/sk/sktime

导读

本文围绕 sktime 内置的Fracdiff库（路径sktime/libs/fracdiff/）展开，讲解如何对非平稳时间序列执行分数阶差分（Fractional Differentiation），在使其平稳化的同时最大限度保留原始序列中的记忆（memory）信息。读者将掌握fdiff函数、scikit-learn 风格转换器Fracdiff的完整参数用法、窗长（window）与模式（mode）对结果的影响，以及如何用统计检验验证平稳化效果，并能直接将 Fracdiff 嵌入机器学习 Pipeline 用于金融等领域的特征工程。

Fracdiff 是fracdiff包在 sktime 中的非官方 fork，其算法思想源自 Marcos López de Prado 的著作Advances in Financial Machine Learning（Wiley, 2018）。核心价值在于：对价格类序列，普通的一阶差分（d=1）虽然能消除非平稳性，却会"过度差分"丢掉长期记忆；而分数阶差分通过在0 < d < 1之间选取阶数，可在平稳性与信息保留之间取得平衡。

分数阶差分：为什么一阶差分会丢失记忆

传统的整数阶差分（如numpy.diff的一阶、二阶差分）是分数阶差分在d为整数时的特例。它的缺陷在于：对随机游走类型的金融价格序列，d=1虽然能使其平稳，但会抹掉序列中蕴含的长期趋势记忆（momentum 等特征），这在建模收益预测时会造成信息损失；反之，d=0完全不差分，序列保持非平稳。

分数阶差分在两者之间连续取值。其数学基础是差分算子的分数次幂：

• 对整数d，差分算子(1 - B)^d（B为后移算子）展开后项数有限；
• 对分数d，展开是无穷级数，实际计算时通过截断取前window项来近似，截断项系数即为fracdiff 系数。

在 sktime/libs/fracdiff/fdiff.py 中，系数序列由fdiff_coef生成：

from sktime.libs.fracdiff import fdiff_coef fdiff_coef(0.5, 4) # array([ 1. , -0.5 , -0.125 , -0.0625]) fdiff_coef(1.0, 4) # array([ 1., -1., 0., -0.]) fdiff_coef(1.5, 4) # array([ 1. , -1.5 , 0.375 , 0.0625])

其实现为(-1) ** np.arange(window) * binom(d, np.arange(window))，即"负二项式系数"。观察可知：d=0.5时系数序列衰减缓慢、永不归零，这正是分数阶差分保留记忆的来源；而d=1.0时系数只有前两项非零，等价于一阶差分。测试 sktime/libs/fracdiff/tests/test_fdiff.py 用 Pochhammer 符号（s * p / f）独立重算系数并与fdiff_coef对照，验证了该实现的正确性。

功能总览

Fracdiff 提供两类接口，覆盖 NumPy 函数式调用与 scikit-learn 对象式集成：

sklearn 层的公开导出见 sktime/libs/fracdiff/sklearn/init.py，模块顶层统一导出fdiff、fdiff_coef、Fracdiff（见 sktime/libs/fracdiff/init.py）。

快速上手：fdiff函数

一维序列

fdiff是numpy.diff在分数阶上的自然延伸。对整数n，两者在n:之后的位置结果一致，只是fdiff会把开头n个元素用广义差分算子的值填充（这是为了保持输出与输入等长）：

import numpy as np from sktime.libs.fracdiff import fdiff a = np.array([1, 2, 4, 7, 0]) fdiff(a, 0.5) # array([ 1. , 1.5 , 2.875 , 4.6875 , -4.1640625]) np.array_equal(fdiff(a, n=1), np.diff(a, n=1)) # True

在 sktime/libs/fracdiff/fdiff.py 的 docstring 中给出了等价的断言：np.diff(a) == fdiff(a)[1:]、np.diff(a, 2) == fdiff(a, 2)[2:]。测试 sktime/libs/fracdiff/tests/test_fdiff.py 进一步在 1~3 维随机数组上、沿所有轴验证了整数n情形下fdiff(a, n, axis=axis)[n:]与np.diff完全一致，并在test_axis中确认负轴索引（axis=-4等价于axis=0）工作正常。

多维数组与轴向

金融面板数据通常是(n_samples, n_features)形状，axis参数决定沿哪个轴做差分。沿时间轴（axis=0）与沿特征轴（axis=-1）结果完全不同：

a = np.array([[1, 3, 6, 10], [0, 5, 6, 8]]) # 沿时间轴（行方向） fdiff(a, 0.5, axis=0) # array([[ 1. , 3. , 6. , 10. ], # [-0.5, 3.5, 3. , 3. ]]) # 沿最后一个轴（列方向） fdiff(a, 0.5, axis=-1) # array([[1. , 2.5 , 4.375 , 6.5625], # [0. , 5. , 3.5 , 4.375 ]])

参数速查表

两点实现细节值得注意：

• mode="full"已被弃用并重命名为"same"，传入"full"会抛出ValueError（fdiff.py），测试 test_fdiff.py 也对此做了回归校验；
• mode="valid"与prepend组合使用，可以补齐因截断丢失的window-1个元素。例如：

fdiff(a, 0.5, window=3, mode="valid", prepend=[1, 1]) # array([ 0.375, 1.375, 2.875, 4.75 , -4. ])

测试文件中的test_prepend/test_append证明：fdiff(a, ..., prepend=p)与先把p拼到a上再差分的结果逐元素相等。

scikit-learn API：Fracdiff转换器

基本用法

把 2 维时间序列X（形状(n_samples, n_features)）传给Fracdiff转换器即可完成差分：

from sktime.libs.fracdiff.sklearn import Fracdiff X = ... # 2d time-series with shape (n_samples, n_features) f = Fracdiff(0.5) X = f.fit_transform(X)

Fracdiff继承自TransformerMixin, BaseEstimator（见 sktime/libs/fracdiff/sklearn/fracdiff.py）。其构造参数与底层fdiff一一对应：

fit阶段只做两件事：通过_sklearn_check_input做输入校验并记录n_features_in_，然后调用fdiff_coef(self.d, self.window)预计算系数存入coef_；transform阶段校验特征数与fit一致后，调用fdiff(X, n=self.d, axis=0, window=self.window, mode=self.mode)完成实际差分（见 fracdiff.py）。也就是说，Fracdiff固定沿axis=0（时间轴）做差分，这与面板数据的常规布局一致。

窗长与模式对输出的影响

window与mode的组合决定了输出的长度与边界质量。以形状(5, 2)的数组为例：

import numpy as np X = np.arange(10).reshape(5, 2) # mode="same"：输出与输入等长 fracdiff = Fracdiff(0.5, window=3) fracdiff.fit_transform(X) # array([[0. , 1. ], # [2. , 2.5 ], # [3. , 3.375], # [3.75 , 4.125], # [4.5 , 4.875]]) fracdiff.coef_ # array([ 1. , -0.5 , -0.125]) # mode="valid"：开头 window-1=2 行被剔除 fracdiff = Fracdiff(0.5, window=3, mode="valid") fracdiff.fit_transform(X) # array([[3. , 3.375], # [3.75 , 4.125], # [4.5 , 4.875]])

测试 sktime/libs/fracdiff/tests/sklearn/test_fracdiff.py 验证了Fracdiff(d, window, mode).fit_transform(X)与直接调用fdiff(X, n=d, axis=0, window=window, mode=mode)逐元素相等；sktime/libs/fracdiff/tests/sklearn/test_sklearn.py 则用 sklearn 官方parametrize_with_checks对Fracdiff(1)做全套兼容性检查（仅豁免"排列不变性"检查，因为差分天然与样本顺序有关），并端到端跑通了包含StandardScaler + Fracdiff + LinearRegression的 Pipeline。

嵌入机器学习 Pipeline

由于实现了完整的 sklearn Transformer 协议，Fracdiff可以无缝插入sklearn.pipeline.Pipeline，先标准化再差分再回归：

from sklearn.linear_model import LinearRegression from sklearn.preprocessing import StandardScaler from sklearn.pipeline import Pipeline X, y = ... # Dataset pipeline = Pipeline([ ('scaler', StandardScaler()), ('fracdiff', Fracdiff(0.5)), ('regressor', LinearRegression()), ]) pipeline.fit(X, y)

顺序上有讲究：StandardScaler放在Fracdiff之前，先消除量纲影响，再做差分特征工程。这一组合模式正是 examples/transformation/fracdiff/example_howto.ipynb 中演示的标准用法。

在保留记忆的同时实现平稳化

最小阶数搜索的思路

Fracdiff需要人工指定d。对于未知数据，最稳妥的做法是"在保持平稳的前提下取尽可能小的差分阶数"，因为阶数越低，保留的长期记忆越多。原fracdiff包为此提供了FracdiffStat：它在一个区间内搜索使序列通过平稳性检验的最小差分阶数，搜索结果保存在属性d_（数组，每列特征一个阶数）中：

from fracdiff.sklearn import FracdiffStat X = ... # 2d time-series with shape (n_samples, n_features) f = FracdiffStat() X = f.fit_transform(X) f.d_ # array([0.71875 , 0.609375, 0.515625])

说明：FracdiffStat及其d_属性是上游fracdiff包提供的功能；在 sktime 当前的 fork（sktime/libs/fracdiff/init.py）中，顶层仅导出fdiff、fdiff_coef与Fracdiff，FracdiffStat尚未被同步进来。若需自动定阶，可安装原版fracdiff使用，或按下一节思路自行搜索。

用 ADF 检验验证平稳化效果

分数阶差分的"记忆-平稳"权衡可以用 ADF 单位根检验量化。在 examples/transformation/fracdiff/example_prado.ipynb 中，作者对 S&P 500 序列做了完整实验：

1. 多阶数扫描：对d在 0.1~0.9 之间取 9 个值分别做fdiff(spx, d, mode="valid")并绘图，直观看到差分后序列随d增大而波动加剧、趋势被逐步剥离；
2. 平稳性-记忆权衡曲线：以 ADF 统计量（越负越平稳）为左轴、与原始序列的相关系数（记忆的代理指标）为右轴，绘制d ∈ [0, 1]上的变化曲线，并画出 5% 临界值虚线。可以看到：d越大 ADF 统计量越低（越平稳），但相关系数越低（记忆越少）；
3. 定阶与验证：

fs = FracdiffStat(mode="valid") Xdiff = fs.fit_transform(X) _, pvalue, _, _, _, _ = stattools.adfuller(Xdiff.reshape(-1)) corr = np.corrcoef(X[-Xdiff.size:, 0], Xdiff.reshape(-1))[0][1] print(f"* Order: {fs.d_[0]:.2f}") print(f"* ADF p-value: {100 * pvalue:.2f} %") print(f"* Correlation with the original time-series: {corr:.2f}")

• ADF p 值低于显著性水平（如 5%）说明差分后序列平稳；
• 与原始序列的相关性越高，说明保留的记忆越多。

同样，examples/transformation/fracdiff/example_exercise.ipynb（书中第 5 章习题的求解示例）给出了完整的搜索模式：先扫d ∈ {0.2, 0.4, ..., 1.0}看 p 值，再用FracdiffStat(window=100, mode="valid", precision=10e-8, lower=0.9)在高精度区间内逼近最小平稳阶数，最后用Fracdiff(f.d_[0] - precision, mode="valid")反向验证"阶数再低一档就不平稳"。

窗长选择：基于容差的自动截断

window决定 fracdiff 算子截断到第几项，直接影响计算精度与速度。手动调窗比较繁琐，上游fracdiff包提供了两个基于容差的工具函数，sktime fork 中对应实现位于 sktime/libs/fracdiff/sklearn/tol.py：

• window_from_tol_coef(n, tol_coef, max_window=2**12)：取使"第window个系数的绝对值首次小于tol_coef"的最小整数。示例：window_from_tol_coef(0.5, 0.1)返回 4，因为fdiff_coef(0.5, 3)[-1] = -0.125，fdiff_coef(0.5, 4)[-1] = -0.0625，后者首次小于 0.1；
• window_from_tol_memory(n, tol_memory, max_window=2**12)：取使"从第window+1项起系数的绝对值之和小于tol_memory"的最小整数，即显式控制"记忆损失量"。示例：window_from_tol_memory(0.5, 0.2)返回 9，对应尾部系数累积和约-0.19073。

from sktime.libs.fracdiff.sklearn.tol import window_from_tol_coef, window_from_tol_memory window_from_tol_coef(0.5, 1e-5) # 允许系数截断误差不超过 1e-5 时的窗长 window_from_tol_memory(0.5, 0.2) # 允许记忆损失不超过 20% 时的窗长

注意 tol.py 中的提醒：当d很小或容差很小时，窗长会变得极大，量级约随tol_coef ** (-1 / d)增长。上述示例用法与测试断言（test_sklearn.py）一一对应，可直接照搬。

速度优势：NumPy 引擎与基准数据

README 中给出了与"官方实现"（指按定义逐点累加的朴素实现）的对比基准，强调两点：

1. 得益于 NumPy 引擎，执行时间随时间步数n_samples增长非常缓慢；
2. 在特定规模下可快约 4 个数量级。

不同n_samples（每列单特征）的执行时间（毫秒，Ubuntu 20.04 / Intel Xeon E5-2673 v3 @ 2.40GHz）：

不同n_features（固定 1000 个时间步）的执行时间（毫秒）：

从实现看，速度来自fdiff将差分转化为一次卷积运算：mode="valid"时直接np.convolve(coef, a, mode="valid")，mode="same"时做mode="full"卷积后截取尾部等长部分（fdiff.py）。卷积是高度向量化的 NumPy 操作，因此耗时几乎与窗长和样本数的乘积成正比而非平方增长。

上述数据来自原 README 的基准表，硬件环境与版本以当时测试为准；具体数字会因机器、NumPy 版本与数据规模而异，请以实际复测为准。

真实数据示例与可视化

S&P 500 的 0.5 阶差分

以下脚本来自 examples/transformation/fracdiff/fig/spx.py，演示了从 Yahoo Finance 拉取 S&P 500 数据、用Fracdiff(0.5, window=100, mode="valid")做差分并绘制的完整流程：

import pandas as pd import pandas_datareader from sktime.libs.fracdiff import Fracdiff s = pandas_datareader.data.DataReader( "^GSPC", "yahoo", "1999-10-01", "2020-09-30" )["Adj Close"] f = Fracdiff(0.5, window=100, mode="valid") d = f.fit_transform(s.values.reshape(-1, 1)).reshape(-1) s = s[100 - 1:] # valid 模式丢掉前 window-1 个样本，索引对齐 d = pd.Series(d, index=s.index)

图中蓝线为原始 S&P 500 收盘价（左轴），橙线为 0.5 阶差分后的序列（右轴）：原始序列呈现长期上升趋势，差分序列围绕零轴剧烈波动，趋势被削弱而波动信息被保留，且差分序列与价格水平的量纲已解耦。

Nikkei 225 的自适应定阶差分

examples/transformation/fracdiff/example_howto.ipynb 展示了另一条路径——不手动指定阶数，而是让FracdiffStat自动搜索使序列平稳的最小阶数（此处对 Nikkei 225 得到约 0.27 阶）：

from fracdiff import FracdiffStat nky = fetch_yahoo("^N225") # 日经 225 指数 fs = FracdiffStat(window=100, mode="valid") diff = fs.fit_transform(nky.values.reshape(-1, 1))

与固定 0.5 阶相比，自动定阶得到的阶数更低，意味着差分后的序列保留了更多原始记忆，同时通过了平稳性检验——这正是"保持记忆的平稳化"（stationarity while preserving memory）的实际效果。

边界与注意事项

• 轴语义：fdiff的mode="same"保证输出与输入等长，但序列开头的元素只用了部分系数（边界效应）；mode="valid"无边界效应但会缩短序列，使用时需自行对齐索引（见上面 S&P 500 示例中的s = s[window-1:]）。
• 特征数一致性：Fracdiff在transform时会校验输入特征数与fit时一致，不一致会抛出ValueError（fracdiff.py）。
• 输入维度：fdiff要求至少一维输入，0 维标量会抛ValueError；传入非法mode同样抛错（test_fdiff.py）。
• 线性性质：分数阶差分是线性算子——测试test_linearity_add与test_linearity_mul验证了fdiff(a0) + fdiff(a1) == fdiff(a0 + a1)与const * fdiff(a0) == fdiff(const * a0)，这保证了它作为线性特征变换嵌入模型时的可解释性。
• 窗长取舍：window过小会引入较大的截断误差（阶数越高越明显），过大则浪费计算量；在要求精度时，优先用window_from_tol_coef/window_from_tol_memory按容差自动定窗。

参考资源

• 核心实现：sktime/libs/fracdiff/fdiff.py（fdiff、fdiff_coef）
• sklearn 转换器：sktime/libs/fracdiff/sklearn/fracdiff.py（Fracdiff）
• 窗长工具：sktime/libs/fracdiff/sklearn/tol.py（window_from_tol_coef、window_from_tol_memory）
• 单元测试：sktime/libs/fracdiff/tests/test_fdiff.py、sktime/libs/fracdiff/tests/sklearn/test_fracdiff.py、sktime/libs/fracdiff/tests/sklearn/test_sklearn.py
• 可交互示例：examples/transformation/fracdiff/example_howto.ipynb、examples/transformation/fracdiff/example_prado.ipynb、examples/transformation/fracdiff/example_exercise.ipynb
• 理论出处：Marcos López de Prado,Advances in Financial Machine Learning, Wiley, 2018（分数阶差分章节）

以上所有代码与参数说明均以当前仓库内的实现与测试为准；其中引用FracdiffStat的示例来自上游fracdiff包及其 notebook，实际以所在环境安装的包为准。

【免费下载链接】sktimeA unified framework for machine learning with time series项目地址: https://gitcode.com/GitHub_Trending/sk/sktime