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SymPy 控制系统模块 LTI API 完全指南：传递函数、状态空间与离散化实战

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导读

本文以 SymPy 官方文档 doc/src/modules/physics/control/lti.rst 为骨架，系统讲解sympy.physics.control模块中 LTI（线性时不变）系统的全部公开 API，包括连续/离散传递函数、串联并联与反馈互联、MIMO 传递函数矩阵、PID 控制器、状态空间模型以及三种经典离散化方法。读完本文，你将能够用 SymPy 以纯符号方式建模、组合、分析控制系统的传递函数与状态空间，并完成连续到离散的变换，全程无需数值近似。

一、模块概览：纯符号的控制系统工具箱

sympy.physics.control是 SymPy 的物理控制系统子模块，当前聚焦于LTI（线性时不变）系统。根据官方总述 doc/src/modules/physics/control/control.rst，该模块的核心建模对象包括：

• 连续时间传递函数：TransferFunction，工作在拉普拉斯域（复变量s）；
• 离散时间传递函数：DiscreteTransferFunction，工作在 z 域（复变量z）；
• 系统互联结构：Parallel（并联，利用加法性）、Series（串联，利用乘法性）与Feedback（负反馈互联）；
• MIMO 扩展：以TransferFunctionMatrix为基类的MIMOSeries、MIMOParallel、MIMOFeedback；
• 状态空间模型：StateSpace与DiscreteStateSpace，支持可控性、可观性分析以及状态空间与传递函数之间的相互转换。

该模块最大的特色是纯符号计算：它不依赖数值方法逼近解，求得的解精度高、形式紧凑，可直接用于后续的符号化简与进一步分析。整个 LTI 实现集中在 sympy/physics/control/lti.py（约 6800 行），并通过 sympy/physics/control/init.py 对外导出TransferFunction、Series、Parallel、Feedback、StateSpace等 19 个符号。

API 文档入口位于 doc/src/modules/physics/control/index.rst，除本文讲解的lti.rst外，还包含绘图模块 doc/src/modules/physics/control/control_plots.rst 与劳斯表模块 doc/src/modules/physics/control/routh_table.rst。

二、类的继承体系：LinearTimeInvariant 家族

从源码结构（sympy/physics/control/lti.py#L405-L478）可以看到清晰的继承层级：

Basic (SymPy 基类) + EvalfMixin └── LinearTimeInvariant (ABC，所有 LTI 系统的公共基类) ├── SISOLinearTimeInvariant (单输入单输出，_is_SISO = True) │ ├── TransferFunctionBase → TransferFunction / DiscreteTransferFunction │ ├── Series / Parallel / Feedback │ └── PIDController └── MIMOLinearTimeInvariant (多输入多输出，_is_SISO = False) ├── TransferFunctionMatrix ├── MIMOSeries / MIMOParallel / MIMOFeedback └── StateSpace / DiscreteStateSpace (按 D 矩阵维数自动判定 SISO/MIMO)

LinearTimeInvariant（lti.py#L405）本身是抽象类，直接实例化会抛出NotImplementedError。它提供了三个关键属性：

• is_continuous：系统是否为连续时间；
• is_SISO：是否为单输入单输出；
• sampling_time：采样时间（抽象属性，子类实现）。

SISOLinearTimeInvariant固定num_inputs = 1、num_outputs = 1；MIMOLinearTimeInvariant的_is_SISO = False。在_check_time_compatibility（lti.py#L499）中，系统组合前会强制校验：所有系统要么同为连续、要么同为离散，且离散系统的采样时间必须一致，否则抛出TypeError。这一兼容性检查通过_compatibility_decorator（lti.py#L525）装饰在各类互联运算上。

三、传递函数基类 TransferFunctionBase

TransferFunctionBase（lti.py#L582）是所有传递函数对象的抽象基类，官方明确说明"不应直接使用"，真正的用户入口是它的两个子类。它的类文档给出了完整的数学背景：LTI 系统可由线性微分方程（连续）或线性差分方程（离散）描述，通过拉普拉斯变换或 z 变换（零初始条件下）转换为复变量域中的有理函数：

$$H(p) = \frac{Y(p)}{X(p)} = \frac{a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}+\dots+a_{1}p+a_{0}}{b_{m}p^{m}+b_{m-1}p^{m-1}+\dots+b_{1}p+b_{0}}$$

其中分子是输出信号的变换、分母是输入信号的变换。基类构造时的校验规则（lti.py#L698）包括：var必须是Symbol，den不能为零，分子分母必须是数或含符号的表达式。

3.1 三种便捷构造类方法

除了直接TransferFunction(num, den, var)构造外，基类提供了三个工厂类方法：

• from_rational_expression(expr, var=None)：直接从一个有理表达式构造。若表达式只有一个自由符号可省略var；若有多个变量而未指定var会抛出ValueError；纯数字表达式必须手动指定var（lti.py#L729）：

>>> from sympy.abc import s, p, a, z >>> from sympy.physics.control.lti import TransferFunction, DiscreteTransferFunction >>> expr1 = (s + 5)/(3*s**2 + 2*s + 1) >>> tf1 = TransferFunction.from_rational_expression(expr1) TransferFunction(s + 5, 3*s**2 + 2*s + 1, s) >>> expr3 = (z + 1)/(z**2 + 2*z + 1) >>> dtf = DiscreteTransferFunction.from_rational_expression(expr3, z, sampling_time=0.1) DiscreteTransferFunction(z + 1, z**2 + 2*z + 1, z, 0.1)

• from_coeff_lists(num_list, den_list, var)：从降幂系数列表构造（lti.py#L819）：

>>> tf = TransferFunction.from_coeff_lists([1, 0, 2], [3, 2, 2, 1], s) TransferFunction(s**2 + 2, 3*s**3 + 2*s**2 + 2*s + 1, s)

• from_zpk(zeros, poles, gain, var)：从零点、极点与增益构造（lti.py#L876），支持复数零极点与符号参数：

>>> tf2 = TransferFunction.from_zpk([0], [1-1j, 1+1j, 2], -2, s) TransferFunction(-2*s, (s - 2)*(s - 1.0 - 1.0*I)*(s - 1.0 + 1.0*I), s)

3.2 核心属性与方法

注意poles()/zeros()的实现（lti.py#L41-L47）：先尝试roots求重根，若求根数量不足阶数，则回退到rootof用根对象精确表示高阶多项式的根，从而保持符号精确性。

四、TransferFunction：连续时间传递函数

TransferFunction（lti.py#L1593）表示拉普拉斯域中的 LTI 系统，构造参数为num、den、var，且_is_continuous = True、sampling_time恒为 0。

类文档展示的典型用法（均可在源码 docstring 中验证）：

>>> from sympy.abc import s, p, a >>> tf1 = TransferFunction(s + a, s**2 + s + 1, s) TransferFunction(a + s, s**2 + s + 1, s)

• 复变量任意：var不限于s，任何Symbol均可，如TransferFunction(a*p**3 - a*p**2 + s*p, p + a**2, p)；
• 取负：一元-运算符直接作用于分子；
• 乘方：**运算符支持整数幂，包括 0 次与负次幂（tf**-1即分子分母互换）；
• 算术运算生成结构对象：+、-、*分别生成未求值的Parallel与Series对象，例如tf9 * tf10返回Series(...)；这些结构可用.doit()或.rewrite(TransferFunction)合并为单一传递函数（lti.py#L1707-L1713）。

TransferFunction.dc_gain()通过limit(num/den, var, 0)求极限实现；get_asymptotic_stability_conditions()则对分母多项式调用hurwitz_conditions()返回一组不等式条件（lti.py#L1756）。

五、DiscreteTransferFunction：离散时间传递函数

DiscreteTransferFunction（lti.py#L1814）表示 z 域中的 LTI 系统，构造参数为num、den、var、sampling_time。与连续版本的关键差异：

• sampling_time为第四个位置参数，表示两次连续采样时刻的间隔；
• 未指定时默认采样时间为 1；
• 若显式设为 0，则直接返回一个TransferFunction实例；
• sampling_time既可以是数也可以是Symbol，便于做符号化的采样周期分析。

从构造函数逻辑看（create_transfer_function，lti.py#L534）：sampling_time == 0返回连续对象，sampling_time > 0返回离散对象。这也是两个类之间分派的核心工厂：

>>> from sympy.abc import s, z >>> tf = create_transfer_function(s + 5, 3*s**2 + 2*s + 1, s) TransferFunction(s + 5, 3*s**2 + 2*s + 1, s) >>> dtf = create_transfer_function(z, z + 1, z, 0.1) DiscreteTransferFunction(z, z + 1, z, 0.1)

六、系统互联：Series、Parallel 与 Feedback

6.1 Series（串联）与 Parallel（并联）

• Series（lti.py#L2436）利用传递函数的乘法性表示级联：总传递函数等于各子系统之积；
• Parallel（lti.py#L3084）利用加法性表示并联：总传递函数等于各子系统之和。

两者都是SISOLinearTimeInvariant子类。构造时可以传入任意多个系统，_flatten_args会扁平化嵌套的同类型参数；所有成员必须使用同一个复变量（见LinearTimeInvariant._check_args，lti.py#L417）。调用.doit()可求值为合并后的单一传递函数。典型用法：

>>> from sympy.abc import s >>> G1 = TransferFunction(1, s + 1, s) >>> G2 = TransferFunction(s, s**2 + 2, s) >>> series = G1 * G2 # 等价于 Series(G1, G2) >>> series.doit() TransferFunction(s, (s + 1)*(s**2 + 2), s)

6.2 Feedback（负反馈）

Feedback（lti.py#L3673）表示两个输入输出系统之间的负反馈互联。设前向路径为G、反馈路径为H，则闭环传递函数为：

$$\frac{G}{1 + G \cdot H}$$

其doit()方法（lti.py#L3968）默认对结果做约分（cancel=True），并支持expand选项控制是否展开分子分母。

七、PIDController：PID 控制器

PIDController（lti.py#L2273）是TransferFunction的子类，用于在拉普拉斯域表示 PID 控制器。构造参数及其默认值：

从源码（lti.py#L2335-L2340）可以看到其内部实现：构造时直接生成等效传递函数的分子kp*tf*var**2 + kp*var + ki*tf*var + ki + kd*var**2与分母tf*var**2 + var。也就是说，tf > 0时实现的是带微分滤波的实用 PID 形式；tf = 0时退化为经典 PID。

>>> from sympy import symbols >>> from sympy.physics.control.lti import PIDController >>> kp, ki, kd = symbols('kp ki kd') >>> p1 = PIDController(kp, ki, kd) PIDController(kp, ki, kd, 0, s) >>> p1.doit() TransferFunction(kd*s**2 + ki + kp*s, s, s) >>> p1.kp, p1.ki, p1.kd, p1.tf, p1.var (kp, ki, kd, 0, s)

doit()方法将其转换为普通TransferFunction；各增益通过只读属性kp、ki、kd、tf、var访问。PID 对象可直接参与Series、Parallel、Feedback互联，非常适合符号化设计控制器并分析闭环系统。

八、MIMO 系统：TransferFunctionMatrix 及其互联

8.1 TransferFunctionMatrix

TransferFunctionMatrix（lti.py#L4605）是 MIMO（多输入多输出）传递函数矩阵的基类，是MIMOLinearTimeInvariant的子类。它将多个 SISO 传递函数组织为矩阵形式，其中每个元素是TransferFunction或DiscreteTransferFunction，且所有元素必须共享同一个复变量与采样时间。

>>> from sympy.abc import s >>> from sympy.physics.control.lti import TransferFunction, TransferFunctionMatrix >>> G11 = TransferFunction(1, s + 1, s) >>> G12 = TransferFunction(s, s**2 + 2, s) >>> G21 = TransferFunction(1, s**2 + 3*s + 2, s) >>> G22 = TransferFunction(1, s + 4, s) >>> tfm = TransferFunctionMatrix([[G11, G12], [G21, G22]])

8.2 MIMOSeries、MIMOParallel、MIMOFeedback

它们是Series、Parallel、Feedback的 MIMO 等价物：

• MIMOSeries（lti.py#L2802）：MIMO 串联，要求各系统的输入输出维数匹配；
• MIMOParallel（lti.py#L3403）：MIMO 并联，要求输入输出维数相同；
• MIMOFeedback（lti.py#L4131）：MIMO 反馈互联，内部用_is_invertible（lti.py#L4120）判断I + G·H是否可逆。

MIMO 系统之间做运算时同样经过_check_other_MIMO与_check_time_compatibility校验，保证维数与时间域一致。doit()方法（如 lti.py#L4475）将 MIMO 互联结构约简为单一TransferFunctionMatrix。

九、状态空间：StateSpace 与 DiscreteStateSpace

9.1 数学定义与构造

StateSpaceBase（lti.py#L5383）定义了标准状态空间模型。连续时间系统为：

$$\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t), \qquad y(t) = Cx(t) + Du(t)$$

离散时间系统为：

$$x[k+1] = Ax[k] + Bu[k], \qquad y[k] = Cx[k] + Du[k]$$

四矩阵含义：A状态矩阵、B输入到状态矩阵、C状态到输出矩阵、D前馈（直通）矩阵。四个矩阵都可省略，缺省时自动补零矩阵（A缺省为 1×1 零矩阵，其余按维数推导）。构造时的形状校验（lti.py#L5455-L5475）包括：

• A必须是方阵；
• A与B行数相同；
• C与D行数相同；
• A与C列数相同；
• B与D列数相同。

任何不匹配都会抛出ShapeError。系统是 SISO 还是 MIMO 由D矩阵的维数自动判定（1×1 为 SISO）。

>>> from sympy import Matrix >>> A = Matrix([[1, 0], [0, 1]]) >>> B = Matrix([1, 0]) >>> C = Matrix([1, 0]).T >>> D = Matrix([0]) >>> create_state_space(A, B, C, D) StateSpace(Matrix([[1, 0], [0, 1]]), Matrix([[1], [0]]), Matrix([[1, 0]]), Matrix([[0]]))

create_state_space(A, B, C, D, sampling_time=0)（lti.py#L5333）与传递函数工厂逻辑一致：sampling_time == 0返回StateSpace，否则返回DiscreteStateSpace。

9.2 核心能力

StateSpaceBase提供矩阵访问属性state_matrix、input_matrix、output_matrix、feedforward_matrix，以及状态空间→传递函数转换（to_transfer_function/transfer_function_matrix）。MIMO 状态空间也受支持，可通过num_inputs、num_outputs、is_SISO查询结构。

两个关键的分析方法是：

• is_controllable()（lti.py#L6369）：通过可控性矩阵的秩判定系统能否由输入驱动至任意状态；
• is_observable()（lti.py#L6251）：通过对偶可观性矩阵的秩判定能否从输出重构全部状态。

>>> ss = StateSpace(Matrix([[0, 1], [-2, -3]]), Matrix([0, 1]), Matrix([[1, 0]]), Matrix([0])) >>> ss.is_controllable() True >>> ss.is_observable() True

StateSpace（lti.py#L6450）与DiscreteStateSpace（lti.py#L6644）分别是连续与离散的具体实现。传递函数→状态空间方向通过TransferFunction.rewrite(StateSpace)完成，返回可控规范型表示（lti.py#L1771）；文档同时指出该转换不唯一——同一传递函数存在多个等价状态空间实现。反之，连续传递函数不能改写为离散状态空间（会抛TypeError，lti.py#L1801）。

十、连续系统离散化：gbt、bilinear、forward_diff、backward_diff

这四个顶层函数用于把连续时间传递函数H(s)离散化为 z 域传递函数，返回降幂排列的分子、分母系数列表（即H(z) = (az + b)/(cz + d)返回[a, b]、[c, d]）。所有函数都要求输入为 SISO 系统，MIMO 会抛NotImplementedError。

实际上后三者都是gbt的特例（lti.py#L171 等），核心实现gbt会对系数做归一化（除以分母首项系数），并将alpha通过Rational(...).limit_denominator(1000)有理化以便符号化简。官方文档示例以 RL 一阶电路 $H(s)=1/(sL+R)$ 为对象：

>>> from sympy.physics.control.lti import TransferFunction, gbt >>> from sympy.abc import s, L, R, T >>> tf = TransferFunction(1, s*L + R, s) >>> numZ, denZ = gbt(tf, T, 0.5) >>> numZ [T/(2*(L + R*T/2)), T/(2*(L + R*T/2))] >>> denZ [1, (-L + R*T/2)/(L + R*T/2)]

将alpha分别取 0、1、0.3 即可复现前向差分、后向差分与一般化的广义双线性结果，离散化结果以采样周期T的符号表达式给出，便于后续做符号层面的离散化误差分析。

十一、频域分析：phase_margin 与 gain_margin

模块还提供两个频域稳定性指标函数（非 autodoc 列表成员，但属于 lti 模块并随包导出）：

• phase_margin(system)（lti.py#L249）：返回连续系统的相位裕度。实现上令s = jω代入，先求幅值等于 1（0 dB）处的穿越频率，再在该频率处计算相位并映射到(-180°, 180°]。
• gain_margin(system)（lti.py#L332）：返回增益裕度。先求相位穿越-180°的频率，再取该处幅值的负 dB 值；无穿越频率时返回oo。

两者的共同约束：仅适用于能生成有效波特图的 SISO 连续系统；含时延项（exp项）抛NotImplementedError；若存在除变换变量外的多余自由符号则抛ValueError。

>>> from sympy.physics.control import TransferFunction, phase_margin, gain_margin >>> from sympy.abc import s >>> tf = TransferFunction(1, s**3 + 2*s**2 + s, s) >>> phase_margin(tf).n() 21.3863897518751 >>> gain_margin(tf).n() 6.02059991327962

十二、测试验证与扩展阅读

模块的测试覆盖非常完整：sympy/physics/control/tests/test_lti.py（近 5000 行）逐一验证了本文涉及的各类构造方法、doit()化简、稳定性与可控/可观性判定、离散化函数以及 SISO/MIMO 互联的边界条件（如变量不一致、采样时间冲突、矩阵维数不符等异常路径），是学习 API 语义与坑点的第一手资料。

与 LTI 模型配套的还有两个模块：

• sympy/physics/control/control_plots.py：为传递函数与状态空间提供波特图、奈奎斯特图、根轨迹等绘图功能（对应文档 doc/src/modules/physics/control/control_plots.rst）；
• sympy/physics/control/routh_table.py：构建劳斯表以判定多项式稳定性（对应文档 doc/src/modules/physics/control/routh_table.rst）。

总结

sympy.physics.control.lti提供了一个自成体系的纯符号 LTI 控制系统建模与分析栈：从 SISO 的TransferFunction/DiscreteTransferFunction，到Series/Parallel/Feedback互联，再到 MIMO 的TransferFunctionMatrix与状态空间的StateSpace，最后以gbt系列完成连续到离散的转换。所有结果均为精确符号表达式，可直接用于理论推导、符号化简与进一步的自定义分析，是控制系统课程、控制器设计验证与自动化教学实践的可靠工具。

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