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简介：本资源为哈尔滨工业大学2023年秋季《计算建模》课程配套实验包，面向计算机、数学、自动化等相关专业本科生及建模初学者，聚焦数学建模→算法设计→编程实现的全链路实践训练。压缩包共17个文件（1.3MB），含10个Python源码文件（覆盖Viterbi解码、HMM建模、EM算法、FFT/DCT图像处理、中值滤波去噪等典型实验）、2张PNG/TIFF格式示例图像、1份Excel实验数据、1个CSV结果文件、1份Markdown说明书（README.md）及1个TIFF原始图像，类型分布体现“理论-代码-数据-结果-文档”闭环结构。已有237人学习下载，资源开放可修改，提供完整实验任务框架、可运行代码与清晰说明，便于读者理解隐马尔可夫模型、随机模拟、参数拟合、图像频域处理等核心知识点，并通过动手调试深化对算法原理与工程实现间关系的认知。

1. 这不是一份“交完就扔”的课程实验包，而是哈工大计算建模课里真正能跑通HMM参数学习与序列解码的实操入口

如果你在搜索“哈工大2023秋计算建模实验”时点开这个压缩包，却发现解压后只有几个.py文件和一份PDF说明书——别急着关掉。它不是模板作业，而是一套完整可复现的隐马尔可夫模型（HMM）教学实现：从观测序列生成、初始参数设定，到用EM算法迭代估计转移/发射概率，再用Viterbi算法回溯最优隐状态路径。整个流程不依赖任何黑盒库（如hmmlearn），所有矩阵运算、对数似然计算、前向-后向递推都手写Python实现。适合两类人：一是刚学完《数值分析》想验证HMM中矩阵迭代收敛性的哈工大学生；二是需要快速搭建可调试HMM基线、理解EM收敛行为或Viterbi剪枝逻辑的算法工程师。它不追求工程封装，但每行代码都对应教材公式——比如EM_algorithm.py里gamma和xi的更新逻辑，直接映射到《统计学习方法》第10章的推导步骤。

2. 为什么用纯NumPy重写HMM核心算法？从哈工大课程设计目标看选型逻辑

哈工大计算建模课程强调“可解释性优先于封装性”，这决定了本实验不采用scikit-learn或PyTorch等高层框架。当学生需要调试EM算法中E步的后向概率溢出、M步的归一化失效，或Viterbi路径回溯时索引越界，黑盒API只会返回ValueError，而手写实现能让你在print()里看到每一帧的alpha值、每轮的log_likelihood变化。这种设计直指HMM教学中的三个关键断点：

• 数值稳定性陷阱：原始概率连乘易下溢，必须转为log-space运算；
• 边界条件混淆：Viterbi初始化时delta[0]应取log(π_i) + log(b_i(o_0))，而非直接乘；
• EM收敛判据误设：用参数差值而非对数似然增量判断收敛，会导致过早终止。

本实验包通过HMM.py定义基础类、Viterbi.py专注解码、EM_algorithm.py分离E/M步，形成清晰职责边界。所有函数签名强制接收log_space=True参数，默认启用对数运算——这是哈工大数值分析课反复强调的“避免浮点灾难”实践。

2.1 HMM类的结构设计：为什么forward_log比forward更适合作为教学基线

HMM.py中forward_log函数是整个流程的数值锚点。它不返回原始α_t(i)，而是返回log_alpha[t][i]，其递推式为：

log_alpha[t][i] = logsumexp( [log_alpha[t-1][j] + np.log(A[j][i]) for j in range(N)] ) + np.log(B[i][O[t]])

提示：logsumexp是关键——它先减去最大值再指数求和再加回，避免exp(-1000)导致的0.0。哈工大数值分析课中“防止下溢的补偿技巧”在此直接落地。

对比传统forward实现（需处理0.0除零），forward_log天然规避了三类错误：

• 初始时刻t=0时log(0)报错（因π_i或B_i(o_0)为0）；
• t>0时sum(α_{t-1}·A)结果为0导致后续log(0)；
• 多次迭代后α值趋近机器精度下限（~1e-308）引发NaN传播。

实验说明书中明确要求：所有概率运算必须经过np.log和logsumexp封装。这不是代码洁癖，而是哈工大保研面试中常被追问的“如何保证HMM训练数值鲁棒性”的标准答案。

2.2 Viterbi算法的路径回溯陷阱：为什么psi数组必须用整数索引而非状态名

Viterbi.py中viterbi_decode函数的psi数组定义为psi[t][i] = argmax_j (delta[t-1][j] + log(A[j][i]))，其数据类型为int而非str。这个细节常被忽略，却直接影响哈工大实验验收——当隐状态集为['Sunny', 'Rainy']时，若psi存字符串，回溯时无法用psi[t][i]作为delta[t-1]的索引（因delta是数值数组）。正确做法是：

1. 将状态映射为{0:'Sunny', 1:'Rainy'}；
2. psi[t][i]存储整数j（即上一时刻最优前驱状态编号）；
3. 回溯时用path[t] = psi[t+1][path[t+1]]，最后用映射表转换为可读名。

# 正确回溯逻辑（摘自Viterbi.py） path = [0] * T path[-1] = np.argmax(delta[-1]) for t in range(T-2, -1, -1): path[t] = psi[t+1][path[t+1]] # psi[t+1]是t+1时刻记录的t时刻最优前驱 return [state_names[i] for i in path]

注意：psi维度为(T, N)，但psi[0]无意义（首时刻无前驱），实际只用psi[1:T]。实验说明书中要求打印psi中间值验证，正是为排查此索引偏移错误。

3. 用真实观测序列跑通EM-Viterbi全流程：从数据生成到参数收敛验证

本实验包自带generate_data.py脚本，可按指定π、A、B生成带标签的观测序列。但真正体现哈工大计算建模深度的是参数学习闭环验证：用生成数据训练模型，再对比学习出的A/B与真值的Frobenius范数误差。以下是在本地复现的最小命令链：

3.1 生成带标签的训练数据（含隐状态真值）

python generate_data.py \ --n_states 3 \ --n_obs 4 \ --seq_len 100 \ --n_samples 50 \ --output_dir ./data/

该命令生成50条长度为100的观测序列（数字0~3），同时保存对应隐状态序列（0~2）到./data/true_states.npy。关键参数说明：

• --n_states：隐状态数，影响HMM类初始化时的N；
• --n_obs：观测符号数，决定发射矩阵B的列数；
• --seq_len：单条序列长度，过短会导致EM收敛震荡（哈工大实验要求≥50）；
• --n_samples：训练样本数，少于20时EM易陷入局部最优。

生成的数据结构为numpy.ndarray，形状(50, 100)，直接喂给EM_algorithm.py的train函数。

3.2 执行EM算法并监控收敛过程

from EM_algorithm import EMTrainer from HMM import HMM # 加载数据 X = np.load('./data/observed_sequences.npy') # shape: (50, 100) true_A = np.load('./data/true_transition.npy') # 真值，用于对比 # 初始化HMM（随机π,A,B） hmm = HMM(n_states=3, n_obs=4, log_space=True) trainer = EMTrainer(hmm=hmm, max_iter=100, tol=1e-4) # 训练并获取每轮log_likelihood log_likelihoods, A_history, B_history = trainer.train(X) # 验证收敛：检查最后10轮log_likelihood波动是否<tol converged = np.std(log_likelihoods[-10:]) < 1e-5 print(f"EM converged: {converged}, final LL: {log_likelihoods[-1]:.4f}")

提示：tol=1e-4是哈工大实验默认阈值，但若log_likelihoods出现平台期后突然下降，说明E步中xi计算有误（常见于未用logsumexp处理分母）。

3.3 用Viterbi解码并评估状态预测准确率

训练完成后，对同一批数据做解码：

# 加载真值隐状态 true_states = np.load('./data/true_states.npy') # shape: (50, 100) # 解码预测 pred_states = [] for seq in X: pred = hmm.viterbi_decode(seq) # 返回list[int] pred_states.append(pred) pred_states = np.array(pred_states) # (50, 100) # 计算整体准确率（哈工大验收硬指标） accuracy = np.mean(pred_states == true_states) print(f"Viterbi accuracy: {accuracy:.4f}")

若准确率低于0.7，需检查：

• Viterbi.py中delta[0]是否用了log(π_i) + log(B[i][o_0])；
• psi数组是否在t=0时未赋值（应跳过）；
• logsumexp是否对delta[t-1] + log(A[:,i])整体操作（而非逐元素）。

4. 哈工大保研面试高频考点：EM算法中E步的xi矩阵为何必须用log-space重写

在EM_algorithm.py的e_step函数中，xi[t][i][j]表示在t时刻处于状态i、t+1时刻转移到状态j的概率。其原始公式为：

xi[t][i][j] = alpha[t][i] * A[i][j] * B[j][o_{t+1}] * beta[t+1][j] / P(O|λ)

但直接实现会因alpha/beta下溢导致xi全零。哈工大计算建模课要求将其转为log-space：

log_xi = ( log_alpha[t][i] + np.log(A[i][j]) + np.log(B[j][O[t+1]]) + log_beta[t+1][j] - log_likelihood ) xi[t][i][j] = np.exp(log_xi) # 最终才转回概率

这里log_likelihood是forward_log返回的总对数似然。面试官常追问：“如果log_xi小于-700，np.exp(log_xi)会是0.0，此时xi矩阵稀疏，M步更新会失效——如何避免？”

答案是：在M步中不直接用xi，而用其log-sum形式更新A：

# M步更新转移矩阵A[i][j] log_numerator = logsumexp([ log_xi[t][i][j] for t in range(T-1) ]) log_denominator = logsumexp([ log_gamma[t][i] for t in range(T-1) ]) A[i][j] = np.exp(log_numerator - log_denominator)

其中log_gamma[t][i] = logsumexp([log_xi[t][i][j] for j in range(N)])。这种写法将数值问题完全隔离在log-space内，直到最后一步才指数化——这正是哈工大数值分析课强调的“延迟指数化”原则。

4.1 三个必调参数：max_iter、tol、log_space的协同影响

当tol=1e-6且max_iter=200时，若log_likelihoods在第150轮后波动<1e-7，说明模型已稳定；但若第180轮突降，大概率是logsumexp实现有缺陷（如未减去最大值）。

5. 修改源码的实操技巧：如何安全添加高斯发射概率以适配连续观测

原实验包仅支持离散观测（B[i][k]为状态i发射符号k的概率）。若需处理哈工大数值分析课中的温度序列（连续值），需将HMM.py中的发射矩阵B替换为高斯分布参数：每个状态i对应均值mu[i]和方差sigma2[i]。修改要点如下：

5.1 在HMM类中扩展_gaussian_emission_log方法

def _gaussian_emission_log(self, state_i, obs_val): """计算状态i发射连续观测obs_val的log概率""" return ( -0.5 * np.log(2 * np.pi * self.sigma2[state_i]) - 0.5 * ((obs_val - self.mu[state_i]) ** 2) / self.sigma2[state_i] )

注意：self.mu和self.sigma2需在__init__中初始化为np.random.randn(n_states)和np.random.rand(n_states)。

5.2 改写forward_log中的观测概率项

原离散版：

log_alpha[t][i] += np.log(self.B[i][O[t]])

改为连续版：

log_alpha[t][i] += self._gaussian_emission_log(i, O[t])

提示：O[t]此时为float而非int，需确保输入数据为np.float64。哈工大实验说明书中要求“连续观测需先标准化”，即O = (O - O.mean()) / O.std()，否则mu/sigma2更新会发散。

5.3 EM算法中M步的高斯参数更新公式

在EM_algorithm.py的m_step中，新增：

# 更新高斯均值mu[i] numerator = sum( gamma[t][i] * O[t] for t in range(T) ) denominator = sum(gamma[t][i] for t in range(T)) self.hmm.mu[i] = numerator / denominator # 更新方差sigma2[i] numerator = sum( gamma[t][i] * (O[t] - self.hmm.mu[i]) ** 2 for t in range(T) ) self.hmm.sigma2[i] = numerator / denominator

此处gamma[t][i]仍来自log-space的log_gamma，但sum()操作在概率空间进行（需先np.exp(log_gamma[t][i])）。哈工大保研面试曾以此题考察“如何在log-space中安全执行加权平均”。

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