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摘要：本文针对 DEA Performance 软件的两阶段 DEA 模块，采用共享投入模式下的径向测度模型，结合 NDRS 非递减规模报酬假设与超效率排序功能，通过 6 决策单元标准测试数据集，完成投入导向与产出导向双场景的计算结果准确性验证。文中逐单元完成线性规划推导校验，重点验证超效率不可行场景下的自动回退机制，为科研人员使用该软件开展多阶段效率评价提供可复现的精度参考。

一、测试环境与数据准备

1.1 测试数据集说明

本次验证采用 6 个决策单元（DMU）的标准两阶段测试数据，包含 2 项初始投入、1 项中间产品、2 项最终产出，适配共享投入两阶段 DEA 的链式生产结构。其中第 1 项投入为两阶段共享投入，第 2 项投入为第一阶段专属投入，中间产品承接第一阶段产出与第二阶段投入的链路关系。

表 1 两阶段 DEA 测试数据集

1.2 软件参数配置

使用 DEA Performance 软件「两阶段 DEA」功能模块，本次精度验证的核心参数配置如下：

• 测度类型：径向测度（CCR/BCC 类）
• 规模报酬假设：NDRS 非递减规模报酬
• 计算导向：分别验证投入导向与产出导向两种模式
• 高级选项：启用超效率模式（有效单元效率值可突破 1，实现全排序）
• 结构模式：启用共享投入模式，共享投入数量 = 1

图 1 DEA Performance 两阶段 DEA 参数配置界面

二、投入导向两阶段 NDRS 超效率结果验证

2.1 计算结果展示

软件计算得到投入导向下，共享投入两阶段径向 NDRS 超效率结果如下：

图 2 投入导向两阶段 NDRS 超效率计算结果表格

图 3 投入导向两阶段 NDRS 超效率效率值柱状图

表 2 投入导向计算结果汇总

2.2 模型数学表达

投入导向两阶段超效率模型的目标为最小化投入收缩系数θ \thetaθ，评价第k kk个 DMU 时参考集剔除自身，核心约束体系满足：

目标函数：

min ⁡ θ \min \quad \thetaminθ

约束条件：

1. 第一阶段投入约束：∑ i ≠ k λ i X i j ≤ θ X k j , j = 1 , 2 , . . . , m \sum_{i \neq k} \lambda_i X_{ij} \le \theta X_{kj}, \quad j=1,2,...,m∑i=k​λi​Xij​≤θXkj​,j=1,2,...,m
2. 中间产品平衡约束：∑ i ≠ k λ i Z i r ≥ ∑ i ≠ k μ i Z i r , r = 1 , 2 , . . . , q \sum_{i \neq k} \lambda_i Z_{ir} \ge \sum_{i \neq k} \mu_i Z_{ir}, \quad r=1,2,...,q∑i=k​λi​Zir​≥∑i=k​μi​Zir​,r=1,2,...,q
3. 第二阶段共享投入约束：∑ i ≠ k μ i X i j ≤ θ X k j , j = 1 , 2 , . . . , s s h a r e d \sum_{i \neq k} \mu_i X_{ij} \le \theta X_{kj}, \quad j=1,2,...,s_{shared}∑i=k​μi​Xij​≤θXkj​,j=1,2,...,sshared​
4. 第二阶段产出约束：∑ i ≠ k μ i Y i r ≥ Y k r , r = 1 , 2 , . . . , s \sum_{i \neq k} \mu_i Y_{ir} \ge Y_{kr}, \quad r=1,2,...,s∑i=k​μi​Yir​≥Ykr​,r=1,2,...,s
5. NDRS 规模报酬约束：∑ i ≠ k λ i ≥ 1 , ∑ i ≠ k μ i ≥ 1 \sum_{i \neq k} \lambda_i \ge 1, \quad \sum_{i \neq k} \mu_i \ge 1∑i=k​λi​≥1,∑i=k​μi​≥1

2.3 典型单元数学验证

（1）DMU2 精度验证

被评价单元 DMU2 投入为( 9 , 5 ) (9,5)(9,5)，最终产出为( 12 , 9 ) (12,9)(12,9)。
第二阶段取权重组合μ 1 = 1 / 3 , μ 4 = 2 / 3 \mu_1=1/3,\ \mu_4=2/3μ1​=1/3,μ4​=2/3，满足产出约束且权重和为 1，对应第二阶段共享投入需求为10 × 1 / 3 + 11 × 2 / 3 = 32 / 3 10\times 1/3 + 11\times 2/3 = 32/310×1/3+11×2/3=32/3，因此θ ≥ 32 / 3 9 = 32 27 ≈ 1.185185 \theta \ge \frac{32/3}{9} = \frac{32}{27} \approx 1.185185θ≥932/3​=2732​≈1.185185。
第一阶段匹配权重λ 1 = 1 / 3 , λ 4 = 2 / 3 \lambda_1=1/3,\ \lambda_4=2/3λ1​=1/3,λ4​=2/3，中间产品产出刚好匹配第二阶段投入需求，专属投入约束同时取紧，全局最优解与软件计算结果完全一致。

（2）DMU4 边界验证

被评价单元 DMU4 投入为( 11 , 6 ) (11,6)(11,6)，最终产出为( 13 , 10 ) (13,10)(13,10)。
第二阶段最小共享投入为 10，对应θ ≥ 10 / 11 ≈ 0.909091 \theta \ge 10/11 \approx 0.909091θ≥10/11≈0.909091；第一阶段通过λ 2 = 7 / 9 , λ 3 = 2 / 9 \lambda_2=7/9,\ \lambda_3=2/9λ2​=7/9,λ3​=2/9的权重组合，刚好满足中间产品需求与专属投入约束，最优解与软件计算结果完全吻合。

（3）DMU3 约束主导验证

DMU3 专属投入约束决定θ ≥ 5 / 6 ≈ 0.833333 \theta \ge 5/6 \approx 0.833333θ≥5/6≈0.833333，该约束紧于共享投入约束，成为最优解的决定因素，与软件输出结果匹配。

2.4 结果合理性判断

投入导向下，DMU2 为唯一超效率有效单元，DMU5、DMU6 投入规模显著偏大但产出偏低，效率值仅为 0.5，符合生产直觉与 DEA 基本定理；所有单元均成功求解，无不可行情况，符合 NDRS 假设下投入导向超效率的可行域特征。

三、产出导向两阶段 NDRS 超效率结果验证

3.1 计算结果展示

产出导向下，软件计算得到的共享投入两阶段径向 NDRS 超效率结果如下：

图 4 产出导向两阶段 NDRS 超效率计算结果表格

图 5 产出导向两阶段 NDRS 超效率效率值柱状图

表 3 产出导向计算结果汇总

3.2 核心机制验证：DMU2 自动回退机制

不可行性推导

DMU2 的共享投入为 9，是所有决策单元中的最小值。在 NDRS 非递减规模报酬假设下，第二阶段权重和满足∑ μ i ≥ 1 \sum\mu_i \ge 1∑μi​≥1，参考集（剔除 DMU2）中所有单元的共享投入均≥10，因此第二阶段共享投入约束∑ i ≠ 2 μ i X i 1 ≤ X 21 = 9 \sum_{i \neq 2} \mu_i X_{i1} \le X_{21}=9∑i=2​μi​Xi1​≤X21​=9无法满足，超效率模型无可行解。

回退逻辑验证

软件自动触发「超效率失败→普通两阶段 DEA 回退」机制，普通模型中 DMU2 自身纳入参考集，效率值为 1.0，完全符合模型设计逻辑与学术规范。这也是 DEA 结果异常排查方法中典型的边界单元不可行场景，软件的自动处理机制可大幅减少人工调试成本。

3.3 典型单元精度验证

（1）DMU5 极值验证

DMU5 投入为( 20 , 10 ) (20,10)(20,10)，产出为( 10 , 8 ) (10,8)(10,8)。第二阶段取μ 2 = 20 / 9 \mu_2=20/9μ2​=20/9，权重和满足 NDRS 约束，产出约束决定ϕ = 20 / 9 × 9 8 = 2.5 \phi = \frac{20/9 \times 9}{8} = 2.5ϕ=820/9×9​=2.5；第一阶段通过λ 3 = 5 / 3 \lambda_3=5/3λ3​=5/3满足中间产品需求，全局最优解与软件结果完全一致。

（2）DMU1 组合最优验证

第二阶段取μ 2 = 0.5 , μ 4 = 0.5 \mu_2=0.5,\ \mu_4=0.5μ2​=0.5,μ4​=0.5，权重和为 1 满足 NDRS 约束，产出 2 约束决定ϕ = 0.5 × 9 + 0.5 × 10 8 = 1.1875 \phi = \frac{0.5 \times 9 + 0.5 \times 10}{8} = 1.1875ϕ=80.5×9+0.5×10​=1.1875，与软件计算结果完全吻合。

四、模型核心机制验证结论

本次验证覆盖两阶段 DEA 模型的核心功能点，全部通过精度校验：

五、拓展说明

DEA Performance 软件的两阶段 DEA 模块支持径向 / SBM 双测度、CRS/VRS/NIRS/NDRS 全规模报酬、共享投入 / 普通链式双结构、超效率测算、非期望产出等完整功能，适用于供应链效率评价、创新两阶段效率、环境治理效率等多阶段生产场景的效率测算。

对于论文用 DEA 软件推荐而言，DEA Performance 输出结果符合学术论文规范，可直接用于实证分析；如果遇到 DEA 结果异常排查方法相关的问题，软件内置的校验机制可自动识别不可行解并触发回退，大幅减少人工调试成本。

DEA Performance 链接：https://pan.baidu.com/s/1ziQkmN9LmLDebUGBIolIyw?pwd=5802