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提示：学习笔记仅供参考

旋转矩阵正交且行列式为1，自带约束，在优化里不方便，所以使用李代数，李代数可以无约束优化

1.群的概念

群是一个集合（A）＋一个运算（·），当运算满足以下四个条件，（A，·）成群

所以我们可以知道旋转矩阵群和变换矩阵群都是和乘法满足成群条件的

2.李群

李群是具有连续性质的群，SO(3),SE(3)是李群但是只有良好的乘法而没有良好的加法（注意，变换矩阵是包含平移也就是加法的，但它没有符合群的良好的加法），难以求导（因为导数要加一个detx）

3.李代数的引入

是反对称矩阵

这里假设t0=0，R（0）=I

假设t0附近ϕ(t)一直是ϕ(0)，R（0）=I

这个式子说明了什么呢？

说明：某个时刻的R，我们可以找到一个ϕ，ϕ描述了R的局部导数关系，ϕ就是SO（3）的李代数so(3)

3.李代数so（3）

复习一下反对称矩阵：

所以李括号：

4.李代数se(3)

这里的^不再表示反对称，表示将六维矩阵变成四维矩阵

李括号：

5.指数映射和对数映射

对之前提到的式子泰勒展开：

用这两个式子展开处理，可以得到：

这个式子和罗德里格斯式子的形式是一模一样的，这说明指数映射就是罗德里格斯公式，so（3）就是旋转向量

泰勒展开可以求解R：

但是我们一般不这么做，参考之前写的笔记里，利用tr(R)的性质求解ϕ，即so（3）

和之前一样的方法得到J，，R也知道，那se（3）可以解出来

总结如上

6.扰动模型

• so（3）

• se（3）