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在传统回归分析中，我们最熟悉的是最小二乘回归（OLS），它刻画的是自变量变化对因变量条件均值的影响。但现实世界中，很多问题并不只关心“平均水平”，而是更关心：

• 高风险人群是否受到更大影响？
• 弱势群体是否对某些因素更敏感？
• 自变量对分布尾部（如高血压人群、极端收入者、重症患者）的影响是否不同？

这正是分位数回归（Quantile Regression, QR）的用武之地。

一、什么是分位数回归？

分位数回归是一种用于建模条件分布不同分位点的方法。与普通回归建模条件均值不同，分位数回归直接建模：

QY(τ∣X=x) Q_Y(\tau \mid X = x)QY​(τ∣X=x)

即在给定自变量X=xX = xX=x时，因变量YYY的第τ\tauτ分位数（如中位数、90%分位数等）。

例如：

• (τ\tauτ= 0.5 )：中位数回归；
• (τ\tauτ= 0.9 )：高分位（上尾）回归；
• (τ\tauτ= 0.1 )：低分位（下尾）回归。

二、分位数回归的数学定义

给定样本{(xi,yi)}i=1n\{(x_i, y_i)\}_{i=1}^n{(xi​,yi​)}i=1n​，分位数回归通过最小化以下目标函数来估计参数：

β^(τ)=arg⁡min⁡β∑i=1nρτ(yi−xi⊤β), \hat{\beta}(\tau) = \arg\min_{\beta} \sum_{i=1}^n \rho_\tau\big(y_i - x_i^\top \beta\big),β^​(τ)=argβmin​i=1∑n​ρτ​(yi​−xi⊤​β),

其中损失函数ρτ(u)\rho_\tau(u)ρτ​(u)被称为不对称绝对损失函数（check loss）：

ρτ(u)={τu,u≥0,(τ−1)u,u<0. \rho_\tau(u) = \begin{cases} \tau u, & u \ge 0, \\ (\tau - 1)u, & u < 0. \end{cases}ρτ​(u)={τu,(τ−1)u,​u≥0,u<0.​

当 (τ\tauτ= 0.5 ) 时，该模型退化为中位数回归（L1L1L1回归）。

可以看出为了让损失函数ρτ(u)\rho_\tau(u)ρτ​(u)最小，(τ−1)u(\tau - 1)u(τ−1)u越小越好，也就是对yi−xi⊤βy_i - x_i^\top \betayi​−xi⊤​β（残差）施加τ−1\tau - 1τ−1权重后越小越好，残差符合正态分布，也就是把残差往τ−1\tau - 1τ−1分位逼进。

三、这里的“分位”到底是什么意思？（非常重要）

这是很多人对分位数回归最容易产生误解的地方。

❌ 错误理解：
“把人群按YYY排序后，取前 10%、中间 50%、后 10% 的人分别做回归。”

✅ 正确理解：
分位数回归建模的是：

在控制其他自变量处于同一水平的条件下，因变量YYY的条件分位数。

也就是说：

QY(τ∣X=x) Q_Y(\tau \mid X = x)QY​(τ∣X=x)

不是总体分位，而是在给定协变量X=xX = xX=x的条件下，YYY的第τ\tauτ分位点。

你不是在对“人群分组”，而是在对：

“如果所有人的协变量都相同，结果变量在这个假想人群中的分布位置。”

做建模。

这一区别非常关键，因为它确保分位数回归估计的是净效应，而不是由混杂因素驱动的表面差异。

四、分位数回归在模型层面上做了什么？

OLS 回归建模的是：

E(Y∣X=x)=x⊤β E(Y \mid X = x) = x^\top \betaE(Y∣X=x)=x⊤β

而分位数回归建模的是：

QY(τ∣X=x)=x⊤β(τ) Q_Y(\tau \mid X = x) = x^\top \beta(\tau)QY​(τ∣X=x)=x⊤β(τ)

也就是说，每一个分位数τ\tauτ都对应一组不同的回归系数β\betaβ(τ\tauτ) ，从而刻画自变量对因变量分布不同位置的影响差异。

五、分位数回归的意义：为什么要用它？

1. 揭示异质性效应

OLS 只能告诉你“平均影响”，但现实中影响往往具有异质性：

• 一个药物对轻症患者作用小，对重症患者作用大；
• 教育对低收入群体影响大，对高收入群体影响小。

分位数回归可以显示这种效应随分位点变化的模式。

2. 对异常值更稳健

由于使用的是绝对损失而非平方损失，分位数回归对极端值（outliers）不敏感，尤其是中位数回归（τ\tauτ= 0.5）。

3. 可用于刻画整个条件分布

通过对多个分位点（如τ\tauτ= 0.1, 0.25, 0.5, 0.75, 0.9）建模，可以近似重构：

FY∣X(y∣x) F_{Y \mid X}(y \mid x)FY∣X​(y∣x)

从而获得比均值回归更丰富的信息。

六、分位数回归斜率的意义是什么？

在 OLS 中，斜率βj\beta_jβj​表示：

自变量XjX_jXj​增加一个单位，因变量的条件均值增加βj\beta_jβj​。

而在分位数回归中，斜率βj(τ)\beta_j(\tau)βj​(τ)表示：

在控制其他变量不变的情况下，自变量XjX_jXj​增加一个单位，因变量的第τ\tauτ条件分位数增加βj(τ)\beta_j(\tau)βj​(τ)。

换句话说：

• 如果βj(0.9)>βj(0.5)\beta_j(0.9) > \beta_j(0.5)βj​(0.9)>βj​(0.5)，说明该变量对高值人群的影响更大；
• 如果βj(0.1)≈0\beta_j(0.1) \approx 0βj​(0.1)≈0，说明该变量对低值人群几乎没有影响。

七、一个直观例子

假设我们研究空气污染（PM2.5）对肺功能（FEV₁）的影响：

• OLS 回归可能发现：PM2.5 每增加 10 μg/m³，FEV₁ 平均下降 30 mL。
• 分位数回归可能发现：
  • 在第 10 分位：下降 10 mL；
  • 在第 50 分位：下降 30 mL；
  • 在第 90 分位：下降 60 mL。

这说明：空气污染对肺功能较差的人群影响更大，这是均值回归无法揭示的关键信息。

八、分位数回归与异方差的关系

OLS 在存在异方差时效率下降，而分位数回归天然允许：

Var(Y∣X=x) 随 x 变化 \text{Var}(Y \mid X = x) \text{ 随 } x \text{ 变化}Var(Y∣X=x)随x变化

通过观察不同分位数回归线的“展开”或“收缩”，可以直观判断条件分布是否存在异方差或尾部结构变化。

九、总结一句话

• OLS 回归：告诉你“平均会发生什么”；
• 分位数回归：告诉你“在相同条件下，不同人群位置会发生什么”。

如果你的研究关心：

• 弱势人群、
• 高风险个体、
• 极端结局、
• 或效应异质性，

那么分位数回归不是可选项，而是必选工具。

R 实践

模拟数据

# 加载必要的包 rm(list = ls()) library(quantreg) library(ggplot2) # 模拟数据 set.seed(42) n <- 500 education <- rnorm(n, mean = 12, sd = 2) income <- 2000 + 300 * education + rnorm(n, mean = 0, sd = 500) * ifelse(runif(n) > 0.8, 10, 1) # 引入异常值 data <- data.frame(education, income) # 绘制散点图 ggplot(data, aes(x = education, y = income)) + geom_point(alpha = 0.5) + labs(title = "Scatter Plot of Income vs. Education", x = "Years of Education", y = "Income")

传统线性回归

lm_model <- lm(income ~ education, data = data) summary(lm_model)

分位数回归

qr_model <- rq(income ~ education, tau = 0.5, data = data) summary(qr_model)

多分位点回归

qr_multi <- rq(income ~ education, tau = c(0.25, 0.5, 0.75), data = data) summary(qr_multi)

可视化

# 加载必要包 library(ggplot2) library(quantreg) # 生成样本数据 set.seed(123) n <- 300 education <- rnorm(n, mean = 12, sd = 2) # 教育年限 income <- 5000 + 2000 * education + rnorm(n, sd = 5000) # 收入 data <- data.frame(education, income) # 拟合分位数回归 qr_25 <- rq(income ~ education, tau = 0.25, data = data) # 25% 分位 qr_50 <- rq(income ~ education, tau = 0.5, data = data) # 中位数回归 qr_75 <- rq(income ~ education, tau = 0.75, data = data) # 75% 分位 # 提取系数 coef_25 <- coef(qr_25) coef_50 <- coef(qr_50) coef_75 <- coef(qr_75) # 绘图 ggplot(data, aes(x = education, y = income)) + geom_point(alpha = 0.5, color = "grey50") + # 散点图 # 添加分位数回归线 geom_abline(intercept = coef_25[1], slope = coef_25[2], color = "red", linewidth = 1.2, linetype = "solid", show.legend = TRUE) + geom_abline(intercept = coef_50[1], slope = coef_50[2], color = "green", linewidth = 1.2, linetype = "solid", show.legend = TRUE) + geom_abline(intercept = coef_75[1], slope = coef_75[2], color = "blue", linewidth = 1.2, linetype = "solid", show.legend = TRUE) + # 添加注释 annotate("text", x = 10, y = max(data$income) * 0.9, label = "25th Percentile", color = "red", size = 4) + annotate("text", x = 10, y = max(data$income) * 0.8, label = "50th Percentile (Median)", color = "green", size = 4) + annotate("text", x = 10, y = max(data$income) * 0.7, label = "75th Percentile", color = "blue", size = 4) + # 主题设置 labs(title = "Quantile Regression Visualization", x = "Years of Education", y = "Income") + theme_minimal()