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课程来源：本文根据北京大学公开课《数据可视化》（共63讲）的学习笔记整理而成。该课程由北京大学智能学院袁晓如研究员主讲，课程涵盖数据可视化引论、数据抽象与编码、交互设计、各类数据（表格、高维、层次、图、时变、地理空间）的可视化方法等内容。课程链接：【公开课】北京大学：数据可视化（共63讲）

一、引言：图可视化的核心挑战

图（Graph）由节点（Node）和边（Edge）构成，广泛用于社交网络、交通网络、生物信息学等场景。然而，图可视化面临两大根本性的矛盾：

针对这两个问题，主流的解决方案是：力导向布局负责节点定位，边捆绑技术负责处理边过多的问题，二者常常结合使用。

二、力导向布局（Force-Directed Layout）

2.1 物理模拟的基本思想与工程调整

力导向布局的基本思路源于一个直观的物理隐喻：将图的顶点想象为钢环，将边想象为弹簧。将这些钢环放置在初始位置后释放，弹簧的拉力会驱动整个系统运动，最终达到能量最小的平衡状态。在这一过程中，弹簧的弹力决定了相邻节点的靠近程度。

然而，在实际工程实现中，直接使用胡克定律（线性弹簧）会带来一个问题：当两个顶点相距较远时，线性弹簧产生的拉力过强，导致节点在布局初期剧烈震荡，难以收敛。因此，研究者提出了两个关键的工程调整：

（1）对数强度弹簧（Logarithmic Spring）

弹簧的弹力不再与伸长量成正比，而是采用对数形式：

其中：

• d 为弹簧的当前长度（即两个顶点之间的像素距离）；

• ​ 和​ 为常数。

这一设计的优点在于：

• 当 d=​ 时，弹簧力为零，此时弹簧处于自然长度，节点达到理想间距；

• 当 d 较大时，对数函数的增长速度远慢于线性函数，避免了远距离节点之间的过度吸引，使得布局过程更加平稳。

（2）非相邻节点之间的斥力（Repulsion）

为了有效避免节点重叠，还需要让所有非相邻的节点对之间相互排斥。合适的斥力形式为平方反比定律：

其中：

• d 为两个顶点之间的距离；

• ​ 为常数。

这种斥力随距离的增大而迅速衰减，使得邻近节点之间保持足够的间距，而相距较远的节点则几乎不受影响，符合视觉布局的直观需求。

上述物理系统通过迭代模拟（每次计算合力并移动节点）来逐步逼近稳定状态。不同学者提出的具体模型（如后续介绍的FR模型和KK模型）在力的具体计算公式上略有差异，但都遵循了这一基本框架。

2.2 两种经典力导向模型的数学表达

在力导向布局的发展历程中，不同学者提出了各具特色的模型。这些模型的常数各有不同，导致结果的疏密程度存在差异，但最终都能得到有效的布局方案。以下两种是学术界最常用的经典模型。

（1）Fruchterman-Reingold 模型（1991）

FR 模型是最广泛使用的力导向算法之一，其核心思想是弹簧引力 + 电荷斥力。合力的计算公式如下：

其中：

• 第一项为斥力（Repulsion）：所有节点对之间相互排斥，防止重叠；

• 第二项为引力（Attraction/Spring）：仅作用于有边相连的节点对，使相邻节点靠近；

• d(i,j) 表示节点 i 与 j 之间的像素距离（欧氏距离）；

• kk 为最优距离常数，控制布局的整体疏密程度，其计算公式为：

其中 A 为画布面积，n 为节点总数。该常数使得节点在画布上均匀分布。

特点：

• 引力呈线性或平方增长，斥力随距离增大而衰减；

• 通过调节 k值可以改变布局的松散程度；

• 距离度量采用显示空间的像素距离。

（2）Kamada-Kawai 模型（1989）

KK 模型采用了不同的思路，它基于图拓扑距离来定义节点的"理想位置"。其能量函数（目标函数）为：

其中：

• d(i,j)d(i,j) 表示节点 ii 与 jj 之间的像素距离（当前布局中的欧氏距离）；

• p(i,j)p(i,j) 表示节点 ii 与 jj 之间的图拓扑距离（即最短路径步长）；

• 该函数衡量的是当前布局距离与"理想距离"之间的偏差，通过最小化该能量函数来获得布局。

特点：

• 直接使用最短路径（Shortest path）作为理想距离的参考；

• 使得拓扑上相近的节点在视觉空间中也保持相近；

• 收敛速度相对较快，但总体计算复杂度为 O()。

两种模型的核心区别

关于"像素距离"与"图拓扑距离"的补充说明

在实际应用中，计算节点之间的距离有时直接使用屏幕上的像素距离（欧氏距离），有时也使用节点在图拓扑中的距离（即最短路径步长）来做相应的计算。两者可以结合使用——例如在 KK 模型中，像素距离用于计算当前布局误差，而图拓扑距离用于定义理想目标，二者共同决定了节点的移动方向与幅度。

2.3 几种经典算法对比

2.4 距离度量的两种方式

在力导向布局中，距离的计算有两种不同的维度：

1. 像素距离（欧氏空间）：直接用于计算力的大小，决定节点在显示空间中的最终位置。

2. 图拓扑距离（最短路径步长）：用于定义节点间的"理想距离"，使得拓扑上相近的节点在视觉空间中也保持相近（如KK算法）。

2.5 参数调节与适用规模

• 引力/斥力常数：调节这两个常数可以影响最终布局的疏密程度——增大斥力常数会使节点分布更加分散。

• 迭代次数：通常需要几十到几百轮迭代才能收敛。

• 适用规模：传统的力导向布局通常适用于节点数在1000以内的图，超过此规模需要借助近似算法或GPU加速。

三、边捆绑技术（Edge Bundling）

3.1 为什么需要边捆绑？

当图中的边数量远远超过节点数量时（如航线图、神经网络连接图），即使节点布局已经足够合理，大量的边仍然会形成"毛线团"效应，造成严重的视觉拥堵和线条交错。边捆绑技术的核心思想是：将具有相似起点和终点的边合并成束，减少屏幕占用和交叉，从而提升人对节点关系以及边关系的识别能力。

3.2 边捆绑的工作原理

以层次化边捆绑为例，其基本流程如下：

1. 离散化：将每条边均匀采样为若干控制点（折线或曲线）。

2. 构建层次结构：通常基于节点的聚类树（如根据拓扑距离构造的层次树）。

3. 吸引与聚集：在每一层中，计算边控制点之间的相似性（基于位置或方向），让相似的边相互吸引并向中间靠拢。

4. 迭代平滑：最终形成平滑的束状曲线。

另一种流行的方法是力导向边捆绑（Force-Directed Edge Bundling, FDEB）：

1. 将边上的离散点视为可移动的粒子；

2. 相邻边上的对应点之间增加吸引力；

3. 同一边上的点保持原有形状的弹性约束；

4. 通过物理模拟使边束自然聚合。

3.3 算法流程概括

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1. 将每条边均匀采样为若干段（如10段），得到控制点网格。 2. 对每一对边，计算它们对应段之间的方向与位置相似度。 3. 若相似度高于阈值，在对应点之间施加吸引力（类似于力导向的思想）。 4. 同时添加平滑约束，避免折线过于尖锐。 5. 迭代优化，直到束状结构稳定。

3.4 参数调整

• 捆绑强度（Bundling Strength）：控制吸引力的权重——越强则束越紧，但可能扭曲边的原始路径。

• 细分数量：分段越多，允许的弯曲越精细，但计算量也随之增大。

• 相似度阈值：决定哪些边会被捆绑在一起，影响聚类的粒度。

3.5 典型应用场景

边捆绑技术特别适用于节点位置固定的场景，例如：

• 机场航线图

• 地理地图上的城市间连接

• 生物网络（基因调控网络）

• 软件依赖图

• 社交网络

在这些场景中，节点无法移动，只能通过边捆绑来优化视觉效果。

3.6 效果评价

优势：

• 显著降低视觉杂乱度（边交叉点减少）

• 保留全局结构，主要路径仍然可辨识

局限性：

• 参数敏感，需要结合实际场景灵活调整

• 可能掩盖个别异常边或细节信息

• 通常需要配合交互（如悬停高亮）来弥补细节损失

四、图可视化的综合评价

五、延伸：时间序列数据可视化

课程的最后部分涉及了时间序列数据的可视化。时间序列是可视化领域中非常普遍且核心的数据类型，常见应用包括：

• 太阳黑子周期性观测

• 体育赛事数据分析（如NBA数据可视化）

• 病人服药记录

• 人工智能领域研究趋势分析

虽然时间序列与图布局没有直接关系，但在动态图的场景中，力导向布局需要随时间轴平滑过渡，边捆绑也需要考虑时序一致性——这是当前图可视化研究的一个热点方向。

六、总结

本文梳理了图可视化中两个核心技术——力导向布局和边捆绑技术的基本原理、经典算法和适用场景。力导向布局通过物理模拟解决节点的合理排布问题，而边捆绑技术则通过对边的聚合来缓解视觉拥堵。两者相辅相成，共同构成了现代图可视化的基础工具箱。

值得注意的是，这两项技术都涉及大量的参数调节，实际应用中需要根据具体数据和场景灵活调整。随着图数据规模的不断增大（如社交网络、知识图谱等），如何在大规模场景下高效地实现力导向布局和边捆绑，仍然是可视化领域持续关注的研究方向。

笔记整理自公开课内容，如有不当之处，欢迎指正。

课程来源
本文根据北京大学公开课《数据可视化》（共63讲）的学习笔记整理而成，课程链接 ：
【公开课】北京大学：数据可视化