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💥第一部分——内容介绍

基于最小势能原理的物理信息神经网络求解二维固体力学问题性能对比研究

摘要

传统物理信息神经网络（PINNs）求解固体力学控制方程时，普遍以强形式偏微分方程残差构建损失函数，在处理应力集中、边界突变、多连通域等复杂二维力学问题时存在收敛缓慢、预测精度不足、数值失稳等缺陷。最小势能原理从能量弱形式出发，以系统总势能极小化作为网络优化目标，无需严格满足微分方程逐点约束，有效降低神经网络对高阶导数的求解压力。本文以二维线弹性固体力学典型算例为研究对象，构建基于最小势能的能量型 PINNs 框架与传统强形式 PINNs 开展多维度性能对比，系统分析两类网络在位移场、应力场预测精度、训练收敛效率、边界适应性、网格无关性及复杂载荷工况下的稳定性差异。研究结果表明，依托最小势能能量约束的 PINNs 在各类二维固体力学场景中均具备更优求解表现，尤其适用于应力梯度剧烈、几何边界复杂的工程力学问题，为无网格神经网络力学求解提供高效可靠的新型思路。

关键词：物理信息神经网络；最小势能原理；能量法；二维固体力学；无网格数值求解；性能对比

1 引言

1.1 研究背景与意义

有限元法作为经典数值手段长期主导固体力学二维问题求解，但其依赖离散网格划分，针对几何重构、动态优化、反问题识别等场景存在网格剖分耗时、网格畸变、重构成本高等固有局限。物理信息神经网络融合深度学习与控制方程物理约束，以无网格方式实现场变量预测，摆脱网格依赖，成为近年计算力学领域研究热点。

常规 PINNs 采用强形式控制方程构造损失项，训练过程中需要网络输出位移对空间坐标求取二阶乃至高阶导数，当求解区域存在尖角、孔洞、集中载荷时，位移二阶导数剧烈振荡，损失函数梯度易出现病态，造成网络训练震荡、局部预测误差激增。能量法基于最小势能原理建立弱形式约束，仅需求解一阶位移导数构建应变能与外力势能，规避高阶导数计算带来的数值难题，理论上可改善神经网络求解固体力学问题的整体性能。

当前多数 PINNs 力学研究聚焦强形式框架优化，针对最小势能能量型 PINNs 与传统强形式 PINNs 系统性对比研究较少，缺乏统一二维固体力学算例下的精度、收敛性、鲁棒性量化分析。为此，本文围绕二维线弹性固体标准算例，搭建两类 PINNs 求解框架，从多维度开展效果对比，明确能量法 PINNs 的适用场景与性能优势，为工程二维力学问题的神经网络求解提供理论依据与应用参考。

1.2 国内外研究现状

国外早期 PINNs 研究多以强形式偏微分方程为核心约束，在线弹性、非线性弹塑性力学求解中验证了无网格求解可行性，但研究普遍指出强形式框架在应力集中区域预测误差显著提升。后续部分学者引入变分弱形式思想，将势能、虚功原理融入神经网络损失函数，初步证实能量约束可降低高阶微分运算负担，但未针对二维典型力学问题开展完整对比试验。

国内研究多聚焦 PINNs 网络结构改进、边界条件处理、多尺度耦合求解，少量文献验证能量型 PINNs 单一算例求解效果，但缺少统一基准下传统 PINNs 与最小势能 PINNs 的横向对比，未量化两类方法在收敛速度、应力预测精度、复杂几何适应性上的差距，难以直观体现能量法在二维固体力学问题中的核心优势。现有研究尚未形成完整的对比评价体系，无法指导不同二维力学工况下 PINNs 框架选型。

1.3 研究内容与创新点

1.3.1 主要研究内容

1. 梳理最小势能原理与强形式平衡方程两类 PINNs 的物理约束构建逻辑，明确两类网络损失函数的物理本质差异；
2. 选取三类典型二维固体力学算例：受单向拉伸矩形板、带中心圆孔应力集中平板、悬臂梁弯曲问题，统一网络基础结构、训练超参数、采样策略，消除无关变量干扰；
3. 从位移预测误差、应力场预测误差、训练收敛迭代步数、训练过程稳定性、复杂边界适应能力五个维度对比两类 PINNs 求解效果；
4. 分析载荷突变、几何不连续工况下能量型 PINNs 的鲁棒性优势，总结两类框架适用场景。

1.3.2 创新点

1. 以最小势能能量弱形式为约束构建完整 PINNs 求解体系，与传统强形式 PINNs 建立同基准对照试验，形成二维固体力学专用性能评价体系；
2. 针对应力集中、悬臂弯曲等典型二维难点力学问题，量化揭示强形式 PINNs 高阶导数带来的数值缺陷与能量法的改善机理；
3. 明确两类 PINNs 的适用工况边界，为二维工程固体力学无网格智能求解提供框架选型依据。

1.4 论文结构安排

本文共分为六个章节：第一章为引言，阐述研究背景、现状、内容与创新；第二章介绍最小势能原理与传统强形式 PINNs 基础理论，对比两类框架约束机制；第三章设计二维固体力学对比算例与统一试验方案；第四章开展两类 PINNs 求解结果对比分析，从精度、收敛性、鲁棒性多角度量化讨论；第五章总结研究结论，指出当前局限并展望后续研究方向；第六章为参考文献。

2 基础理论框架

2.1 二维线弹性固体最小势能基本原理

对于二维均质线弹性固体系统，总势能由弹性应变能与外力势能两部分构成。最小势能原理指出，满足位移边界条件的所有容许位移场中，真实位移场会使系统总势能取极小值。相较于微分平衡方程的逐点强约束，势能极小化属于变分弱约束，仅要求位移场一阶导数存在连续，无需二阶导数处处光滑，天然适配神经网络光滑近似特性。

从约束构建逻辑来看，能量法不强制域内每一点严格满足平衡微分方程，而是通过全域积分形式的势能极值逼近真实力学状态，弱化局部奇异点对整体训练的干扰，从物理层面缓解神经网络求解应力集中问题的数值困难。

2.2 传统强形式物理信息神经网络基本框架

传统 PINNs 以全连接神经网络作为位移场近似器，损失函数由三部分构成：控制方程残差损失、位移边界条件损失、应力边界条件损失。网络训练过程中，自动微分求解位移一阶、二阶偏导数，代入二维平衡微分方程计算域内残差，通过梯度下降最小化整体残差。

该框架核心缺陷在于损失高度依赖位移二阶导数，在几何尖角、孔洞边缘、集中载荷作用区域，位移二阶导数数值波动剧烈，残差损失出现局部突变，导致网络梯度更新失衡，训练易震荡，应力预测出现明显偏差，尤其二维多连通域、大梯度应力场下缺陷被进一步放大。

2.3 基于最小势能的能量型 PINNs 框架构建思路

能量型 PINNs 将网络优化目标替换为系统总势能最小，损失函数由总势能项与位移边界约束项组成。网络仅需输出位移分量，通过自动微分求取一阶位移导数计算应变，结合弹性本构关系得到应力，积分求解全域应变能；结合外力分布计算外力势能，二者叠加得到总势能作为核心损失项。

整个优化流程仅涉及一阶空间导数运算，大幅降低自动微分计算量与数值振荡风险；积分形式的势能损失具备全局平均效应，能够平滑局部奇异点带来的梯度扰动，理论上可提升二维复杂力学问题的求解精度与训练稳定性。

2.4 两类 PINNs 核心差异梳理

从约束形式、导数阶数、损失物理意义、奇异区域适应性四个层面区分两类框架：

1. 约束形式：传统 PINNs 为微分方程强点约束，能量 PINNs 为势能积分弱约束；
2. 导数需求：传统框架需二阶位移导数，能量框架仅需一阶位移导数；
3. 损失特性：强形式残差为局部逐点误差，易受局部奇异点干扰；势能损失为全域积分平均，鲁棒性更强；
4. 适用工况：强形式适合光滑、无应力梯度的简单二维算例；能量框架适配孔洞、尖角、集中载荷等高应力梯度二维问题。

3 对比试验方案设计

3.1 统一网络与训练参数设置

为消除网络结构、超参数、采样策略等无关变量对对比结果的干扰，两类 PINNs 采用完全一致的神经网络基础架构、激活函数、优化器、学习率、迭代上限、采样点分布策略。网络输入为二维平面坐标，输出为水平与竖直两个方向位移分量；采样点分为域内配置点、位移边界采样点、力边界采样点，采样数量、空间分布完全统一；优化器、学习率衰减策略、批次划分、训练迭代总步数保持相同，仅改变损失函数的物理约束形式，保证对比试验单一变量原则。

3.2 二维固体力学对比算例选取

本文选取三类具备典型工程特征的二维线弹性算例，覆盖光滑应力场、应力集中场、弯曲大变形梯度场，全面检验两类 PINNs 综合性能：

1. 算例一：单向受拉矩形薄板。几何形状规则，全域应力均匀，无应力梯度，作为基础基准算例，检验两类网络在简单光滑场下的基础求解精度；
2. 算例二：中心开孔受拉平板。孔洞边缘存在显著应力集中，位移二阶导数剧烈变化，用于测试强形式框架固有缺陷与能量法的改善效果；
3. 算例三：端部受集中力二维悬臂梁。梁体沿长度方向存在连续应力梯度，固定端存在边界应力突变，模拟工程中常见弯曲受力工况，对比两类网络边界处理能力。

三类算例材料弹性参数、几何尺寸、载荷大小、边界约束条件统一设定，有限元高精度解作为基准真值，用于量化位移、应力预测误差。

3.3 评价指标体系设计

建立多维度量化评价标准，实现两类 PINNs 求解效果客观对比，评价指标分为四大类：

1. 场变量预测精度指标：全域位移平均相对误差、最大位移绝对误差、全域应力平均相对误差、应力峰值预测偏差，衡量网络场变量拟合准确程度；
2. 训练收敛性能指标：损失函数收敛至稳定阈值所需迭代步数、训练全程损失波动幅度，反映收敛效率与训练平稳性；
3. 边界适应性指标：位移约束边界、应力载荷边界处局部误差，评估网络对不同类型边界条件的拟合能力；
4. 鲁棒性指标：应力集中区域局部误差峰值，表征网络处理几何与载荷奇异区域的稳定性。

4 两类 PINNs 二维力学问题求解效果对比与分析

4.1 光滑均匀应力场（单向拉伸薄板）结果对比

针对无应力梯度的矩形拉伸薄板，两类 PINNs 均可实现位移场与应力场较高精度预测，整体误差水平接近。传统强形式 PINNs 依靠简单光滑场下二阶导数连续稳定，训练收敛速度与能量型 PINNs 差距较小，全域平均误差仅存在微弱差距。

细节差异体现在训练过程波动：强形式 PINNs 损失曲线小幅震荡，能量型 PINNs 损失下降曲线更加平滑，更早进入稳定收敛阶段。在无复杂梯度的简单二维问题中，两类框架均具备可靠求解能力，能量法精度提升幅度有限，但训练稳定性存在小幅优势。

4.2 应力集中工况（开孔受拉平板）结果对比

该算例为两类框架性能差距最显著的工况。传统强形式 PINNs 在孔洞周边应力集中区域出现明显预测偏差，应力峰值远偏离基准有限元解，孔洞边缘局部位移误差大幅上升；训练过程损失持续剧烈震荡，难以收敛至低误差区间，需大幅增加迭代步数才能缓慢降低误差，且始终存在局部高误差区域。

基于最小势能的能量型 PINNs 表现出显著优势：全域位移与应力整体误差大幅下降，孔洞边缘应力峰值预测与基准解高度吻合，无明显局部失真；损失函数下降连续平稳，达到同等误差阈值所需迭代步数远少于传统 PINNs。核心原因在于势能积分弱约束弱化了孔洞处二阶导数奇异性带来的梯度干扰，一阶导数运算避免了高阶导数数值畸变，全局积分平均效应抵消局部奇异点对网络训练的负面影响，充分体现能量法在二维应力集中问题中的独特适配性。

4.3 弯曲梯度工况（二维悬臂梁）结果对比

悬臂梁沿长度方向存在连续应力梯度，固定端边界存在应力突变。传统强形式 PINNs 梁体中部应力预测精度尚可，但固定端根部局部应力误差显著偏高，训练中后期损失下降速率放缓，存在收敛瓶颈；随着迭代推进，边界局部误差难以进一步降低。

能量型 PINNs 完整捕捉梁体连续应力梯度分布，固定端突变区域无明显误差峰值，全域应力分布与基准解一致性更高；收敛曲线无明显平台期，可稳定持续降低整体损失。对比结果表明，针对带有边界应力突变的二维弯曲力学问题，最小势能约束能够改善网络对梯度变化场的拟合能力，缓解强形式框架边界局部求解失效问题。

4.4 多维度综合性能汇总分析

综合三类二维算例试验结果，可归纳两类 PINNs 整体性能规律：

1. 求解精度层面：简单均匀应力场下二者精度相当；存在应力集中、边界突变、连续应力梯度的复杂二维力学问题中，能量型 PINNs 位移、应力预测误差全面低于传统强形式 PINNs，应力峰值预测准确度提升最为突出；
2. 收敛效率层面：所有算例中能量型 PINNs 达到相同精度所需迭代步数更少，训练全程损失波动更小，无明显震荡与收敛停滞现象；传统 PINNs 在复杂工况下易出现收敛瓶颈，训练成本更高；
3. 边界与奇异区域适应性：传统强形式框架对几何孔洞、固定端、集中载荷等奇异位置适配性差，局部误差激增；最小势能能量法依靠积分弱形式天然平滑局部扰动，大幅提升二维复杂边界、不连续几何的求解鲁棒性；
4. 计算成本层面：能量型 PINNs 仅计算一阶导数，自动微分运算量低于需要二阶导数的传统 PINNs，单次迭代计算耗时略低，综合训练效率优势进一步放大。

4.5 机理分析

两类框架性能差异根源在于物理约束的表达形式与微分阶数。传统强形式 PINNs 以逐点微分方程为约束，对场变量光滑性要求严苛，二维力学问题中普遍存在的应力奇异区域破坏二阶导数连续性，造成损失梯度病态，网络无法精准学习局部力学特征。

最小势能原理以全域积分形式构建优化目标，仅依赖一阶应变导数，降低场变量光滑性要求；积分运算将局部奇异误差平均至整个求解域，避免单一奇异点主导损失梯度，网络梯度更新更加稳定，能够精准捕捉二维区域内剧烈变化的位移、应力场，从物理约束底层解决传统 PINNs 求解固体力学复杂工况的固有缺陷。

5 结论与展望

5.1 主要研究结论

本文以二维线弹性固体三类典型力学算例为研究载体，在统一网络与训练参数条件下，系统对比传统强形式 PINNs 与基于最小势能原理的能量型 PINNs 求解性能，得到核心结论如下：

1. 对于应力分布均匀、无几何与载荷突变的简单二维固体力学问题，两类 PINNs 均能实现高精度求解，整体预测效果差距较小；
2. 针对带孔洞应力集中、悬臂弯曲边界突变等复杂二维力学工况，基于最小势能的能量型 PINNs 具备显著综合优势：全域位移与应力预测误差更低，应力峰值拟合更准确，训练收敛速度更快、损失曲线无剧烈震荡，对奇异几何与载荷边界适应性更强；
3. 传统强形式 PINNs 依赖二阶位移导数构建控制方程残差，在应力梯度剧烈区域易产生梯度畸变，存在局部求解失真、收敛缓慢等固有缺陷；最小势能能量法仅使用一阶导数，结合积分弱约束平滑局部数值扰动，从物理约束层面改善神经网络求解二维固体力学问题的鲁棒性；
4. 在二维工程固体力学无网格智能求解场景中，当求解区域包含孔洞、尖角、集中载荷、边界应力突变等特征时，优先选用最小势能能量型 PINNs 框架；仅光滑均匀应力场简单算例可采用传统强形式 PINNs 降低搭建复杂度。

5.2 研究局限性

本文研究仍存在一定局限：试验仅针对二维均质线弹性固体开展，未拓展至塑性、大变形、多材料耦合等非线性二维力学问题；对比算例载荷形式以静态恒载为主，未涉及动态时变载荷工况；网络仅采用基础全连接神经网络架构，未结合傅里叶特征、残差网络等改进结构，未探究网络结构与能量约束的耦合优化效果。

5.3 后续研究展望

基于本文研究结论，后续可从三个方向拓展完善：

1. 将最小势能能量型 PINNs 拓展至二维弹塑性、几何大变形、复合材料等非线性固体力学问题，验证能量约束在非线性工况下的性能优势；
2. 融合傅里叶特征嵌入、自适应采样、残差神经网络等改进网络结构，进一步提升能量型 PINNs 对多尺度二维力学场的求解精度；
3. 结合最小势能原理构建二维力学反问题求解框架，利用能量约束稳定性提升载荷识别、材料参数反演等工程反问题的求解可靠性；
4. 开展三维固体力学问题拓展研究，对比能量法与强形式 PINNs 在三维复杂结构中的求解效果，形成完整维度的智能力学求解体系。

📚第二部分——运行结果

2.1 基于能量损失函数的PINN

2.2普通PINN

🎉第三部分——参考文献

文章中一些内容引自网络，会注明出处或引用为参考文献，难免有未尽之处，如有不妥，请随时联系删除。(文章内容仅供参考，具体效果以运行结果为准)

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