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题目描述

排序一个数组可以通过交换数组中某些相邻元素对来实现。这是著名的冒泡排序的基本技术。如果我们按交换顺序列出要交换的元素对，就得到了所谓的交换映射。

例如，假设我们要排序数组AAA，其元素按顺序为3,2,13, 2, 13,2,1。如果该数组的下标为1,2,31, 2, 31,2,3，则排序可以通过以下步骤完成：

1. 交换A2A2A2和A3A3A3→ 得到3,1,23, 1, 23,1,2
2. 交换A1A1A1和A2A2A2→ 得到1,3,21, 3, 21,3,2
3. 交换A2A2A2和A3A3A3→ 得到1,2,31, 2, 31,2,3

如果通过指示要交换的对中第一个元素的下标来标识交换对，则此排序过程可以用交换映射2,1,22, 1, 22,1,2来描述。

值得注意的是，可能有许多种使用相邻元素交换来排序数组的方法。之前的数组3,2,13, 2, 13,2,1也可以通过以下方式排序：

1. 交换A1A1A1和A2A2A2→2,3,12, 3, 12,3,1
2. 交换A2A2A2和A3A3A3→2,1,32, 1, 32,1,3
3. 交换A1A1A1和A2A2A2→1,2,31, 2, 31,2,3

对应的交换映射为1,2,11, 2, 11,2,1。

对于给定的数组，存在多少种不同的交换映射？稍加思考就会发现有无穷多种交换映射，因为重复交换任意一对元素不会改变元素顺序。因此，交换映射1,1,1,2,11, 1, 1, 2, 11,1,1,2,1也会使数组元素按升序排列。

但有多少最小长度的交换映射能使给定数组有序？这就是本题要回答的问题。

输入格式

输入数据包含任意数量的测试用例，后跟一个单独的0。每个测试用例以一个整数nnn开头（表示数组大小），后面跟着nnn个整数值。

输出格式

对于每个测试用例，输出类似样例所示的消息。所有测试用例中n≤5n \leq 5n≤5。

样例输入

2 9 7 2 12 50 3 3 2 1 3 9 1 5 0

样例输出

There are 1 swap maps for input data set 1. There are 0 swap maps for input data set 2. There are 2 swap maps for input data set 3. There are 1 swap maps for input data set 4.

题目分析

问题的本质

这是一个最小长度相邻交换排序的计数问题。给定一个数组，需要找出所有使用最少交换次数将其排序为升序的相邻交换序列的数量。

关键点

1. 相邻交换：每次只能交换相邻的两个元素
2. 最小长度：只计数使用最少交换次数的序列
3. 数组大小：n≤5n \leq 5n≤5，非常小，可以暴力搜索

与逆序数的关系

将一个数组排序为升序所需的最小相邻交换次数等于数组的逆序数。例如：

• [9,7][9, 7][9,7]：逆序数111（9>79 > 79>7）
• [12,50][12, 50][12,50]：逆序数000
• [3,2,1][3, 2, 1][3,2,1]：逆序数333（3>23>23>2，3>13>13>1，2>12>12>1）
• [9,1,5][9, 1, 5][9,1,5]：逆序数222（9>19>19>1，9>59>59>5）

因此，我们只需要找出所有使用恰好逆序数次相邻交换的排序序列。

搜索策略

由于n≤5n \leq 5n≤5，最大逆序数为C(5,2)=10C(5,2) = 10C(5,2)=10。我们可以使用深度优先搜索（DFS\texttt{DFS}DFS）：

• 每次只交换相邻的逆序对（即a[i]>a[i+1]a[i] > a[i+1]a[i]>a[i+1]）
• 递归地进行交换
• 当数组完全有序时，记录一个有效序列

重要：为了保证只计数最小长度的序列，我们不需要显式地限制深度——因为每次交换只发生在逆序对上，且每次交换都会减少逆序数。当数组有序时，使用的交换次数恰好等于初始逆序数（因为每次交换恰好减少一个逆序）。

参考代码

// Mapping the Swaps// UVa ID: 331// Verdict: Accepted// Submission Date: 2016-06-29// UVa Run Time: 0.000s//// 版权所有（C）2016，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;vector<int>number;// 当前数组intcounter=0;// 有效交换映射计数// 深度优先搜索，只交换相邻逆序对voiddfs(){boolsorted=true;// 遍历所有相邻位置for(inti=0;i<number.size()-1;i++){// 如果当前是逆序对，交换并继续搜索if(number[i]>number[i+1]){sorted=false;swap(number[i],number[i+1]);// 执行交换dfs();// 递归swap(number[i],number[i+1]);// 回溯}}// 如果数组已有序，计数加 1if(sorted)counter++;}intmain(intargc,char*argv[]){intn,cases=0;while(cin>>n,n){number.clear();for(inti=1;i<=n;i++){intinteger;cin>>integer;number.push_back(integer);}counter=0;// 检查是否已经有序boolsorted=true;for(inti=0;i<number.size()-1;i++)if(number[i]>number[i+1]){sorted=false;break;}// 如果未有序，进行 DFS 搜索if(!sorted)dfs();cout<<"There are "<<counter;cout<<" swap maps for input data set "<<++cases<<"."<<endl;}return0;}