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让我们来继续探索F(ω)F(\omega)F(ω)这个函数吧！

对于每个频率ω\omegaω，我们得到一个复数F(ω)F(\omega)F(ω)，它告诉我们“信号中包含了多少这个频率”。

F(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωt,dtF(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} , dtF(ω)=∫−∞∞​f(t)e−iωt,dt

由于F(ω)F(\omega)F(ω)是复数，我们可以将其写成：F(ω)=A(ω)+iB(ω)F(\omega) = A(\omega) + i B(\omega)F(ω)=A(ω)+iB(ω)

或者用极坐标形式表示：F(ω)=∣F(ω)∣eiϕ(ω)F(\omega) = |F(\omega)| e^{i\phi(\omega)}F(ω)=∣F(ω)∣eiϕ(ω)

其中：

• ∣F(ω)∣|F(\omega)|∣F(ω)∣是幅度，表示该频率在信号中的强度

• ϕ(ω)\phi(\omega)ϕ(ω)是相位，表示该频率分量的时序或偏移

有趣的是：F(ω)F(\omega)F(ω)作为ω\omegaω的函数，可以告诉你信号的完整“频率特征”。

一些有趣的性质：

1. 如果f(t)f(t)f(t)是频率为ω0\omega_0ω0​的纯正弦波，那么F(ω)F(\omega)F(ω)除了ω=ω0\omega = \omega_0ω=ω0​处（一个尖峰！）以外，其余处均为零。

2. 如果f(t)f(t)f(t)是实值函数（对于物理信号来说通常是实值函数），那么F(ω)F(\omega)F(ω)具有特殊的对称性：F(−ω)=F(ω)‾F(-\omega) = \overline{F(\omega)}F(−ω)=F(ω)​（复共轭）。

任何复数都可以用两种方式表示：

直角坐标：a+iba + iba+ib- 向右移动aaa个单位，向上移动bbb个单位

极坐标：reiθr e^{i\theta}reiθ- 从原点出发，沿rrr的距离，以θ\thetaθ的角度移动

它们指向同一个点，只是描述方式不同。

所以当我们写F(ω)=∣F(ω)∣我们用eiϕ(ω)F(\omega) = |F(\omega)|我们用 e^{i\phi(\omega)}F(ω)=∣F(ω)∣我们用eiϕ(ω)来表示：

• 从原点出发

• 向外移动距离∣F(ω)∣|F(\omega)|∣F(ω)∣（振幅，频率的强度）

• 沿ϕ(ω)\phi(\omega)ϕ(ω)方向移动（相位，角度）

“这本质上是同心圆”，没错！到原点距离相等的每个点都位于一个圆上。振幅告诉你哪个圆，相位告诉你圆上的位置。